Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 10: Euklidesowe przestrzenie wektorowe: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m (Zastępowanie tekstu - "\[\[File:(.*)\.mp4|253px\|thumb\|center\|(.*)\]\]" na "253x253px|thumb|center|$2")
 
Linia 169: Linia 169:
 
Mówimy, że wektory  są do siebie ''prostopadłe (ortogonalne)'', jeśli ich iloczyn skalarny jest równy <math>0</math>. Ogólniej, układ wektorów <math>v_1,..., v_n</math> nazywa się układem ortogonalnym, jeśli każde dwa wektory tego układu są do siebie prostopadłe, tzn. <math>v_i\cdot v_j=0</math> dla <math>i\ne j</math>. Oczywiście wektor zerowy jest prostopadły do każdego wektora. Dowolny zbiór (niekoniecznie skończony) nazywa się ortogonalny, jeśli każde dwa wektory tego zbiory  są ortogonalne.
 
Mówimy, że wektory  są do siebie ''prostopadłe (ortogonalne)'', jeśli ich iloczyn skalarny jest równy <math>0</math>. Ogólniej, układ wektorów <math>v_1,..., v_n</math> nazywa się układem ortogonalnym, jeśli każde dwa wektory tego układu są do siebie prostopadłe, tzn. <math>v_i\cdot v_j=0</math> dla <math>i\ne j</math>. Oczywiście wektor zerowy jest prostopadły do każdego wektora. Dowolny zbiór (niekoniecznie skończony) nazywa się ortogonalny, jeśli każde dwa wektory tego zbiory  są ortogonalne.
  
[[File:ag_10_1a.mp4|253x253px|thumb|center|]]|253x253px|thumb|right|Wektory ortogonalne (prostopadłe)]]
+
[[File:ag_10_1a.mp4|253x253px|thumb|right|Wektory ortogonalne (prostopadłe)]]
  
 
Mamy następujący
 
Mamy następujący
Linia 240: Linia 240:
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 
|
 
|
[[File:ag_10_2a.mp4|253x253px|thumb|center|]]|253x253px|thumb|left|Proces Grama-Schmidta]]
+
[[File:ag_10_2a.mp4|253x253px|thumb|left|Proces Grama-Schmidta]]
 
|}
 
|}
 
</center>
 
</center>
Linia 284: Linia 284:
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 
|
 
|
[[File:ag_10_3a.mp4|253x253px|thumb|center|]]|253x253px|thumb|right|Dopełnienie ortogonalne (prostopadłe)]]
+
[[File:ag_10_3a.mp4|253x253px|thumb|right|Dopełnienie ortogonalne (prostopadłe)]]
 
|
 
|
[[File:ag_10_3b.mp4|253x253px|thumb|center|]]|253x253px|thumb|left|Rzutowanie prostokątne]]
+
[[File:ag_10_3b.mp4|253x253px|thumb|left|Rzutowanie prostokątne]]
 
|}
 
|}
 
</center>
 
</center>

Aktualna wersja na dzień 13:19, 3 paź 2021

Iloczyn skalarny

Zaczniemy od definicji iloczynu skalarnego


Definicja 1.1 [Iloczyn Skalarny]

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem . Odwzorowanie



nazywa się iloczynem skalarnym, jeśli spełnia trzy następujące warunki:

S1) jest dwuliniowe,
S2) jest symetryczne,
S3) jest dodatnio określone, tzn. dla każdego zachodzi

nierówność i wtedy i tylko wtedy, gdy .

Wartość iloczynu skalarnego na wektorach oznaczamy także przez lub . Jak zwykle kropkę często pomijamy w zapisie. Nazwa iloczyn skalarny pochodzi stąd, że wynikiem takiego mnożenia jest skalar. Zwróćmy także uwagę na to, że wybór ciała liczb rzeczywistych jest tutaj nieprzypadkowy. W innych ciałach nie mamy skalarów większych od zera.

Zbierzemy teraz kilka najważniejszych przykładów iloczynów skalarnych.

Przykład 1.2

W przestrzeni mamy tzw. standardowy (lub kanoniczny) iloczyn skalarny. Mianowicie, dla wektorów definiujemy



Ogólniej, niech będą dowolnymi liczbami dodatnimi. Definiujemy iloczyn skalarny



Przykład 1.3

Rozważmy przestrzeń funkcji ciągłych określonych na przedziale . Definiujemy iloczyn skalarny



Przykład 1.4

Niech będzie bazą przestrzeni wektorowej nad ciałem . Definiujemy iloczyn skalarny formułą



gdzie , są współrzędnymi wektorów i w danej bazie.

Istotne w tym przykładzie jest to, że każda skończenie wymiarowa przestrzeń wektorowa nad ciałem może być łatwo wyposażona w iloczyn skalarny.

Definicja 1.5 [Norma]

Normą na przestrzeni wektorowej nad ciałem nazywamy funkcję



która spełnia warunki

N 1) dla każdego wektora i liczby rzeczywistej zachodzi równość ,
N 2) zachodzi nierówność trójkąta, tzn. dla każdych wektorów mamy



Iloczyn skalarny dany w przestrzeni wyznacza normę w tej przestrzeni. Mianowicie, definiujemy


     (1.1)


Normę wektora nazywamy też jego długością. Stosowany jest zapis , który oznacza lub, co na jedno wychodzi, .

Sprawdzenie, że funkcja zdefiniowana formułą (1.1) spełnia warunki N1) i N2) jest natychmiastowe. Warunek trójkąta sprawdzimy po udowodnieniu następującej nierówności Schwarza.

Twierdzenie 1.5 [Nierówność Schwarza]

Dla funkcji określonej wzorem (1.1) i każdych dwóch wektorów zachodzi nierówność


     (1.2)


Równość w powyższej nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory , są liniowo zależne.

Dowód

Jeśli któryś z wektorów , jest zerowy, to twierdzenie jest oczywiste. Załóżmy więc, że wektory te są niezerowe.

Rozważmy funkcję zmiennej rzeczywistej



Funkcja ta przybiera wartości nieujemne. Z drugiej strony mamy



A zatem funkcja jest trójmianem kwadratowym przyjmującym wartości nieujemne, którego współczynnik przy jest dodatni. Oznacza to, że wyróżnik jest niedodatni. Wobec tego



czyli . Po spierwiastkowaniu tej nierówności dostajemy nierówność Schwarza.

Dla udowodnienia drugiej tezy zauważmy najpierw, że jeśli , to oczywiście w (1.2) mamy równość. Odwrotnie, równość w (1.2) oznacza, że wyróżnik trójmianu jest równy i, co za tym idzie, istnieje , takie, że . To zaś oznacza, że , czyli , są liniowo zależne. End of proof.gif

Korzystając, miedzy innymi, z nierowności Schwarza otrzymujemy teraz, dla dowolnych wektorów , , ciąg równości i nierówności



Udowodniliśmy więc nierówność trójkąta N 2) dla funkcji (1.1).

Przy okazji zauważmy, że otrzymaliśmy twierdzenie Pitagorasa. Mianowicie, jeśli wektory , są do siebie prostopadłe, czyli , to



Jeśli wektory , sa niezerowe, to liczbę rzeczywistą taką, że



nazywamy kątem między wektorami i .

Układy ortogonalne. Proces Grama - Schmidta. Bazy ortonormalne

Mówimy, że wektory są do siebie prostopadłe (ortogonalne), jeśli ich iloczyn skalarny jest równy . Ogólniej, układ wektorów nazywa się układem ortogonalnym, jeśli każde dwa wektory tego układu są do siebie prostopadłe, tzn. dla . Oczywiście wektor zerowy jest prostopadły do każdego wektora. Dowolny zbiór (niekoniecznie skończony) nazywa się ortogonalny, jeśli każde dwa wektory tego zbiory są ortogonalne.

Mamy następujący

Lemat 2.1

Ortogonalny i nie zawierający zera układ wektorów jest liniowo niezależny.

Dowód

Niech . Obie strony tej równości pomnóżmy skalarnie przez , dla . Otrzymujemy równość , a stąd . End of proof.gif

Wektor nazywa się jednostkowym, jeśli . Układ wektorów nazywa się ortonormalnym, jeśli każdy z tych wektorów jest jednostkowy, a cały układ jest ortogonalny. Jeśli jest wektorem niezerowym, to



jest wektorem jednostkowym. Mówimy, że wektor został znormalizowany.

Niech będzie pewnym układem liniowo niezależnym przestrzeni wektorowej wyposażonej w iloczyn skalarny. Niech

Wektor jest jednostkowy i generuje tę samą przestrzeń co . Zdefiniujmy teraz wektor następująco



Łatwo sprawdzić, że wektor ten jest prostopadły do . Ponadto układ wektorów rozpina tę samą podprzestrzeń co układ wektorów . Co więcej, jeśli oznaczymy przez tę podprzestrzeń, to oraz są takimi bazami tej przestrzeni , że macierz przejścia od bazy do bazy ma wyznacznik dodatni.

Definiujemy teraz



Oczywiście układy i rozpinają tę samą podprzestrzeń , układ jest ortonormalny a macierz przejścia od bazy do bazy przestrzeni ma wyznacznik dodatni.

Załóżmy, że zdefiniowaliśmy już kolejnych wektorów takich, że układy i rozpinają tę samą podprzestrzeń , układ jest ortonormalny a macierz przejścia od bazy do bazy ma wyznacznik dodatni. Definiujemy wektor wzorem


     (2.3)


Następnie definiujemy



Łatwo widać, że jest prostopadły do każdego z wektorów , a zatem układ jest ortonormalny. Łatwo tez widać, że układy ; rozpinają tę samą podprzestrzeń, powiedzmy . Ponadto macierz przejścia od bazy do bazy przestrzeni ma wyznacznik dodatni.

Powyższy proces otrzymywania układu ortonormalnego nazywa się procesem Grama-Schmidta. Jeśli jest układem ortonormalnym, to proces Grama-Schmidta nie zmienia tego układu.

Z powyższych rozumowań wynika natychmiast

Twierdzenie 2.2

Każda skończenie wymiarowa przestrzeń wektorowa wyposażoną w iloczyn skalarny ma bazę ortonormalną.

Od tego momentu do końca niniejszego wykładu zakładamy, że przestrzenie wektorowe są skończenie wymiarowe.

Jeżeli jest bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej , to wektor wyraża się jako kombinacja liniowa wektorów tej bazy następującym wzorem


     (2.4)


Aby sprawdzić ten wzór wystarczy pomnożyć skalarnie obie strony tej równości przez kolejne wektory bazy .

Rzutowanie prostokątne. Izometrie

Niech dana będzie podprzestrzeń wektorowa przestrzeni euklidesowej . Podprzestrzeń ta jest wyposażona w indukowany iloczyn skalarny, tzn. jest to iloczyn skalarny będący zawężeniem iloczynu skalarnego z do (dokładniej mówiąc, zawężeniem do ). Zdefiniujmy podprzestrzeń



Łatwo sprawdzić, że jest podprzestrzenią wektorową. Ponadto, . Istotnie, jeśli , to , a stąd wynika, że .

Niech będzie bazą podprzestrzeni . Rozrzerzmy tę bazę do bazy przestrzeni . Zastosujmy do tej bazy proces Grama-Schmidta. Otrzymujemy bazę ortonormalną przestrzeni . Pierwszych wektorów tej bazy rozpina podprzestrzeń , pozostałe rozpinają pewne dopełnienie algebraiczne do i należą do podprzestrzeni . A zatem jest dopełnieniem algebraicznym do . Podprzestrzeń nazywa się dopełnieniem ortogonalnym (prostopadłym) do .

Przypomnijmy, że dopełnienia algebraiczne nie są wyznaczone jednoznacznie. Dopełnienie ortogonalne (istniejące tylko w przestrzeni wyposażonej w iloczyn skalarny) jest wyznaczone jednoznacznie. Oto kilka podstawowych własności dopełnienia ortogonalnego:



Lemat 3.1

Dla każdych podprzestrzeni , przestrzeni euklidesowej zachodzą następujące związki.

  1. .
  2. Jeżeli , to .
  3. .
  4. .

Udowodnienie powyższych własności pozostawiamy jako ćwiczenie.

W przestrzeni euklidesowej dla ustalonej podprzestrzeni mamy



A zatem mamy rzutowanie na równoległe do . Ponieważ dopełnienie ortogonalne jest wyznaczone jednoznacznie, więc wymienianie przestrzeni jest niekonieczne. Używamy określenia " rzutowanie prostokątne na podprzestrzeń ". Podkreślmy, że możemy mówić o rzutowaniu prostokątnym tylko w przypadku przestrzeni wyposażonych w iloczyn skalarny.

Niech teraz i będą przestrzeniami wektorowymi wyposażonymi w iloczyny skalarne - obydwa oznaczane kropką. Mówimy, że odwzorowanie jest izometrią, jeśli zachowuje iloczyn skalarny, tzn. dla każdych wektorów zachodzi równość . Oczywiście odwzorowanie, które zachowuje iloczyn skalarny zachowuje też normę, czyli dla każdej izometrii .

Twierdzenie 3.2 [O izometrii]

Izometria jest odwzorowaniem liniowym. Co więcej, jest monomorfizmem.

Dowód

Załóżmy, że jest bazą ortonormalną przestrzeni wektorowej . Ponieważ odwzorowanie zachowuje iloczyn skalarny, więc wektory



stanowią układ ortonormalny w , a więc jest to układ liniowo niezależny. Jest wiec bazą ortonormalną przestrzeni . Na podstawie wzoru (2.4) i faktu, że dla każdego , mamy



Oznacza to, że jeśli , to



Łatwo sprawdzić, że takie odwzorowanie jest liniowe.

Jeśli , to . A zatem , czyli . W ten sposób udowodniliśmy monomorficzność . End of proof.gif

Twierdzenie 3.3

Odwzorowanie liniowe zachowujące normę jest izometrią.

Dowód

Niech będzie odwzorowaniem spełniającym założenia twierdzenia. Zachodzą równości




Ponieważ , i , więc . End of proof.gif

Dowód kolejnego twierdzenia jest standardowy i pozostawiamy go czytelnikowi.

Twierdzenie 3.4

Złożenie izometrii jest izometrią. Jeśli izometria jest bijekcją, to odwzorowanie odwrotne do izometrii jest izometrią.

Niech będzie izometrią przestrzeni euklidesowej . Niech będzie bazą ortonormalną przestrzeni . Wiemy, że , dla . Jeśli więc jest macierzą przy bazie ortonormalnej, to



Macierz spełniającą powyższy warunek nazywa się macierzą ortogonalną. Macierz taką można też traktować jako izometrię przestrzeni wyposażonej w standardowy iloczyn skalarny. Zbiór wszystkich macierzy ortogonalnych wymiarów na stanowi podgrupę grupy ogólnej . Podgrupę tę nazywa się grupą ortogonalną i oznacza przez .

Dla macierzy ortogonalnej mamy . A zatem , czyli .

Zbiór wszystkich macierzy ortogonalnych wymiarów na o wyznaczniku dodatnim (czyli o wyznaczniku 1) stanowi podgrupę grupy ortogonalnej.