Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 10: Euklidesowe przestrzenie wektorowe

Iloczyn skalarny

Zaczniemy od definicji iloczynu skalarnego

Definicja 1.1 [Iloczyn Skalarny]

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem ${\mathbf {R} }$. Odwzorowanie

$g:V\times V\longrightarrow {\mathbf {R} }$

nazywa się iloczynem skalarnym, jeśli spełnia trzy następujące warunki:

S1) jest dwuliniowe,

S2) jest symetryczne,

S3) jest dodatnio określone, tzn. dla każdego $v\in V$ zachodzi nierówność $g(v,v)\geq 0$ i $g(v,v)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $v=0$.

Wartość iloczynu skalarnego na wektorach $v,w$ oznaczamy także przez $<v,w>$ lub $v\cdot w$. Jak zwykle kropkę często pomijamy w zapisie. Nazwa iloczyn skalarny pochodzi stąd, że wynikiem takiego mnożenia jest skalar. Zwróćmy także uwagę na to, że wybór ciała liczb rzeczywistych jest tutaj nieprzypadkowy. W innych ciałach nie mamy skalarów większych od zera.

Zbierzemy teraz kilka najważniejszych przykładów iloczynów skalarnych.

Przykład 1.2

W przestrzeni ${\mathbf {R} }^{n}$ mamy tzw. standardowy (lub kanoniczny) iloczyn skalarny. Mianowicie, dla wektorów $v=(v_{1},....v_{n}),\ \ w=(w_{1},...,w_{n})\in {\mathbf {R} }^{n}$ definiujemy

$v\cdot w=v_{1}w_{1}+...+v_{n}w_{n}.$

Ogólniej, niech $\lambda _{1},...,\lambda _{n}$ będą dowolnymi liczbami dodatnimi. Definiujemy iloczyn skalarny

$v\cdot w=\lambda _{1}v_{1}w_{1}+...+\lambda _{n}v_{n}w_{n}.$

Przykład 1.3

Rozważmy przestrzeń funkcji ciągłych określonych na przedziale $[a,b]$. Definiujemy iloczyn skalarny

$<f,h>=\int _{a}^{b}fh.$

Przykład 1.4

Niech $e_{1},...,e_{n}$ będzie bazą przestrzeni wektorowej $V$ nad ciałem ${\mathbf {R} }$. Definiujemy iloczyn skalarny formułą

$v\cdot w=v_{1}w_{1}+...+v_{n}w_{n},$

gdzie $(v_{1},...,v_{n})$, $(w_{1},...,w_{n})$ są współrzędnymi wektorów $v$ i $w$ w danej bazie.

Istotne w tym przykładzie jest to, że każda skończenie wymiarowa przestrzeń wektorowa nad ciałem ${\mathbf {R} }$ może być łatwo wyposażona w iloczyn skalarny.

Definicja 1.5 [Norma]

Normą na przestrzeni wektorowej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle V} nad ciałem Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle {\mathbf R}} nazywamy funkcję

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle V\ni v\longrightarrow \Vert v\Vert \in [0,\infty )\subset {\mathbf R} ,}

która spełnia warunki

N 1) dla każdego wektora Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v\in V} i liczby rzeczywistej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \lambda} zachodzi równość Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \Vert \lambda v\Vert =|\lambda |\Vert v\Vert} ,

N 2) zachodzi nierówność trójkąta, tzn. dla każdych wektorów Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v,w\in V} mamy

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \Vert v+w\Vert \le \Vert v\Vert +\Vert w\Vert .}

Iloczyn skalarny dany w przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle V} wyznacza normę w tej przestrzeni. Mianowicie, definiujemy

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \Vert v\Vert =\sqrt {v\cdot v} . }      (1.1)

Normę wektora nazywamy też jego długością. Stosowany jest zapis Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v^2} , który oznacza Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v\cdot v} lub, co na jedno wychodzi, Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \Vert v\Vert ^2} .

Sprawdzenie, że funkcja zdefiniowana formułą (1.1) spełnia warunki N1) i N2) jest natychmiastowe. Warunek trójkąta sprawdzimy po udowodnieniu następującej nierówności Schwarza.

Twierdzenie 1.5 [Nierówność Schwarza]

Dla funkcji określonej wzorem (1.1) i każdych dwóch wektorów Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v,w\in V} zachodzi nierówność

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle | v\cdot w |\le \Vert v\Vert\Vert w\Vert . }      (1.2)

Równość w powyższej nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v} , Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle w} są liniowo zależne.

Dowód

Jeśli któryś z wektorów Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v} , Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle w} jest zerowy, to twierdzenie jest oczywiste. Załóżmy więc, że wektory te są niezerowe.

Rozważmy funkcję zmiennej rzeczywistej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle t}

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f(t)= \Vert tv +w\Vert ^2.}

Funkcja ta przybiera wartości nieujemne. Z drugiej strony mamy

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f(t)=t^2\Vert v\Vert ^2 +2t(v\cdot w) +\Vert w \Vert ^2.}

A zatem funkcja Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f(t)} jest trójmianem kwadratowym przyjmującym wartości nieujemne, którego współczynnik przy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle t^2} jest dodatni. Oznacza to, że wyróżnik $\Delta$ jest niedodatni. Wobec tego

$\Delta =4(v\cdot w)^{2}-4\Vert v\Vert ^{2}\Vert w\Vert ^{2}\leq 0,$

czyli $(v\cdot w)^{2}\leq \Vert v\Vert ^{2}\Vert w\Vert ^{2}$. Po spierwiastkowaniu tej nierówności dostajemy nierówność Schwarza.

Dla udowodnienia drugiej tezy zauważmy najpierw, że jeśli $v=\lambda w$, to oczywiście w (1.2) mamy równość. Odwrotnie, równość w (1.2) oznacza, że wyróżnik trójmianu $f(t)$ jest równy $0$ i, co za tym idzie, istnieje $t_{o}$, takie, że $f(t_{o})=0$. To zaś oznacza, że $t_{o}v+w=0$, czyli $v$, $w$ są liniowo zależne.

Korzystając, miedzy innymi, z nierowności Schwarza otrzymujemy teraz, dla dowolnych wektorów $v$, $w$, ciąg równości i nierówności

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned\Vert v+w \Vert ^2&=& (v+w)(v+w) =\Vert v\Vert ^2 +2v\cdot w +\Vert w\Vert ^2\\ &\le & \Vert v\Vert ^2 +2 | v\cdot w | +\Vert w\Vert ^2\le \Vert v\Vert ^2 +2 \Vert v\Vert \Vert w \Vert +\Vert w\Vert ^2\\ &=& (\Vert v\Vert +\Vert w\Vert )^2\endaligned}

Udowodniliśmy więc nierówność trójkąta N 2) dla funkcji (1.1).

Przy okazji zauważmy, że otrzymaliśmy twierdzenie Pitagorasa. Mianowicie, jeśli wektory $v$, $w$ są do siebie prostopadłe, czyli $v\cdot w=0$, to

$\Vert v+w\Vert ^{2}=\Vert v\Vert ^{2}+\Vert w\Vert ^{2}.$

Jeśli wektory $v$, $w$ sa niezerowe, to liczbę rzeczywistą $\alpha \in [0,\pi )$ taką, że

$\cos \alpha ={{v\cdot w} \over {\Vert v\Vert \Vert w\Vert }},$

nazywamy kątem między wektorami $v$ i $w$.

Układy ortogonalne. Proces Grama - Schmidta. Bazy ortonormalne

Mówimy, że wektory są do siebie prostopadłe (ortogonalne), jeśli ich iloczyn skalarny jest równy $0$. Ogólniej, układ wektorów $v_{1},...,v_{n}$ nazywa się układem ortogonalnym, jeśli każde dwa wektory tego układu są do siebie prostopadłe, tzn. $v_{i}\cdot v_{j}=0$ dla $i\neq j$. Oczywiście wektor zerowy jest prostopadły do każdego wektora. Dowolny zbiór (niekoniecznie skończony) nazywa się ortogonalny, jeśli każde dwa wektory tego zbiory są ortogonalne.

Mamy następujący

Lemat 2.1

Ortogonalny i nie zawierający zera układ wektorów $v_{1},...,v_{n}$ jest liniowo niezależny.

Dowód

Niech $\lambda _{1}v_{1}+...+\lambda _{n}v_{n}=0$. Obie strony tej równości pomnóżmy skalarnie przez $v_{i}$, dla $i=1,...,n$. Otrzymujemy równość $\lambda _{i}(v_{i}\cdot v_{i})=0$, a stąd $\lambda _{i}=0$.

Wektor $v\in V$ nazywa się jednostkowym, jeśli $\Vert v\Vert =1$. Układ wektorów $v_{1},...,v_{n}$ nazywa się ortonormalnym, jeśli każdy z tych wektorów jest jednostkowy, a cały układ jest ortogonalny. Jeśli $v$ jest wektorem niezerowym, to

${v \over {\Vert v\Vert }}$

jest wektorem jednostkowym. Mówimy, że wektor $v$ został znormalizowany.

Niech $v_{1},...,v_{n}$ będzie pewnym układem liniowo niezależnym przestrzeni wektorowej $V$ wyposażonej w iloczyn skalarny. Niech

$e_{1}={{v_{1}} \over {\Vert v_{1}\Vert }}.$

Wektor $e_{1}$ jest jednostkowy i generuje tę samą przestrzeń co $v_{1}$. Zdefiniujmy teraz wektor $e_{2}$ następująco

${\tilde {e}}_{2}=v_{2}-(v_{2}\cdot e_{1})e_{1}.$

Łatwo sprawdzić, że wektor ten jest prostopadły do $e_{1}$. Ponadto układ wektorów $e_{1},{\tilde {e}}_{2}$ rozpina tę samą podprzestrzeń co układ wektorów $v_{1},v_{2}$. Co więcej, jeśli oznaczymy przez $V_{2}$ tę podprzestrzeń, to $e_{1},{\tilde {e}}_{2}$ oraz $v_{1},v_{2}$ są takimi bazami tej przestrzeni $V_{2}$, że macierz przejścia od bazy $v_{1},v_{2}$ do bazy $e_{1},{\tilde {e}}_{2}$ ma wyznacznik dodatni.

Definiujemy teraz

$e_{2}={{{\tilde {e}}_{2}} \over {\Vert {\tilde {e}}_{2}\Vert }}$

Oczywiście układy $v_{1},v_{2}$ i $e_{1},e_{2}$ rozpinają tę samą podprzestrzeń $V_{2}$, układ $e_{1},e_{2}$ jest ortonormalny a macierz przejścia od bazy $v_{1},v_{2}$ do bazy $e_{1},e_{2}$ przestrzeni $V_{2}$ ma wyznacznik dodatni.

Załóżmy, że zdefiniowaliśmy już $k$ kolejnych wektorów $e_{1},...,e_{k}$ takich, że układy $e_{1},...,e_{k}$ i $v_{1},...,v_{k}$ rozpinają tę samą podprzestrzeń $V_{k}$, układ $e_{1},...,e_{k}$ jest ortonormalny a macierz przejścia od bazy $v_{1},...,v_{k}$ do bazy $e_{1},...,e_{k}$ ma wyznacznik dodatni. Definiujemy wektor ${\tilde {e}}_{k+1}$ wzorem

${\tilde {e}}_{k+1}=v_{k+1}-(v_{k+1}\cdot e_{1})e_{1}-...-(v_{k+1}\cdot e_{k})e_{k}.$      (2.3)

Następnie definiujemy

$e_{k+1}={{{\tilde {e}}_{k+1}} \over {\Vert {\tilde {e}}_{k+1}\Vert }}.$

Łatwo widać, że ${\tilde {e}}_{k+1}$ jest prostopadły do każdego z wektorów $e_{1},...,e_{k}$, a zatem układ $e_{1},...,e_{k+1}$ jest ortonormalny. Łatwo tez widać, że układy $v_{1},...,v_{k+1}$; $e_{1},...,e_{k+1}$ rozpinają tę samą podprzestrzeń, powiedzmy $V_{k+1}$. Ponadto macierz przejścia od bazy $v_{1},...,v_{k+1}$ do bazy $e_{1},...,e_{k+1}$ przestrzeni $V_{k+1}$ ma wyznacznik dodatni.

Powyższy proces otrzymywania układu ortonormalnego nazywa się procesem Grama-Schmidta. Jeśli $v_{1},...,v_{k}$ jest układem ortonormalnym, to proces Grama-Schmidta nie zmienia tego układu.

Z powyższych rozumowań wynika natychmiast

Twierdzenie 2.2

Każda skończenie wymiarowa przestrzeń wektorowa wyposażoną w iloczyn skalarny ma bazę ortonormalną.

Od tego momentu do końca niniejszego wykładu zakładamy, że przestrzenie wektorowe są skończenie wymiarowe.

Jeżeli $e_{1},...,e_{n}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej $V$, to wektor $v\in V$ wyraża się jako kombinacja liniowa wektorów tej bazy następującym wzorem

$v=(v\cdot e_{1})e_{1}+...+(v\cdot e_{n})e_{n}.$      (2.4)

Aby sprawdzić ten wzór wystarczy pomnożyć skalarnie obie strony tej równości przez kolejne wektory bazy $e_{1},...,e_{n}$.

Rzutowanie prostokątne. Izometrie

Niech dana będzie podprzestrzeń wektorowa $U$ przestrzeni euklidesowej $V$. Podprzestrzeń ta jest wyposażona w indukowany iloczyn skalarny, tzn. jest to iloczyn skalarny będący zawężeniem iloczynu skalarnego z $V$ do $U$ (dokładniej mówiąc, zawężeniem $V\times V$ do $U\times U$). Zdefiniujmy podprzestrzeń

$U^{\perp }=\{w\in V|\ \ w\cdot v=0\ {\rm {dla\ kazdego\ v\in V}}\}.$

Łatwo sprawdzić, że $U^{\perp }$ jest podprzestrzenią wektorową. Ponadto, $U^{\perp }\cap U=\{0\}$. Istotnie, jeśli $v\in U^{\perp }\cap U$, to $v\cdot v=0$, a stąd wynika, że $v=0$.

Niech $v_{1},...,v_{k}$ będzie bazą podprzestrzeni $U$. Rozrzerzmy tę bazę do bazy $v_{1},...,v_{k},v_{k+1},...,v_{n}$ przestrzeni $V$. Zastosujmy do tej bazy proces Grama-Schmidta. Otrzymujemy bazę ortonormalną $e_{1},...,e_{n}$ przestrzeni $V$. Pierwszych $k$ wektorów tej bazy rozpina podprzestrzeń $U$, pozostałe rozpinają pewne dopełnienie algebraiczne do $U$ i należą do podprzestrzeni $U^{\perp }$. A zatem $U^{\perp }$ jest dopełnieniem algebraicznym do $U$. Podprzestrzeń $U^{\perp }$ nazywa się dopełnieniem ortogonalnym (prostopadłym) do $U$.

Przypomnijmy, że dopełnienia algebraiczne nie są wyznaczone jednoznacznie. Dopełnienie ortogonalne (istniejące tylko w przestrzeni wyposażonej w iloczyn skalarny) jest wyznaczone jednoznacznie. Oto kilka podstawowych własności dopełnienia ortogonalnego:

Lemat 3.1

Dla każdych podprzestrzeni $U$, $W$ przestrzeni euklidesowej $V$ zachodzą następujące związki.

1. $(U^{\perp })^{\perp }=U$.
2. Jeżeli $U\subset W$, to $W^{\perp }\subset U^{\perp }$.
3. $(U+W)^{\perp }=U^{\perp }\cap W^{\perp }$.
4. $(U\cap W)^{\perp }=U^{\perp }+W^{\perp }$.

Udowodnienie powyższych własności pozostawiamy jako ćwiczenie.

W przestrzeni euklidesowej dla ustalonej podprzestrzeni $U$ mamy

$V=U\oplus U^{\perp }.$

A zatem mamy rzutowanie na $U$ równoległe do $U^{\perp }$. Ponieważ dopełnienie ortogonalne jest wyznaczone jednoznacznie, więc wymienianie przestrzeni $U^{\perp }$ jest niekonieczne. Używamy określenia " rzutowanie prostokątne na podprzestrzeń $U$ ". Podkreślmy, że możemy mówić o rzutowaniu prostokątnym tylko w przypadku przestrzeni wyposażonych w iloczyn skalarny.

Niech teraz $V$ i $W$ będą przestrzeniami wektorowymi wyposażonymi w iloczyny skalarne - obydwa oznaczane kropką. Mówimy, że odwzorowanie $f:V\longrightarrow W$ jest izometrią, jeśli zachowuje iloczyn skalarny, tzn. dla każdych wektorów $u,v\in V$ zachodzi równość $f(u\cdot v)=f(u)\cdot f(v)$. Oczywiście odwzorowanie, które zachowuje iloczyn skalarny zachowuje też normę, czyli $\Vert f(v)\Vert =\Vert v\Vert$ dla każdej izometrii $f$.

Twierdzenie 3.2 [O izometrii]

Izometria jest odwzorowaniem liniowym. Co więcej, jest monomorfizmem.

Dowód

Załóżmy, że $e_{1},...,e_{n}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni wektorowej $V$. Ponieważ odwzorowanie $f$ zachowuje iloczyn skalarny, więc wektory

$f(e_{1}),...,f(e_{n})$

stanowią układ ortonormalny w $W$, a więc jest to układ liniowo niezależny. Jest wiec bazą ortonormalną przestrzeni ${\rm {im}}f$. Na podstawie wzoru (2.4) i faktu, że $f(v)\cdot f(e_{i})=v\cdot e_{i}$ dla każdego $i=1,...,n$, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\alignedf”): {\displaystyle \alignedf(v)&=&(f(v)\cdot f(e_1))f(e_1) +...+(f(v)\cdot f(e_n))f(e_n)\\ &= &(v\cdot e_1)f(e_1)+...+(v\cdot e_n)f(e_n). \endaligned}

Oznacza to, że jeśli $v=\lambda _{1}e_{1}+...\lambda _{n}e_{n}$, to

$f(v)=\lambda _{1}f(e_{1})+...+\lambda _{n}f(e_{n}).$

Łatwo sprawdzić, że takie odwzorowanie jest liniowe.

Jeśli $f(v)=0$, to $\Vert f(v)\Vert =0$. A zatem $\Vert v\Vert =\Vert f(v)\Vert =0$, czyli $v=0$. W ten sposób udowodniliśmy monomorficzność $f$.

Twierdzenie 3.3

Odwzorowanie liniowe zachowujące normę jest izometrią.

Dowód

Niech $f$ będzie odwzorowaniem spełniającym założenia twierdzenia. Zachodzą równości

$\Vert v+w\Vert ^{2}=\Vert v\Vert ^{2}+2v\cdot w+\Vert w\Vert ^{2},$

$\Vert f(v+w)\Vert ^{2}=\Vert f(v)+f(w)\Vert ^{2}=\Vert f(v)\Vert ^{2}+2f(v)\cdot f(w)+\Vert f(w)\Vert ^{2}.$

Ponieważ $\Vert f(v+w)\Vert =\Vert v+w\Vert$, $\Vert f(v)\Vert =\Vert v\Vert$ i $\Vert f(w)\Vert =\Vert w\Vert$, więc $f(v)\cdot f(w)=v\cdot w$.

Dowód kolejnego twierdzenia jest standardowy i pozostawiamy go czytelnikowi.

Twierdzenie 3.4

Złożenie izometrii jest izometrią. Jeśli izometria jest bijekcją, to odwzorowanie odwrotne do izometrii jest izometrią.

Niech $f:V\longrightarrow V$ będzie izometrią przestrzeni euklidesowej $V$. Niech $e_{1},...,e_{n}$ będzie bazą ortonormalną przestrzeni $V$. Wiemy, że $f(e_{i})\cdot f(e_{j})=e_{i}\cdot e_{j}\delta _{ij}$, dla $i,j=1,...,n$. Jeśli więc $A$ jest macierzą $f$ przy bazie ortonormalnej, to

$A^{*}A=I.$

Macierz spełniającą powyższy warunek nazywa się macierzą ortogonalną. Macierz taką można też traktować jako izometrię przestrzeni ${\mathbf {R} }^{n}$ wyposażonej w standardowy iloczyn skalarny. Zbiór wszystkich macierzy ortogonalnych wymiarów $n$ na $n$ stanowi podgrupę grupy ogólnej $GL(n;{\mathbf {R} })$. Podgrupę tę nazywa się grupą ortogonalną i oznacza przez $O(n)$.

Dla macierzy ortogonalnej mamy ${\rm {det}}A^{*}{\rm {det}}A=1$. A zatem $({\rm {det}}A)^{2}=1$, czyli ${\rm {det}}A=\pm 1$.

Zbiór wszystkich macierzy ortogonalnych wymiarów $n$ na $n$ o wyznaczniku dodatnim (czyli o wyznaczniku 1) stanowi podgrupę grupy ortogonalnej.