Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 10: Euklidesowe przestrzenie wektorowe: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
 
(Nie pokazano 17 wersji utworzonych przez 3 użytkowników)
Linia 1: Linia 1:
 +
==Iloczyn skalarny==
  
 +
Zaczniemy od definicji iloczynu skalarnego
 +
 +
 +
{{definicja|1.1 [Iloczyn Skalarny]|def 1.1|
 +
Niech <math>V</math> będzie przestrzenią wektorową nad ciałem <math>{\mathbb R}</math>. Odwzorowanie
 +
 +
 +
<center><math>g: V\times V\longrightarrow {\mathbb R}</math></center>
 +
 +
 +
nazywa się iloczynem skalarnym, jeśli spełnia trzy następujące warunki:
 +
 +
;S1) jest dwuliniowe,
 +
;S2) jest symetryczne,
 +
;S3) jest dodatnio określone, tzn. dla każdego  <math>v\in V</math> zachodzi
 +
nierówność <math>g(v,v)\ge 0</math> i <math>g(v,v)=0 </math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>v=0</math>.
 +
}}
 +
 +
Wartość iloczynu skalarnego na wektorach <math>v,w</math> oznaczamy także
 +
przez <math><v,w></math> lub <math>v\cdot w</math>. Jak zwykle kropkę często pomijamy w zapisie. Nazwa iloczyn skalarny pochodzi stąd, że wynikiem takiego
 +
mnożenia jest skalar. Zwróćmy także uwagę na to, że wybór ciała
 +
liczb rzeczywistych jest tutaj nieprzypadkowy. W innych ciałach
 +
nie mamy skalarów większych od zera.
 +
 +
Zbierzemy teraz kilka najważniejszych przykładów iloczynów
 +
skalarnych.
 +
 +
{{przyklad|1.2|przy 1.2|
 +
W przestrzeni <math>{\mathbb R} ^n</math> mamy tzw. standardowy (lub kanoniczny)
 +
iloczyn skalarny. Mianowicie, dla  wektorów <math>v=(v_1,.... v_n),\ \ w=(w_1,...,w_n)\in {\mathbb R} ^n</math> definiujemy
 +
 +
 +
<center><math>v\cdot w = v_1w_1+...+v_nw_n.</math></center>
 +
 +
 +
Ogólniej, niech <math>\lambda _1,...,\lambda _n</math> będą dowolnymi liczbami dodatnimi. Definiujemy iloczyn skalarny
 +
 +
 +
<center><math>v\cdot w =\lambda _1v_1w_1+...+\lambda _nv_nw_n.</math></center>
 +
 +
 +
}}
 +
 +
{{przyklad|1.3|przy 1.3|
 +
Rozważmy przestrzeń funkcji ciągłych określonych na przedziale <math>[a,b]</math>. Definiujemy iloczyn skalarny
 +
 +
 +
<center><math>\displaystyle <f,h>=\int _a^b fh.</math></center>
 +
 +
 +
}}
 +
 +
{{przyklad|1.4|przy 1.4|
 +
Niech <math>e_1,...,e_n</math> będzie bazą przestrzeni wektorowej <math>V</math> nad ciałem <math>{\mathbb R}</math>. Definiujemy iloczyn skalarny formułą
 +
 +
 +
<center><math>v\cdot w =v_1w_1+...+v_nw_n,</math></center>
 +
 +
 +
gdzie <math>(v_1,...,v_n)</math>, <math>(w_1,...,w_n)</math> są współrzędnymi wektorów <math>v</math> i <math>w</math> w danej bazie.
 +
 +
Istotne w tym przykładzie jest to, że każda skończenie wymiarowa przestrzeń wektorowa nad ciałem <math>{\mathbb R}</math> może być łatwo wyposażona w
 +
iloczyn skalarny.
 +
}}
 +
 +
{{definicja|1.5 [Norma]|def 1.5|
 +
Normą na przestrzeni wektorowej <math>V</math> nad ciałem <math>{\mathbb R}</math> nazywamy funkcję
 +
 +
 +
<center><math>V\ni v\longrightarrow \Vert v\Vert \in [0,\infty )\subset {\mathbb R} ,</math></center>
 +
 +
 +
która spełnia warunki
 +
 +
; N 1) dla każdego wektora <math>v\in V</math> i liczby rzeczywistej <math>\lambda</math> zachodzi równość <math>\Vert \lambda v\Vert =|\lambda |\Vert v\Vert</math>,
 +
; N 2) zachodzi nierówność trójkąta, tzn. dla każdych wektorów <math>v,w\in V</math> mamy
 +
 +
 +
<center><math>\Vert v+w\Vert \le \Vert v\Vert
 +
+\Vert w\Vert .</math></center>
 +
 +
 +
}}
 +
 +
Iloczyn skalarny  dany w przestrzeni <math>V</math> wyznacza normę w tej
 +
przestrzeni. Mianowicie, definiujemy
 +
 +
 +
{{wzor|norma|1.1|
 +
<math>
 +
\Vert v\Vert =\sqrt {v\cdot v}  .
 +
</math>}}
 +
 +
 +
Normę wektora nazywamy też jego długością. Stosowany  jest zapis <math>v^2</math>, który oznacza <math>v\cdot v</math> lub, co na jedno wychodzi, <math>\Vert v\Vert ^2</math>.
 +
 +
Sprawdzenie, że funkcja zdefiniowana formułą ([[#norma|1.1]]) spełnia warunki N1) i N2) jest natychmiastowe. Warunek trójkąta sprawdzimy po udowodnieniu następującej nierówności Schwarza.
 +
 +
{{twierdzenie|1.5 [Nierówność Schwarza]|tw 1.5|
 +
Dla funkcji określonej wzorem ([[#norma|1.1]]) i każdych dwóch wektorów <math>v,w\in V</math> zachodzi nierówność}}
 +
 +
 +
{{wzor|schwarz|1.2|
 +
<math>
 +
| v\cdot w |\le \Vert v\Vert\Vert w\Vert .
 +
</math>}}
 +
 +
 +
Równość w powyższej nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory <math>v</math>, <math>w</math> są liniowo zależne.
 +
 +
{{dowod|||
 +
Jeśli któryś z wektorów <math>v</math>, <math>w</math> jest zerowy, to twierdzenie jest oczywiste. Załóżmy więc, że wektory te są niezerowe.
 +
 +
Rozważmy funkcję zmiennej rzeczywistej <math>t</math>
 +
 +
 +
<center><math>f(t)= \Vert tv +w\Vert ^2.</math></center>
 +
 +
 +
Funkcja ta przybiera wartości nieujemne. Z drugiej strony mamy
 +
 +
 +
<center><math>f(t)=t^2\Vert v\Vert ^2 +2t(v\cdot w) +\Vert w \Vert ^2.</math></center>
 +
 +
 +
A zatem funkcja <math>f(t)</math> jest trójmianem kwadratowym przyjmującym
 +
wartości nieujemne, którego współczynnik przy <math>t^2</math> jest dodatni.
 +
Oznacza to, że wyróżnik <math>\Delta</math> jest niedodatni. Wobec tego
 +
 +
 +
<center><math>\Delta =4(v\cdot w) ^2 -4\Vert v\Vert ^2\Vert w\Vert ^2\le 0,</math></center>
 +
 +
 +
czyli <math>(v\cdot w) ^2\le \Vert v\Vert ^2 \Vert w\Vert ^2</math>. Po
 +
spierwiastkowaniu tej nierówności dostajemy nierówność Schwarza.
 +
 +
Dla udowodnienia drugiej tezy zauważmy najpierw, że jeśli <math>v=\lambda w</math>, to oczywiście w ([[#schwarz|1.2]]) mamy równość. Odwrotnie, równość w ([[#schwarz|1.2]]) oznacza, że wyróżnik trójmianu <math>f(t)</math> jest równy <math>0</math> i, co za tym idzie, istnieje <math>t_o</math>, takie, że <math>f(t_o)=0</math>. To zaś oznacza, że <math>t_ov+w=0</math>, czyli <math>v</math>, <math>w</math> są liniowo zależne.}}
 +
 +
Korzystając, miedzy innymi, z nierowności Schwarza otrzymujemy teraz, dla dowolnych wektorów <math>v</math>, <math>w</math>, ciąg równości i nierówności
 +
 +
 +
<center><math>\begin{align}\Vert v+w \Vert ^2&= (v+w)(v+w) =\Vert v\Vert ^2 +2v\cdot w
 +
+\Vert w\Vert ^2\\ &\le  \Vert v\Vert ^2 +2 | v\cdot w | +\Vert
 +
w\Vert ^2\le \Vert
 +
v\Vert ^2 +2 \Vert v\Vert \Vert  w \Vert +\Vert w\Vert ^2\\
 +
&= (\Vert v\Vert +\Vert w\Vert )^2\end{align}</math></center>
 +
 +
 +
Udowodniliśmy więc nierówność trójkąta N 2) dla funkcji ([[#norma|1.1]]).
 +
 +
Przy okazji zauważmy, że otrzymaliśmy twierdzenie Pitagorasa. Mianowicie, jeśli wektory <math>v</math>, <math>w</math> są do siebie prostopadłe, czyli <math>v\cdot w=0</math>, to
 +
 +
 +
<center><math>\Vert v+w\Vert ^2 =\Vert v\Vert  ^2 +\Vert w\Vert ^2.</math></center>
 +
 +
 +
Jeśli  wektory <math>v</math>, <math>w</math> sa niezerowe, to liczbę rzeczywistą <math>\alpha\in [0,\pi )</math> taką, że
 +
 +
 +
<center><math>\cos \alpha ={{v\cdot w}\over {\Vert v\Vert \Vert w\Vert}},</math></center>
 +
 +
 +
nazywamy ''kątem między wektorami <math>v</math> i <math>w</math>''.
 +
 +
==Układy ortogonalne. Proces Grama - Schmidta. Bazy ortonormalne==
 +
 +
Mówimy, że wektory  są do siebie ''prostopadłe (ortogonalne)'', jeśli ich iloczyn skalarny jest równy <math>0</math>. Ogólniej, układ wektorów <math>v_1,..., v_n</math> nazywa się układem ortogonalnym, jeśli każde dwa wektory tego układu są do siebie prostopadłe, tzn. <math>v_i\cdot v_j=0</math> dla <math>i\ne j</math>. Oczywiście wektor zerowy jest prostopadły do każdego wektora. Dowolny zbiór (niekoniecznie skończony) nazywa się ortogonalny, jeśli każde dwa wektory tego zbiory  są ortogonalne.
 +
 +
[[File:ag_10_1a.mp4|253x253px|thumb|right|Wektory ortogonalne (prostopadłe)]]
 +
 +
Mamy następujący
 +
 +
{{lemat|2.1|lem 2.1|
 +
Ortogonalny i nie zawierający zera układ wektorów <math>v_1,...,v_n</math>
 +
jest liniowo niezależny.
 +
}}
 +
 +
{{dowod|||
 +
Niech <math>\lambda _1v_1+...+\lambda _nv_n=0</math>. Obie strony tej równości pomnóżmy skalarnie przez <math>v_i</math>, dla <math>i=1,..., n</math>. Otrzymujemy równość <math>\lambda _i (v_ i\cdot v_i)=0</math>, a stąd <math>\lambda _i=0</math>.}}
 +
 +
Wektor <math>v\in V</math> nazywa się jednostkowym, jeśli <math>\Vert v\Vert =1</math>. Układ wektorów <math>v_1,...,v_n</math> nazywa się ortonormalnym, jeśli każdy z tych wektorów jest jednostkowy, a cały układ jest ortogonalny.
 +
Jeśli <math>v</math> jest wektorem niezerowym, to
 +
 +
 +
<center><math>{v\over{\Vert v\Vert}}</math></center>
 +
 +
 +
jest wektorem jednostkowym. Mówimy, że wektor <math>v</math> został znormalizowany.
 +
 +
Niech <math>v_1,...,v_n</math> będzie pewnym układem liniowo niezależnym
 +
przestrzeni wektorowej <math>V</math> wyposażonej w iloczyn skalarny.
 +
Niech
 +
 +
<center><math>e_1 = {{v_1}\over {\Vert v_1\Vert}}.</math></center>
 +
 +
Wektor <math>e_1</math> jest jednostkowy i generuje tę samą przestrzeń co
 +
<math>v_1</math>. Zdefiniujmy teraz wektor <math>e_2</math> następująco
 +
 +
 +
<center><math> \tilde e_2= v_2- (v_2\cdot e_1)e_1.</math></center>
 +
 +
 +
Łatwo sprawdzić, że wektor ten  jest prostopadły do <math>e_1</math>. Ponadto
 +
układ wektorów <math>e_1, \tilde e_2</math> rozpina tę samą podprzestrzeń co
 +
układ wektorów <math>v_1,v_2</math>. Co więcej, jeśli oznaczymy przez <math>V_2</math> tę podprzestrzeń, to <math>e_1,\tilde e_2</math> oraz <math>v_1,v_2</math> są takimi bazami tej przestrzeni <math>V_2</math>, że macierz przejścia od bazy <math>v_1,v_2</math> do bazy <math>e_1, \tilde e_2</math> ma wyznacznik dodatni.
 +
 +
Definiujemy teraz
 +
 +
 +
<center><math>e_2 ={{\tilde e_2}\over {\Vert\tilde e_2\Vert}}</math></center>
 +
 +
 +
Oczywiście układy <math>v_1, v_2</math> i <math>e_1,e_2</math> rozpinają tę samą
 +
podprzestrzeń <math>V_2</math>, układ <math>e_1, e_2</math> jest ortonormalny a macierz przejścia od bazy <math>v_1, v_2</math> do bazy <math>e_1, e_2</math> przestrzeni <math>V_2</math> ma wyznacznik dodatni.
 +
 +
Załóżmy, że zdefiniowaliśmy już <math>k</math> kolejnych wektorów <math>e_1,...,e_k</math> takich, że układy <math>e_1,...,e_k</math> i <math>v_1,..., v_k</math> rozpinają tę samą podprzestrzeń <math>V_k</math>, układ <math>e_1,...,e_k</math> jest ortonormalny a macierz przejścia od bazy <math>v_1,..., v_k</math> do bazy <math>e_1,...,e_k</math> ma wyznacznik dodatni. Definiujemy wektor <math>\tilde e_{k+1}</math> wzorem
 +
 +
 +
{{wzor|wektor|2.3|
 +
<math>
 +
\tilde e_{k+1} = v_{k+1}-(v_{k+1}\cdot e_1)e_1-...-(v_{k+1}\cdot
 +
e_k)e_k. </math>}}
 +
 +
 +
Następnie definiujemy
 +
 +
 +
<center><math>e_{k+1}= {{\tilde e_{k+1}}\over {\Vert \tilde e_{k+1}\Vert }}.</math></center>
 +
 +
 +
Łatwo widać, że <math>\tilde e_{k+1}</math> jest prostopadły do każdego z
 +
wektorów <math>e_1,...,e_k</math>, a zatem układ <math>e_1,...,e_{k+1}</math> jest ortonormalny. Łatwo tez widać, że układy <math>v_1,...,v_{k+1}</math>;
 +
<math>e_1,...,e_{k+1}</math> rozpinają tę samą podprzestrzeń, powiedzmy <math>V_{k+1}</math>. Ponadto macierz przejścia od bazy <math>v_1,...,v_{k+1}</math> do bazy <math>e_1,...,e_{k+1}</math> przestrzeni <math>V_{k+1}</math> ma wyznacznik dodatni.
 +
 +
Powyższy proces otrzymywania  układu ortonormalnego nazywa się ''procesem Grama-Schmidta''. Jeśli <math>v_1,...,v_k</math> jest układem ortonormalnym, to proces Grama-Schmidta nie zmienia tego układu.
 +
 +
<center>
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|
 +
[[File:ag_10_2a.mp4|253x253px|thumb|left|Proces Grama-Schmidta]]
 +
|}
 +
</center>
 +
 +
Z powyższych rozumowań wynika natychmiast
 +
 +
{{twierdzenie|2.2|tw 2.2|
 +
Każda skończenie wymiarowa przestrzeń wektorowa wyposażoną w iloczyn skalarny ma bazę ortonormalną.
 +
}}
 +
 +
Od tego momentu do końca niniejszego wykładu zakładamy, że przestrzenie wektorowe są skończenie wymiarowe.
 +
 +
Jeżeli <math>e_1,...,e_n</math> jest bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej <math>V</math>, to wektor <math>v\in V</math> wyraża się jako kombinacja liniowa wektorów tej bazy następującym wzorem
 +
 +
 +
{{wzor|baza_ortonormalna|2.4|
 +
<math>
 +
v=(v\cdot e_1)e_1+...+(v\cdot e_n)e_n.
 +
</math>}}
 +
 +
 +
Aby sprawdzić ten wzór wystarczy pomnożyć skalarnie obie strony tej równości  przez kolejne wektory bazy <math>e_1,..., e_n</math>.
 +
 +
==Rzutowanie prostokątne. Izometrie==
 +
 +
Niech dana będzie podprzestrzeń wektorowa <math>U</math> przestrzeni euklidesowej <math>V</math>. Podprzestrzeń ta jest wyposażona w indukowany
 +
iloczyn skalarny, tzn. jest to iloczyn skalarny będący zawężeniem iloczynu skalarnego z <math>V</math> do <math>U</math> (dokładniej mówiąc, zawężeniem
 +
<math>V\times V</math> do <math>U\times U</math>). Zdefiniujmy podprzestrzeń
 +
 +
 +
<center><math>U^{\perp }=\{ w\in V |\ \  w\cdot v =0 \ {\rm dla\  kazdego\ v\in V}\}.</math></center>
 +
 +
 +
Łatwo sprawdzić, że <math>U^{\perp}</math> jest podprzestrzenią wektorową. Ponadto, <math>U^{\perp}\cap U=\{0\}</math>. Istotnie, jeśli <math>v\in U^{\perp}\cap U</math>, to <math>v\cdot v =0</math>, a stąd wynika, że <math>v=0</math>.
 +
 +
Niech <math>v_1,...,v_k</math> będzie bazą  podprzestrzeni <math>U</math>. Rozrzerzmy tę bazę do bazy <math>v_1,...,v_k, v_{k+1},..., v_n</math> przestrzeni <math>V</math>. Zastosujmy do tej bazy proces Grama-Schmidta.
 +
Otrzymujemy bazę ortonormalną <math>e_1,...,e_n</math> przestrzeni <math>V</math>. Pierwszych <math>k</math> wektorów tej bazy rozpina  podprzestrzeń <math>U</math>, pozostałe rozpinają pewne dopełnienie algebraiczne do <math>U</math> i należą do podprzestrzeni <math>U^{\perp}</math>. A zatem <math>U^{\perp}</math> jest dopełnieniem algebraicznym do <math>U</math>. Podprzestrzeń <math>U^{\perp}</math> nazywa się dopełnieniem ortogonalnym (prostopadłym) do <math>U</math>.
 +
 +
Przypomnijmy, że dopełnienia algebraiczne nie są wyznaczone jednoznacznie. Dopełnienie ortogonalne (istniejące tylko w przestrzeni wyposażonej w iloczyn skalarny) jest wyznaczone jednoznacznie. Oto kilka podstawowych własności dopełnienia ortogonalnego:
 +
 +
 +
<center>
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|
 +
[[File:ag_10_3a.mp4|253x253px|thumb|right|Dopełnienie ortogonalne (prostopadłe)]]
 +
|
 +
[[File:ag_10_3b.mp4|253x253px|thumb|left|Rzutowanie prostokątne]]
 +
|}
 +
</center>
 +
 +
 +
{{lemat|3.1|lem 3.1|
 +
Dla każdych podprzestrzeni <math>U</math>, <math>W</math> przestrzeni euklidesowej <math>V</math> zachodzą następujące związki.
 +
 +
# <math>(U^{\perp})^{\perp}=U</math>.
 +
# Jeżeli <math>U\subset W</math>, to <math>W^{\perp}\subset U^{\perp}</math>.
 +
# <math>(U+W)^{\perp}=U^{\perp}\cap W^{\perp}</math>.
 +
# <math>(U\cap W)^{\perp}=U^{\perp}+W^{\perp}</math>.
 +
 +
}}
 +
 +
Udowodnienie powyższych własności pozostawiamy jako ćwiczenie.
 +
 +
W przestrzeni euklidesowej dla ustalonej podprzestrzeni <math>U</math> mamy
 +
 +
 +
<center><math>V=U\oplus U^{\perp}.</math></center>
 +
 +
 +
A zatem mamy  rzutowanie na <math>U</math> równoległe do <math>U^{\perp}</math>.
 +
Ponieważ dopełnienie ortogonalne jest wyznaczone jednoznacznie, więc wymienianie przestrzeni <math>U^{\perp}</math> jest niekonieczne. Używamy określenia " rzutowanie prostokątne  na podprzestrzeń <math>U</math> ". Podkreślmy, że możemy mówić o rzutowaniu prostokątnym tylko w przypadku przestrzeni wyposażonych w iloczyn skalarny.
 +
 +
Niech teraz <math>V</math> i <math>W</math> będą przestrzeniami wektorowymi wyposażonymi w iloczyny skalarne - obydwa oznaczane kropką. Mówimy, że
 +
odwzorowanie <math>f:V\longrightarrow W</math> jest ''izometrią'', jeśli
 +
zachowuje iloczyn skalarny, tzn. dla każdych wektorów <math>u,v \in V</math>
 +
zachodzi równość <math>f(u\cdot v)=f(u)\cdot f(v)</math>. Oczywiście odwzorowanie, które zachowuje iloczyn skalarny zachowuje też normę, czyli <math>\Vert f(v)\Vert=\Vert v\Vert </math> dla każdej izometrii <math>f</math>.
 +
 +
{{twierdzenie|3.2 [O izometrii]|tw 3.2|
 +
Izometria jest odwzorowaniem liniowym. Co więcej, jest monomorfizmem.
 +
}}
 +
 +
{{dowod|||
 +
Załóżmy, że <math>e_1,...,e_n</math> jest bazą ortonormalną przestrzeni
 +
wektorowej <math>V</math>. Ponieważ odwzorowanie <math>f</math> zachowuje iloczyn skalarny, więc wektory
 +
 +
 +
<center><math>f(e_1),...,f(e_n)</math></center>
 +
 +
 +
stanowią układ ortonormalny w <math>W</math>, a więc jest to układ liniowo niezależny. Jest wiec bazą ortonormalną przestrzeni <math>{\rm im} f</math>. Na podstawie wzoru ([[#baza_ortonormalna|2.4]]) i faktu, że <math>f(v)\cdot f(e_i)=v\cdot e_i</math> dla każdego <math>i=1,...,n</math>, mamy
 +
 +
 +
<center><math>\begin{align} f(v)&=(f(v)\cdot f(e_1))f(e_1) +...+(f(v)\cdot
 +
f(e_n))f(e_n)\\
 +
&= (v\cdot e_1)f(e_1)+...+(v\cdot e_n)f(e_n).
 +
\end{align}</math></center>
 +
 +
 +
Oznacza to, że jeśli <math>v=\lambda _1e_1+...\lambda _ne_n</math>, to
 +
 +
 +
<center><math>f(v) =\lambda _1 f(e_1)+...+\lambda _n f(e_n).</math></center>
 +
 +
 +
Łatwo  sprawdzić, że takie odwzorowanie jest liniowe.
 +
 +
Jeśli <math>f(v)=0</math>, to <math>\Vert f(v)\Vert =0</math>. A zatem <math>\Vert v \Vert =\Vert f(v)\Vert =0</math>, czyli <math> v =0</math>. W ten sposób udowodniliśmy monomorficzność <math>f</math>.}}
 +
 +
{{twierdzenie|3.3|tw 3.3|
 +
Odwzorowanie liniowe zachowujące normę jest izometrią.
 +
}}
 +
 +
{{dowod|||
 +
Niech <math>f</math> będzie odwzorowaniem spełniającym założenia twierdzenia. Zachodzą równości
 +
 +
 +
<center><math> \Vert v+w\Vert ^2= \Vert v\Vert ^2 +2 v\cdot w +\Vert w\Vert ^2,</math></center>
 +
 +
 +
<center><math> \Vert f(v+w)\Vert ^2 = \Vert f(v)+f(w)\Vert ^2 = \Vert f(v)\Vert
 +
^2+ 2f(v)\cdot f(w) +\Vert f(w)\Vert ^2.</math></center>
 +
 +
 +
Ponieważ <math>\Vert f(v+w)\Vert = \Vert v+w\Vert</math>, <math>\Vert f(v)\Vert =\Vert v\Vert</math> i <math>\Vert f(w)\Vert =\Vert w\Vert</math>, więc <math>f(v)\cdot f(w)= v\cdot w</math>.}}
 +
 +
Dowód kolejnego twierdzenia jest standardowy i pozostawiamy go czytelnikowi.
 +
 +
{{twierdzenie|3.4|tw 3.4|
 +
Złożenie izometrii jest izometrią. Jeśli izometria jest bijekcją, to odwzorowanie odwrotne do izometrii jest izometrią.
 +
}}
 +
 +
Niech <math>f:V\longrightarrow V</math> będzie izometrią przestrzeni euklidesowej <math>V</math>. Niech <math>e_1,...,e_n</math> będzie bazą ortonormalną przestrzeni <math>V</math>. Wiemy, że <math>f(e_i)\cdot f(e_j)=e_i\cdot e_j \delta _{ij}</math>, dla <math>i,j=1,...,n</math>. Jeśli więc <math>A</math> jest macierzą <math>f</math> przy bazie ortonormalnej, to
 +
 +
 +
<center><math>A^*A=I.</math></center>
 +
 +
 +
Macierz spełniającą powyższy warunek nazywa się macierzą ortogonalną. Macierz taką można też traktować jako izometrię przestrzeni <math>{\mathbb R} ^n</math> wyposażonej w standardowy iloczyn skalarny. Zbiór wszystkich macierzy ortogonalnych wymiarów <math>n</math> na <math>n</math> stanowi podgrupę grupy ogólnej <math>GL(n;{\mathbb R} )</math>. Podgrupę tę nazywa się grupą ortogonalną i oznacza przez <math>O(n)</math>.
 +
 +
Dla macierzy ortogonalnej mamy <math>{\rm det} A^*{\rm det} A =1</math>. A
 +
zatem <math>({\rm det} A)^2=1</math>, czyli <math>{\rm det} A= \pm 1</math>.
 +
 +
Zbiór wszystkich macierzy ortogonalnych wymiarów <math>n</math> na <math>n</math> o wyznaczniku dodatnim (czyli o wyznaczniku 1) stanowi podgrupę
 +
grupy ortogonalnej.

Aktualna wersja na dzień 13:19, 3 paź 2021

Iloczyn skalarny

Zaczniemy od definicji iloczynu skalarnego


Definicja 1.1 [Iloczyn Skalarny]

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem . Odwzorowanie



nazywa się iloczynem skalarnym, jeśli spełnia trzy następujące warunki:

S1) jest dwuliniowe,
S2) jest symetryczne,
S3) jest dodatnio określone, tzn. dla każdego zachodzi

nierówność i wtedy i tylko wtedy, gdy .

Wartość iloczynu skalarnego na wektorach oznaczamy także przez lub . Jak zwykle kropkę często pomijamy w zapisie. Nazwa iloczyn skalarny pochodzi stąd, że wynikiem takiego mnożenia jest skalar. Zwróćmy także uwagę na to, że wybór ciała liczb rzeczywistych jest tutaj nieprzypadkowy. W innych ciałach nie mamy skalarów większych od zera.

Zbierzemy teraz kilka najważniejszych przykładów iloczynów skalarnych.

Przykład 1.2

W przestrzeni mamy tzw. standardowy (lub kanoniczny) iloczyn skalarny. Mianowicie, dla wektorów definiujemy



Ogólniej, niech będą dowolnymi liczbami dodatnimi. Definiujemy iloczyn skalarny



Przykład 1.3

Rozważmy przestrzeń funkcji ciągłych określonych na przedziale . Definiujemy iloczyn skalarny



Przykład 1.4

Niech będzie bazą przestrzeni wektorowej nad ciałem . Definiujemy iloczyn skalarny formułą



gdzie , są współrzędnymi wektorów i w danej bazie.

Istotne w tym przykładzie jest to, że każda skończenie wymiarowa przestrzeń wektorowa nad ciałem może być łatwo wyposażona w iloczyn skalarny.

Definicja 1.5 [Norma]

Normą na przestrzeni wektorowej nad ciałem nazywamy funkcję



która spełnia warunki

N 1) dla każdego wektora i liczby rzeczywistej zachodzi równość ,
N 2) zachodzi nierówność trójkąta, tzn. dla każdych wektorów mamy



Iloczyn skalarny dany w przestrzeni wyznacza normę w tej przestrzeni. Mianowicie, definiujemy


     (1.1)


Normę wektora nazywamy też jego długością. Stosowany jest zapis , który oznacza lub, co na jedno wychodzi, .

Sprawdzenie, że funkcja zdefiniowana formułą (1.1) spełnia warunki N1) i N2) jest natychmiastowe. Warunek trójkąta sprawdzimy po udowodnieniu następującej nierówności Schwarza.

Twierdzenie 1.5 [Nierówność Schwarza]

Dla funkcji określonej wzorem (1.1) i każdych dwóch wektorów zachodzi nierówność


     (1.2)


Równość w powyższej nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory , są liniowo zależne.

Dowód

Jeśli któryś z wektorów , jest zerowy, to twierdzenie jest oczywiste. Załóżmy więc, że wektory te są niezerowe.

Rozważmy funkcję zmiennej rzeczywistej



Funkcja ta przybiera wartości nieujemne. Z drugiej strony mamy



A zatem funkcja jest trójmianem kwadratowym przyjmującym wartości nieujemne, którego współczynnik przy jest dodatni. Oznacza to, że wyróżnik jest niedodatni. Wobec tego



czyli . Po spierwiastkowaniu tej nierówności dostajemy nierówność Schwarza.

Dla udowodnienia drugiej tezy zauważmy najpierw, że jeśli , to oczywiście w (1.2) mamy równość. Odwrotnie, równość w (1.2) oznacza, że wyróżnik trójmianu jest równy i, co za tym idzie, istnieje , takie, że . To zaś oznacza, że , czyli , są liniowo zależne. End of proof.gif

Korzystając, miedzy innymi, z nierowności Schwarza otrzymujemy teraz, dla dowolnych wektorów , , ciąg równości i nierówności



Udowodniliśmy więc nierówność trójkąta N 2) dla funkcji (1.1).

Przy okazji zauważmy, że otrzymaliśmy twierdzenie Pitagorasa. Mianowicie, jeśli wektory , są do siebie prostopadłe, czyli , to



Jeśli wektory , sa niezerowe, to liczbę rzeczywistą taką, że



nazywamy kątem między wektorami i .

Układy ortogonalne. Proces Grama - Schmidta. Bazy ortonormalne

Mówimy, że wektory są do siebie prostopadłe (ortogonalne), jeśli ich iloczyn skalarny jest równy . Ogólniej, układ wektorów nazywa się układem ortogonalnym, jeśli każde dwa wektory tego układu są do siebie prostopadłe, tzn. dla . Oczywiście wektor zerowy jest prostopadły do każdego wektora. Dowolny zbiór (niekoniecznie skończony) nazywa się ortogonalny, jeśli każde dwa wektory tego zbiory są ortogonalne.

Mamy następujący

Lemat 2.1

Ortogonalny i nie zawierający zera układ wektorów jest liniowo niezależny.

Dowód

Niech . Obie strony tej równości pomnóżmy skalarnie przez , dla . Otrzymujemy równość , a stąd . End of proof.gif

Wektor nazywa się jednostkowym, jeśli . Układ wektorów nazywa się ortonormalnym, jeśli każdy z tych wektorów jest jednostkowy, a cały układ jest ortogonalny. Jeśli jest wektorem niezerowym, to



jest wektorem jednostkowym. Mówimy, że wektor został znormalizowany.

Niech będzie pewnym układem liniowo niezależnym przestrzeni wektorowej wyposażonej w iloczyn skalarny. Niech

Wektor jest jednostkowy i generuje tę samą przestrzeń co . Zdefiniujmy teraz wektor następująco



Łatwo sprawdzić, że wektor ten jest prostopadły do . Ponadto układ wektorów rozpina tę samą podprzestrzeń co układ wektorów . Co więcej, jeśli oznaczymy przez tę podprzestrzeń, to oraz są takimi bazami tej przestrzeni , że macierz przejścia od bazy do bazy ma wyznacznik dodatni.

Definiujemy teraz



Oczywiście układy i rozpinają tę samą podprzestrzeń , układ jest ortonormalny a macierz przejścia od bazy do bazy przestrzeni ma wyznacznik dodatni.

Załóżmy, że zdefiniowaliśmy już kolejnych wektorów takich, że układy i rozpinają tę samą podprzestrzeń , układ jest ortonormalny a macierz przejścia od bazy do bazy ma wyznacznik dodatni. Definiujemy wektor wzorem


     (2.3)


Następnie definiujemy



Łatwo widać, że jest prostopadły do każdego z wektorów , a zatem układ jest ortonormalny. Łatwo tez widać, że układy ; rozpinają tę samą podprzestrzeń, powiedzmy . Ponadto macierz przejścia od bazy do bazy przestrzeni ma wyznacznik dodatni.

Powyższy proces otrzymywania układu ortonormalnego nazywa się procesem Grama-Schmidta. Jeśli jest układem ortonormalnym, to proces Grama-Schmidta nie zmienia tego układu.

Z powyższych rozumowań wynika natychmiast

Twierdzenie 2.2

Każda skończenie wymiarowa przestrzeń wektorowa wyposażoną w iloczyn skalarny ma bazę ortonormalną.

Od tego momentu do końca niniejszego wykładu zakładamy, że przestrzenie wektorowe są skończenie wymiarowe.

Jeżeli jest bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej , to wektor wyraża się jako kombinacja liniowa wektorów tej bazy następującym wzorem


     (2.4)


Aby sprawdzić ten wzór wystarczy pomnożyć skalarnie obie strony tej równości przez kolejne wektory bazy .

Rzutowanie prostokątne. Izometrie

Niech dana będzie podprzestrzeń wektorowa przestrzeni euklidesowej . Podprzestrzeń ta jest wyposażona w indukowany iloczyn skalarny, tzn. jest to iloczyn skalarny będący zawężeniem iloczynu skalarnego z do (dokładniej mówiąc, zawężeniem do ). Zdefiniujmy podprzestrzeń



Łatwo sprawdzić, że jest podprzestrzenią wektorową. Ponadto, . Istotnie, jeśli , to , a stąd wynika, że .

Niech będzie bazą podprzestrzeni . Rozrzerzmy tę bazę do bazy przestrzeni . Zastosujmy do tej bazy proces Grama-Schmidta. Otrzymujemy bazę ortonormalną przestrzeni . Pierwszych wektorów tej bazy rozpina podprzestrzeń , pozostałe rozpinają pewne dopełnienie algebraiczne do i należą do podprzestrzeni . A zatem jest dopełnieniem algebraicznym do . Podprzestrzeń nazywa się dopełnieniem ortogonalnym (prostopadłym) do .

Przypomnijmy, że dopełnienia algebraiczne nie są wyznaczone jednoznacznie. Dopełnienie ortogonalne (istniejące tylko w przestrzeni wyposażonej w iloczyn skalarny) jest wyznaczone jednoznacznie. Oto kilka podstawowych własności dopełnienia ortogonalnego:



Lemat 3.1

Dla każdych podprzestrzeni , przestrzeni euklidesowej zachodzą następujące związki.

  1. .
  2. Jeżeli , to .
  3. .
  4. .

Udowodnienie powyższych własności pozostawiamy jako ćwiczenie.

W przestrzeni euklidesowej dla ustalonej podprzestrzeni mamy



A zatem mamy rzutowanie na równoległe do . Ponieważ dopełnienie ortogonalne jest wyznaczone jednoznacznie, więc wymienianie przestrzeni jest niekonieczne. Używamy określenia " rzutowanie prostokątne na podprzestrzeń ". Podkreślmy, że możemy mówić o rzutowaniu prostokątnym tylko w przypadku przestrzeni wyposażonych w iloczyn skalarny.

Niech teraz i będą przestrzeniami wektorowymi wyposażonymi w iloczyny skalarne - obydwa oznaczane kropką. Mówimy, że odwzorowanie jest izometrią, jeśli zachowuje iloczyn skalarny, tzn. dla każdych wektorów zachodzi równość . Oczywiście odwzorowanie, które zachowuje iloczyn skalarny zachowuje też normę, czyli dla każdej izometrii .

Twierdzenie 3.2 [O izometrii]

Izometria jest odwzorowaniem liniowym. Co więcej, jest monomorfizmem.

Dowód

Załóżmy, że jest bazą ortonormalną przestrzeni wektorowej . Ponieważ odwzorowanie zachowuje iloczyn skalarny, więc wektory



stanowią układ ortonormalny w , a więc jest to układ liniowo niezależny. Jest wiec bazą ortonormalną przestrzeni . Na podstawie wzoru (2.4) i faktu, że dla każdego , mamy



Oznacza to, że jeśli , to



Łatwo sprawdzić, że takie odwzorowanie jest liniowe.

Jeśli , to . A zatem , czyli . W ten sposób udowodniliśmy monomorficzność . End of proof.gif

Twierdzenie 3.3

Odwzorowanie liniowe zachowujące normę jest izometrią.

Dowód

Niech będzie odwzorowaniem spełniającym założenia twierdzenia. Zachodzą równości




Ponieważ , i , więc . End of proof.gif

Dowód kolejnego twierdzenia jest standardowy i pozostawiamy go czytelnikowi.

Twierdzenie 3.4

Złożenie izometrii jest izometrią. Jeśli izometria jest bijekcją, to odwzorowanie odwrotne do izometrii jest izometrią.

Niech będzie izometrią przestrzeni euklidesowej . Niech będzie bazą ortonormalną przestrzeni . Wiemy, że , dla . Jeśli więc jest macierzą przy bazie ortonormalnej, to



Macierz spełniającą powyższy warunek nazywa się macierzą ortogonalną. Macierz taką można też traktować jako izometrię przestrzeni wyposażonej w standardowy iloczyn skalarny. Zbiór wszystkich macierzy ortogonalnych wymiarów na stanowi podgrupę grupy ogólnej . Podgrupę tę nazywa się grupą ortogonalną i oznacza przez .

Dla macierzy ortogonalnej mamy . A zatem , czyli .

Zbiór wszystkich macierzy ortogonalnych wymiarów na o wyznaczniku dodatnim (czyli o wyznaczniku 1) stanowi podgrupę grupy ortogonalnej.