Tekst źródłowy strony Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 10: Euklidesowe przestrzenie wektorowe

==Iloczyn skalarny==

Zaczniemy od definicji iloczynu skalarnego

{{definicja|1.1 [Iloczyn Skalarny]|def 1.1|
Niech <math>V</math> będzie przestrzenią wektorową nad ciałem <math>{\mathbf R}</math>. Odwzorowanie


<center><math>g: V\times V\longrightarrow {\mathbf R}</math></center>


nazywa się iloczynem skalarnym, jeśli spełnia trzy następujące warunki:

S1) jest dwuliniowe,

S2) jest symetryczne,

S3) jest dodatnio określone, tzn. dla każdego  <math>v\in V</math> zachodzi
nierówność <math>g(v,v)\ge 0</math> i <math>g(v,v)=0 </math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>v=0</math>.
}}

Wartość iloczynu skalarnego na wektorach <math>v,w</math> oznaczamy także
przez <math><v,w></math> lub <math>v\cdot w</math>. Jak zwykle kropkę często pomijamy w zapisie. Nazwa iloczyn skalarny pochodzi stąd, że wynikiem takiego
mnożenia jest skalar. Zwróćmy także uwagę na to, że wybór ciała
liczb rzeczywistych jest tutaj nieprzypadkowy. W innych ciałach
nie mamy skalarów większych od zera.

Zbierzemy teraz kilka najważniejszych przykładów iloczynów
skalarnych.

{{przyklad|1.2|przy 1.2|
W przestrzeni <math>{\mathbf R} ^n</math> mamy tzw. standardowy (lub kanoniczny)
iloczyn skalarny. Mianowicie, dla  wektorów <math>v=(v_1,.... v_n),\ \ w=(w_1,...,w_n)\in {\mathbf R} ^n</math> definiujemy


<center><math>v\cdot w = v_1w_1+...+v_nw_n.</math></center>


Ogólniej, niech <math>\lambda _1,...,\lambda _n</math> będą dowolnymi liczbami dodatnimi. Definiujemy iloczyn skalarny


<center><math>v\cdot w =\lambda _1v_1w_1+...+\lambda _nv_nw_n.</math></center>


}}

{{przyklad|1.3|przy 1.3|
Rozważmy przestrzeń funkcji ciągłych określonych na przedziale <math>[a,b]</math>. Definiujemy iloczyn skalarny


<center><math><f,h>=\int _a^b fh.</math></center>}


}}

{{przyklad|1.4|przy 1.4|
Niech <math>e_1,...,e_n</math> będzie bazą przestrzeni wektorowej <math>V</math> nad ciałem <math>{\mathbf R}</math>. Definiujemy iloczyn skalarny formułą


<center><math>v\cdot w =v_1w_1+...+v_nw_n,</math></center>


gdzie <math>(v_1,...,v_n)</math>, <math>(w_1,...,w_n)</math> są współrzędnymi wektorów <math>v</math> i <math>w</math> w danej bazie.

Istotne w tym przykładzie jest to, że każda skończenie wymiarowa przestrzeń wektorowa nad ciałem <math>{\mathbf R}</math> może być łatwo wyposażona w
iloczyn skalarny.
}}

{{definicja|1.5 [Norma]|def 1.5|
Normą na przestrzeni wektorowej <math>V</math> nad ciałem <math>{\mathbf R}</math> nazywamy funkcję


<center><math>V\ni v\longrightarrow \Vert v\Vert \in [0,\infty )\subset {\mathbf R} ,</math></center>


która spełnia warunki

N 1) dla każdego wektora <math>v\in V</math> i liczby rzeczywistej <math>\lambda</math> zachodzi równość <math>\Vert \lambda v\Vert =|\lambda |\Vert v\Vert</math>,

N 2) zachodzi nierówność trójkąta, tzn. dla każdych wektorów <math>v,w\in V</math> mamy


<center><math>\Vert v+w\Vert \le \Vert v\Vert
+\Vert w\Vert .</math></center>


}}

Iloczyn skalarny  dany w przestrzeni <math>V</math> wyznacza normę w tej
przestrzeni. Mianowicie, definiujemy


{{wzor|norma|1.1|
<math>
\Vert v\Vert =\sqrt {v\cdot v}  .
</math>}}


Normę wektora nazywamy też jego długością. Stosowany  jest zapis <math>v^2</math>, który oznacza <math>v\cdot v</math> lub, co na jedno wychodzi, <math>\Vert v\Vert ^2</math>.

Sprawdzenie, że funkcja zdefiniowana formułą ([[#norma|1.1]]) spełnia warunki N1) i N2) jest natychmiastowe. Warunek trójkąta sprawdzimy po udowodnieniu następującej nierówności Schwarza.

{{twierdzenie|1.5 [Nierówność Schwarza]|tw 1.5|
Dla funkcji określonej wzorem ([[#norma|1.1]]) i każdych dwóch wektorów <math>v,w\in V</math> zachodzi nierówność}}


{{wzor|schwarz|1.2|
<math>
| v\cdot w |\le \Vert v\Vert\Vert w\Vert .
</math>}}


Równość w powyższej nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory <math>v</math>, <math>w</math> są liniowo zależne.

{{dowod|||
Jeśli któryś z wektorów <math>v</math>, <math>w</math> jest zerowy, to twierdzenie jest oczywiste. Załóżmy więc, że wektory te są niezerowe.

Rozważmy funkcję zmiennej rzeczywistej <math>t</math>


<center><math>f(t)= \Vert tv +w\Vert ^2.</math></center>


Funkcja ta przybiera wartości nieujemne. Z drugiej strony mamy


<center><math>f(t)=t^2\Vert v\Vert ^2 +2t(v\cdot w) +\Vert w \Vert ^2.</math></center>


A zatem funkcja <math>f(t)</math> jest trójmianem kwadratowym przyjmującym
wartości nieujemne, którego współczynnik przy <math>t^2</math> jest dodatni.
Oznacza to, że wyróżnik <math>\Delta</math> jest niedodatni. Wobec tego


<center><math>\Delta =4(v\cdot w) ^2 -4\Vert v\Vert ^2\Vert w\Vert ^2\le 0,</math></center>


czyli <math>(v\cdot w) ^2\le \Vert v\Vert ^2 \Vert w\Vert ^2</math>. Po
spierwiastkowaniu tej nierówności dostajemy nierówność Schwarza.

Dla udowodnienia drugiej tezy zauważmy najpierw, że jeśli <math>v=\lambda w</math>, to oczywiście w ([[#schwarz|1.2]]) mamy równość. Odwrotnie, równość w ([[#schwarz|1.2]]) oznacza, że wyróżnik trójmianu <math>f(t)</math> jest równy <math>0</math> i, co za tym idzie, istnieje <math>t_o</math>, takie, że <math>f(t_o)=0</math>. To zaś oznacza, że <math>t_ov+w=0</math>, czyli <math>v</math>, <math>w</math> są liniowo zależne.}}

Korzystając, miedzy innymi, z nierowności Schwarza otrzymujemy teraz, dla dowolnych wektorów <math>v</math>, <math>w</math>, ciąg równości i nierówności


<center><math>\aligned\Vert v+w \Vert ^2&=& (v+w)(v+w) =\Vert v\Vert ^2 +2v\cdot w
+\Vert w\Vert ^2\\ &\le & \Vert v\Vert ^2 +2 | v\cdot w | +\Vert
w\Vert ^2\le \Vert
v\Vert ^2 +2 \Vert v\Vert \Vert  w \Vert +\Vert w\Vert ^2\\
&=& (\Vert v\Vert +\Vert w\Vert )^2\endaligned</math></center>


Udowodniliśmy więc nierówność trójkąta N 2) dla funkcji ([[#norma|1.1]]).

Przy okazji zauważmy, że otrzymaliśmy twierdzenie Pitagorasa. Mianowicie, jeśli wektory <math>v</math>, <math>w</math> są do siebie prostopadłe, czyli <math>v\cdot w=0</math>, to


<center><math>\Vert v+w\Vert ^2 =\Vert v\Vert  ^2 +\Vert w\Vert ^2.</math></center>


Jeśli  wektory <math>v</math>, <math>w</math> sa niezerowe, to liczbę rzeczywistą <math>\alpha\in [0,\pi )</math> taką, że


<center><math>\cos \alpha ={{v\cdot w}\over {\Vert v\Vert \Vert w\Vert}},</math></center>


nazywamy ''kątem między wektorami <math>v</math> i <math>w</math>''.

==Układy ortogonalne. Proces Grama - Schmidta. Bazy ortonormalne==

Mówimy, że wektory  są do siebie ''prostopadłe (ortogonalne)'', jeśli ich iloczyn skalarny jest równy <math>0</math>. Ogólniej, układ wektorów <math>v_1,..., v_n</math> nazywa się układem ortogonalnym, jeśli każde dwa wektory tego układu są do siebie prostopadłe, tzn. <math>v_i\cdot v_j=0</math> dla <math>i\ne j</math>. Oczywiście wektor zerowy jest prostopadły do każdego wektora. Dowolny zbiór (niekoniecznie skończony) nazywa się ortogonalny, jeśli każde dwa wektory tego zbiory  są ortogonalne.

Mamy następujący

{{lemat|2.1|lem 2.1|
Ortogonalny i nie zawierający zera układ wektorów <math>v_1,...,v_n</math>
jest liniowo niezależny.
}}

{{dowod|||
Niech <math>\lambda _1v_1+...+\lambda _nv_n=0</math>. Obie strony tej równości pomnóżmy skalarnie przez <math>v_i</math>, dla <math>i=1,..., n</math>. Otrzymujemy równość <math>\lambda _i (v_ i\cdot v_i)=0</math>, a stąd <math>\lambda _i=0</math>.}}

Wektor <math>v\in V</math> nazywa się jednostkowym, jeśli <math>\Vert v\Vert =1</math>. Układ wektorów <math>v_1,...,v_n</math> nazywa się ortonormalnym, jeśli każdy z tych wektorów jest jednostkowy, a cały układ jest ortogonalny.
Jeśli <math>v</math> jest wektorem niezerowym, to


<center><math>{v\over{\Vert v\Vert}}</math></center>


jest wektorem jednostkowym. Mówimy, że wektor <math>v</math> został znormalizowany.

Niech <math>v_1,...,v_n</math> będzie pewnym układem liniowo niezależnym
przestrzeni wektorowej <math>V</math> wyposażonej w iloczyn skalarny.
Niech

<center><math>e_1 = {{v_1}\over {\Vert v_1\Vert}}.</math></center>

Wektor <math>e_1</math> jest jednostkowy i generuje tę samą przestrzeń co
<math>v_1</math>. Zdefiniujmy teraz wektor <math>e_2</math> następująco


<center><math> \tilde e_2= v_2- (v_2\cdot e_1)e_1.</math></center>


Łatwo sprawdzić, że wektor ten  jest prostopadły do <math>e_1</math>. Ponadto
układ wektorów <math>e_1, \tilde e_2</math> rozpina tę samą podprzestrzeń co
układ wektorów <math>v_1,v_2</math>. Co więcej, jeśli oznaczymy przez <math>V_2</math> tę podprzestrzeń, to <math>e_1,\tilde e_2</math> oraz <math>v_1,v_2</math> są takimi bazami tej przestrzeni <math>V_2</math>, że macierz przejścia od bazy <math>v_1,v_2</math> do bazy <math>e_1, \tilde e_2</math> ma wyznacznik dodatni.

Definiujemy teraz


<center><math>e_2 ={{\tilde e_2}\over {\Vert\tilde e_2\Vert}}</math></center>


Oczywiście układy <math>v_1, v_2</math> i <math>e_1,e_2</math> rozpinają tę samą
podprzestrzeń <math>V_2</math>, układ <math>e_1, e_2</math> jest ortonormalny a macierz przejścia od bazy <math>v_1, v_2</math> do bazy <math>e_1, e_2</math> przestrzeni <math>V_2</math> ma wyznacznik dodatni.

Załóżmy, że zdefiniowaliśmy już <math>k</math> kolejnych wektorów <math>e_1,...,e_k</math> takich, że układy <math>e_1,...,e_k</math> i <math>v_1,..., v_k</math> rozpinają tę samą podprzestrzeń <math>V_k</math>, układ <math>e_1,...,e_k</math> jest ortonormalny a macierz przejścia od bazy <math>v_1,..., v_k</math> do bazy <math>e_1,...,e_k</math> ma wyznacznik dodatni. Definiujemy wektor <math>\tilde e_{k+1}</math> wzorem


{{wzor|wektor|2.3|
<math>
\tilde e_{k+1} = v_{k+1}-(v_{k+1}\cdot e_1)e_1-...-(v_{k+1}\cdot
e_k)e_k. </math>}}


Następnie definiujemy


<center><math>e_{k+1}= {{\tilde e_{k+1}}\over {\Vert \tilde e_{k+1}\Vert }}.</math></center>


Łatwo widać, że <math>\tilde e_{k+1}</math> jest prostopadły do każdego z
wektorów <math>e_1,...,e_k</math>, a zatem układ <math>e_1,...,e_{k+1}</math> jest ortonormalny. Łatwo tez widać, że układy <math>v_1,...,v_{k+1}</math>; 
<math>e_1,...,e_{k+1}</math> rozpinają tę samą podprzestrzeń, powiedzmy <math>V_{k+1}</math>. Ponadto macierz przejścia od bazy <math>v_1,...,v_{k+1}</math> do bazy <math>e_1,...,e_{k+1}</math> przestrzeni <math>V_{k+1}</math> ma wyznacznik dodatni.

Powyższy proces otrzymywania  układu ortonormalnego nazywa się ''procesem Grama-Schmidta''. Jeśli <math>v_1,...,v_k</math> jest układem ortonormalnym, to proces Grama-Schmidta nie zmienia tego układu.

Z powyższych rozumowań wynika natychmiast

{{twierdzenie|2.2|tw 2.2|
Każda skończenie wymiarowa przestrzeń wektorowa wyposażoną w iloczyn skalarny ma bazę ortonormalną.
}}

Od tego momentu do końca niniejszego wykładu zakładamy, że przestrzenie wektorowe są skończenie wymiarowe.

Jeżeli <math>e_1,...,e_n</math> jest bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej <math>V</math>, to wektor <math>v\in V</math> wyraża się jako kombinacja liniowa wektorów tej bazy następującym wzorem


{{wzor|baza_ortonormalna|2.4|
<math>
v=(v\cdot e_1)e_1+...+(v\cdot e_n)e_n.
</math>}}


Aby sprawdzić ten wzór wystarczy pomnożyć skalarnie obie strony tej równości  przez kolejne wektory bazy <math>e_1,..., e_n</math>.

==Rzutowanie prostokątne. Izometrie==

Niech dana będzie podprzestrzeń wektorowa <math>U</math> przestrzeni euklidesowej <math>V</math>. Podprzestrzeń ta jest wyposażona w indukowany
iloczyn skalarny, tzn. jest to iloczyn skalarny będący zawężeniem iloczynu skalarnego z <math>V</math> do <math>U</math> (dokładniej mówiąc, zawężeniem
<math>V\times V</math> do <math>U\times U</math>). Zdefiniujmy podprzestrzeń


<center><math>U^{\perp }=\{ w\in V |\ \  w\cdot v =0 \ {\rm dla\  kazdego\ v\in V}\}.</math></center>


Łatwo sprawdzić, że <math>U^{\perp}</math> jest podprzestrzenią wektorową. Ponadto, <math>U^{\perp}\cap U=\{0\}</math>. Istotnie, jeśli <math>v\in U^{\perp}\cap U</math>, to <math>v\cdot v =0</math>, a stąd wynika, że <math>v=0</math>.

Niech <math>v_1,...,v_k</math> będzie bazą  podprzestrzeni <math>U</math>. Rozrzerzmy tę bazę do bazy <math>v_1,...,v_k, v_{k+1},..., v_n</math> przestrzeni <math>V</math>. Zastosujmy do tej bazy proces Grama-Schmidta.
Otrzymujemy bazę ortonormalną <math>e_1,...,e_n</math> przestrzeni <math>V</math>. Pierwszych <math>k</math> wektorów tej bazy rozpina  podprzestrzeń <math>U</math>, pozostałe rozpinają pewne dopełnienie algebraiczne do <math>U</math> i należą do podprzestrzeni <math>U^{\perp}</math>. A zatem <math>U^{\perp}</math> jest dopełnieniem algebraicznym do <math>U</math>. Podprzestrzeń <math>U^{\perp}</math> nazywa się dopełnieniem ortogonalnym (prostopadłym) do <math>U</math>.

Przypomnijmy, że dopełnienia algebraiczne nie są wyznaczone jednoznacznie. Dopełnienie ortogonalne (istniejące tylko w przestrzeni wyposażonej w iloczyn skalarny) jest wyznaczone jednoznacznie. Oto kilka podstawowych własności dopełnienia ortogonalnego:

{{lemat|3.1|lem 3.1|
Dla każdych podprzestrzeni <math>U</math>, <math>W</math> przestrzeni euklidesowej <math>V</math> zachodzą następujące związki.

# <math>(U^{\perp})^{\perp}=U</math>.
# Jeżeli <math>U\subset W</math>, to <math>W^{\perp}\subset U^{\perp}</math>.
# <math>(U+W)^{\perp}=U^{\perp}\cap W^{\perp}</math>.
# <math>(U\cap W)^{\perp}=U^{\perp}+W^{\perp}</math>.

}}

Udowodnienie powyższych własności pozostawiamy jako ćwiczenie.

W przestrzeni euklidesowej dla ustalonej podprzestrzeni <math>U</math> mamy


<center><math>V=U\oplus U^{\perp}.</math></center>


A zatem mamy  rzutowanie na <math>U</math> równoległe do <math>U^{\perp}</math>.
Ponieważ dopełnienie ortogonalne jest wyznaczone jednoznacznie, więc wymienianie przestrzeni <math>U^{\perp}</math> jest niekonieczne. Używamy określenia " rzutowanie prostokątne  na podprzestrzeń <math>U</math> ". Podkreślmy, że możemy mówić o rzutowaniu prostokątnym tylko w przypadku przestrzeni wyposażonych w iloczyn skalarny.

Niech teraz <math>V</math> i <math>W</math> będą przestrzeniami wektorowymi wyposażonymi w iloczyny skalarne - obydwa oznaczane kropką. Mówimy, że
odwzorowanie <math>f:V\longrightarrow W</math> jest ''izometrią'', jeśli
zachowuje iloczyn skalarny, tzn. dla każdych wektorów <math>u,v \in V</math>
zachodzi równość <math>f(u\cdot v)=f(u)\cdot f(v)</math>. Oczywiście odwzorowanie, które zachowuje iloczyn skalarny zachowuje też normę, czyli <math>\Vert f(v)\Vert=\Vert v\Vert </math> dla każdej izometrii <math>f</math>.

{{twierdzenie|3.2 [O izometrii]|tw 3.2|
Izometria jest odwzorowaniem liniowym. Co więcej, jest monomorfizmem.
}}

{{dowod|||
Załóżmy, że <math>e_1,...,e_n</math> jest bazą ortonormalną przestrzeni
wektorowej <math>V</math>. Ponieważ odwzorowanie <math>f</math> zachowuje iloczyn skalarny, więc wektory


<center><math>f(e_1),...,f(e_n)</math></center>


stanowią układ ortonormalny w <math>W</math>, a więc jest to układ liniowo niezależny. Jest wiec bazą ortonormalną przestrzeni <math>{\rm im} f</math>. Na podstawie wzoru ([[#baza_ortonormalna|2.4]]) i faktu, że <math>f(v)\cdot f(e_i)=v\cdot e_i</math> dla każdego <math>i=1,...,n</math>, mamy


<center><math>\alignedf(v)&=&(f(v)\cdot f(e_1))f(e_1) +...+(f(v)\cdot
f(e_n))f(e_n)\\
&= &(v\cdot e_1)f(e_1)+...+(v\cdot e_n)f(e_n).
\endaligned</math></center>


Oznacza to, że jeśli <math>v=\lambda _1e_1+...\lambda _ne_n</math>, to


<center><math>f(v) =\lambda _1 f(e_1)+...+\lambda _n f(e_n).</math></center>


Łatwo  sprawdzić, że takie odwzorowanie jest liniowe.

Jeśli <math>f(v)=0</math>, to <math>\Vert f(v)\Vert =0</math>. A zatem <math>\Vert v \Vert =\Vert f(v)\Vert =0</math>, czyli <math> v =0</math>. W ten sposób udowodniliśmy monomorficzność <math>f</math>.}}

{{twierdzenie|3.3|tw 3.3|
Odwzorowanie liniowe zachowujące normę jest izometrią.
}}

{{dowod|||
Niech <math>f</math> będzie odwzorowaniem spełniającym założenia twierdzenia. Zachodzą równości


<center><math> \Vert v+w\Vert ^2= \Vert v\Vert ^2 +2 v\cdot w +\Vert w\Vert ^2,</math></center>


<center><math> \Vert f(v+w)\Vert ^2 = \Vert f(v)+f(w)\Vert ^2 = \Vert f(v)\Vert
^2+ 2f(v)\cdot f(w) +\Vert f(w)\Vert ^2.</math></center>


Ponieważ <math>\Vert f(v+w)\Vert = \Vert v+w\Vert</math>, <math>\Vert f(v)\Vert =\Vert v\Vert</math> i <math>\Vert f(w)\Vert =\Vert w\Vert</math>, więc <math>f(v)\cdot f(w)= v\cdot w</math>.}}

Dowód kolejnego twierdzenia jest standardowy i pozostawiamy go czytelnikowi.

{{twierdzenie|3.4|tw 3.4|
Złożenie izometrii jest izometrią. Jeśli izometria jest bijekcją, to odwzorowanie odwrotne do izometrii jest izometrią.
}}

Niech <math>f:V\longrightarrow V</math> będzie izometrią przestrzeni euklidesowej <math>V</math>. Niech <math>e_1,...,e_n</math> będzie bazą ortonormalną przestrzeni <math>V</math>. Wiemy, że <math>f(e_i)\cdot f(e_j)=e_i\cdot e_j \delta _{ij}</math>, dla <math>i,j=1,...,n</math>. Jeśli więc <math>A</math> jest macierzą <math>f</math> przy bazie ortonormalnej, to


<center><math>A^*A=I.</math></center>


Macierz spełniającą powyższy warunek nazywa się macierzą ortogonalną. Macierz taką można też traktować jako izometrię przestrzeni <math>{\mathbf R} ^n</math> wyposażonej w standardowy iloczyn skalarny. Zbiór wszystkich macierzy ortogonalnych wymiarów <math>n</math> na <math>n</math> stanowi podgrupę grupy ogólnej <math>GL(n;{\mathbf R} )</math>. Podgrupę tę nazywa się grupą ortogonalną i oznacza przez <math>O(n)</math>.

Dla macierzy ortogonalnej mamy <math>{\rm det} A^*{\rm det} A =1</math>. A
zatem <math>({\rm det} A)^2=1</math>, czyli <math>{\rm det} A= \pm 1</math>.

Zbiór wszystkich macierzy ortogonalnych wymiarów <math>n</math> na <math>n</math> o wyznaczniku dodatnim (czyli o wyznaczniku 1) stanowi podgrupę
grupy ortogonalnej.