Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 9: Endomorfizmy. Twierdzenie Jordana

{article} \input{plzn.tex}

\setlength{\topmargin}{-30mm} \setlength{\textheight}{280mm} \setlength{\oddsidemargin}{-10mm} \setlength{\textwidth}{170mm} \setlength{\parindent}{0mm}

\newcounter{zestaw} \setcounter{zestaw}{124}

TESTY 9

Test sprawdzający. Test z pytaniami rozstrzygnięcia typu TAK/NIE.

Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Za każde zadanie można uzyskać $\displaystyle 0,5$ punktu (jeśli poprawnie zostaną wskazane trzy odpowiedzi), 1 punkt (jeśli poprawnie zostaną wskazane cztery odpowiedzi) lub $\displaystyle 0$ punktów (w pozostałych przypadkach).

Oceny: 3p. - dst, 3,5p.- plus dst, 4p. - db, 4,5 p - plus db, co najmniej 5p. - bdb.

T9.1. Dane są macierze

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rr}1&2\\3&4\end{array}}\right],\ B=\left[{\begin{array}{rr}1&0\\2&-2\end{array}}\right],\ C=\left[{\begin{array}{rr}2&5\\1&3\end{array}}\right],\ D=\left[{\begin{array}{rr}-4&-5\\2&3\end{array}}\right].$

Macierze $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są podobne. {F}

Macierze $\displaystyle A$ i $\displaystyle C$ są podobne. {F}

Macierze $\displaystyle B$ i $\displaystyle C$ są podobne. {F}

$\displaystyle D=C^{-1}BC$. {T}

T9.2. Dana jest macierz

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}8&-2&4\\-1&3&-1\\-5&1&-1\end{array}}\right].$

Liczba $\displaystyle 4$ jest wartością własną macierzy $\displaystyle A$. {T}

Wektor $\displaystyle (1,-1,-2)$ jest wektorem własnym macierzy $\displaystyle A$. {T}

Wektor $\displaystyle (1,-1,-2)$ jest wektorem własnym macierzy $\displaystyle A$ odpowiadającym wartości własnej $\displaystyle 4$. {F}

Wielomian $\displaystyle -(8-\lambda )(3-\lambda )(1+\lambda )$ jest wielomianem charakterystycznym macierzy $\displaystyle A$. {F}

T9.3.Dana jest macierz

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}1&1&0\\-1&2&1\\1&0&1\end{array}}\right]\in M(3,3;\mathbb {C} ).$

Liczba $\displaystyle 1-{\textbf {i}}$ jest wartością własną macierzy $\displaystyle A$. {T}

Liczba $\displaystyle 2+{\textbf {i}}$ jest wartością własną macierzy $\displaystyle A$. {F}

Wektor $\displaystyle ({\textbf {i}},-1,1)$ jest wektorem własnym macierzy $\displaystyle A$. {T}

Wektor $\displaystyle (1,-1,1)$ jest wektorem własnym macierzy $\displaystyle A$. {F}

T9.4. Niech $\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\ni (x,y)\to (-x+2y,2x-y)\in \mathbb {R} ^{2}$ i niech

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rr}1&0\\0&-3\end{array}}\right].$

Liczba $\displaystyle -1$ jest wartością własną endomorfizmu $\displaystyle f$. {F}

$\displaystyle U=\{(t,-t);t\in \mathbb {R} \}$ jest podprzestrzenią $\displaystyle f$ - niezmienniczą przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$. {T}

Istnieje baza przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ złożona z wektorów własnych endomorfizmu $\displaystyle f$. {T}

$\displaystyle A$ jest macierzą endomorfizmu $\displaystyle f$ w pewnej bazie przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$. {T}

T9.5. Niech Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle f\colon \mathbb{R}^2 \ni (x,y) \to (5x-y,9x-y) \in \mathbb{R}^2} i niech

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle A = \left [ \begin{array} {rr} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{array} \right].}

Wektory Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle (1,3)} i Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle (0,-1)} stanowią bazę Jordana endomorfizmu Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle f} . {T}

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle A} jest macierzą Jordana endomorfizmu Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle f} . {F}

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle U = \{ (t,t) ; t \in \mathbb{R} \}} jest podprzestrzenią Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle f} - niezmienniczą przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$. {F}

Istnieje baza przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ złożona z wektorów własnych endomorfizmu $\displaystyle f$. {F}

T9.6. Niech $\displaystyle A,B\in M(2,2;\mathbb {R} )$.

Jeśli tr\, $\displaystyle A=$ tr\, $\displaystyle B$, to $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są podobne. {F}

Jeśli $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są podobne i $\displaystyle A$ jest odwracalna, to $\displaystyle B$ jest odwracalna. {T}

Jeśli $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są podobne, to det\, $\displaystyle A=$ det\, $\displaystyle B$. {T}

Jeśli $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są podobne, to $\displaystyle AB=BA$. {F}