Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 9: Endomorfizmy. Twierdzenie Jordana

Dane są macierze

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rr}1&2\\3&4\end{array}}\right],\ B=\left[{\begin{array}{rr}1&0\\2&-2\end{array}}\right],\ C=\left[{\begin{array}{rr}2&5\\1&3\end{array}}\right],\ D=\left[{\begin{array}{rr}-4&-5\\2&3\end{array}}\right].$

Macierze $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są podobne. Źle

Macierze $\displaystyle A$ i $\displaystyle C$ są podobne. Źle

Macierze $\displaystyle B$ i $\displaystyle C$ są podobne. Źle

$\displaystyle D=C^{-1}BC$. Dobrze

Dana jest macierz

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}8&-2&4\\-1&3&-1\\-5&1&-1\end{array}}\right].$

Liczba $\displaystyle 4$ jest wartością własną macierzy $\displaystyle A$. Dobrze

Wektor $\displaystyle (1,-1,-2)$ jest wektorem własnym macierzy $\displaystyle A$. Dobrze

Wektor $\displaystyle (1,-1,-2)$ jest wektorem własnym macierzy $\displaystyle A$ odpowiadającym wartości własnej $\displaystyle 4$. Źle

Wielomian $\displaystyle -(8-\lambda )(3-\lambda )(1+\lambda )$ jest wielomianem charakterystycznym macierzy $\displaystyle A$. Źle

Dana jest macierz

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}1&1&0\\-1&2&1\\1&0&1\end{array}}\right]\in M(3,3;\mathbb {C} ).$

Liczba $\displaystyle 1-{\textbf {i}}$ jest wartością własną macierzy $\displaystyle A$. Dobrze

Liczba $\displaystyle 2+{\textbf {i}}$ jest wartością własną macierzy $\displaystyle A$. Źle

Wektor $\displaystyle ({\textbf {i}},-1,1)$ jest wektorem własnym macierzy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle A} . Dobrze

Wektor Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle (1,-1,1)} jest wektorem własnym macierzy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle A} . Źle

Niech Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle f\colon \mathbb{R}^2 \ni (x,y) \to (-x+2y,2x-y) \in \mathbb{R}^2} i niech

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle A = \left [ \begin{array} {rr} 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{array} \right].}

Liczba Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle -1} jest wartością własną endomorfizmu Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle f} . Źle

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle U = \{ (t,-t) ; t \in \mathbb{R} \}} jest podprzestrzenią Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle f} - niezmienniczą przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \mathbb{R}^2} . Dobrze

Istnieje baza przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \mathbb{R}^2} złożona z wektorów własnych endomorfizmu Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle f} . Dobrze

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle A} jest macierzą endomorfizmu Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle f} w pewnej bazie przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \mathbb{R}^2} . Dobrze

Niech Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle f\colon \mathbb{R}^2 \ni (x,y) \to (5x-y,9x-y) \in \mathbb{R}^2} i niech

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle A = \left [ \begin{array} {rr} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{array} \right].}

Wektory Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle (1,3)} i Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle (0,-1)} stanowią bazę Jordana endomorfizmu Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle f} . Dobrze

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle A} jest macierzą Jordana endomorfizmu Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle f} . Źle

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle U = \{ (t,t) ; t \in \mathbb{R} \}} jest podprzestrzenią Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle f} - niezmienniczą przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \mathbb{R}^2} . Źle

Istnieje baza przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \mathbb{R}^2} złożona z wektorów własnych endomorfizmu $\displaystyle f$. Źle

Niech $\displaystyle A,B\in M(2,2;\mathbb {R} )$.

Jeśli tr $\displaystyle A=$ tr $\displaystyle B$, to $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są podobne. Źle

Jeśli $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są podobne i $\displaystyle A$ jest odwracalna, to $\displaystyle B$ jest odwracalna. Dobrze

Jeśli $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są podobne, to det $\displaystyle A=$ det $\displaystyle B$. Dobrze

Jeśli $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są podobne, to $\displaystyle AB=BA$. Źle