Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 9: Endomorfizmy. Twierdzenie Jordana: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
 
Linia 1: Linia 1:
 
+
<quiz>Dane są macierze
{article}
 
\input{plzn.tex}
 
 
 
\setlength{\topmargin}{-30mm}
 
\setlength{\textheight}{280mm}
 
\setlength{\oddsidemargin}{-10mm}
 
\setlength{\textwidth}{170mm}
 
\setlength{\parindent}{0mm}
 
 
 
\newcounter{zestaw}
 
\setcounter{zestaw}{124}
 
 
 
TESTY 9
 
 
 
Test sprawdzający. Test z pytaniami rozstrzygnięcia typu
 
TAK/NIE.
 
 
 
Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których każda może
 
być prawdziwa lub fałszywa. Za każde zadanie można uzyskać <math>\displaystyle 0,5</math>
 
punktu (jeśli poprawnie zostaną wskazane trzy odpowiedzi), 1 punkt
 
(jeśli poprawnie zostaną wskazane cztery odpowiedzi) lub <math>\displaystyle 0</math> punktów
 
(w&nbsp;pozostałych przypadkach).
 
 
 
Oceny: 3p. - dst, 3,5p.- plus dst, 4p. - db, 4,5 p - plus db, co najmniej 5p. - bdb.
 
 
 
T9.1. Dane są macierze
 
  
 
<center><math>\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rr}
 
<center><math>\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rr}
Linia 37: Linia 11:
 
                       2 & 3 \end{array}  \right].</math></center>
 
                       2 & 3 \end{array}  \right].</math></center>
  
Macierze <math>\displaystyle A </math> i <math>\displaystyle B</math> są podobne. {F}
+
<wrongoption>Macierze <math>\displaystyle A </math> i <math>\displaystyle B</math> są podobne.</wrongoption>
  
Macierze <math>\displaystyle A </math> i <math>\displaystyle C</math> są podobne. {F}
+
<wrongoption>Macierze <math>\displaystyle A </math> i <math>\displaystyle C</math> są podobne.</wrongoption>
  
Macierze <math>\displaystyle B </math> i <math>\displaystyle C</math> są podobne. {F}
+
<wrongoption>Macierze <math>\displaystyle B </math> i <math>\displaystyle C</math> są podobne.</wrongoption>
  
<math>\displaystyle  D = C^{-1}BC </math>. {T}
+
<rightoption><math>\displaystyle  D = C^{-1}BC </math>.</rightoption>
 +
</quiz>
  
T9.2. Dana jest macierz
+
 
 +
<quiz>Dana jest macierz
  
 
<center><math>\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rrr}
 
<center><math>\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rrr}
Linia 52: Linia 28:
 
                       -5&1& -1 \end{array}  \right]. </math></center>
 
                       -5&1& -1 \end{array}  \right]. </math></center>
  
Liczba <math>\displaystyle 4</math> jest wartością własną macierzy <math>\displaystyle A</math>. {T}
+
<rightoption>Liczba <math>\displaystyle 4</math> jest wartością własną macierzy <math>\displaystyle A</math>.</rightoption>
 +
 
 +
<rightoption>Wektor <math>\displaystyle (1,-1,-2)</math> jest wektorem własnym macierzy <math>\displaystyle A</math>.</rightoption>
  
Wektor <math>\displaystyle (1,-1,-2)</math> jest wektorem własnym macierzy <math>\displaystyle A</math>. {T}
+
<wrongoption>Wektor <math>\displaystyle (1,-1,-2)</math> jest wektorem własnym macierzy <math>\displaystyle A</math>
 +
odpowiadającym wartości własnej <math>\displaystyle 4</math>.</wrongoption>
  
Wektor <math>\displaystyle (1,-1,-2)</math> jest wektorem własnym macierzy <math>\displaystyle A</math>
+
<wrongoption>Wielomian <math>\displaystyle -(8-\lambda)(3-\lambda )(1 + \lambda )</math> jest wielomianem charakterystycznym macierzy <math>\displaystyle A</math>.</wrongoption>
odpowiadającym wartości własnej <math>\displaystyle 4</math>. {F}
+
</quiz>
  
Wielomian <math>\displaystyle -(8-\lambda)(3-\lambda )(1 + \lambda )</math> jest wielomianem charakterystycznym macierzy <math>\displaystyle A</math>. {F}
 
  
T9.3.Dana jest macierz
+
<quiz>Dana jest macierz
  
 
<center><math>\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rrr}
 
<center><math>\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rrr}
Linia 68: Linia 46:
 
                       1&0& 1 \end{array}  \right] \in M(3,3;\mathbb{C}). </math></center>
 
                       1&0& 1 \end{array}  \right] \in M(3,3;\mathbb{C}). </math></center>
  
Liczba <math>\displaystyle 1-\textbf{i}</math> jest wartością własną macierzy <math>\displaystyle A</math>. {T}
+
<rightoption>Liczba <math>\displaystyle 1-\textbf{i}</math> jest wartością własną macierzy <math>\displaystyle A</math>.</rightoption>
 +
 
 +
<wrongoption>Liczba <math>\displaystyle 2+\textbf{i}</math> jest wartością własną macierzy <math>\displaystyle A</math>.</wrongoption>
  
Liczba <math>\displaystyle 2+\textbf{i}</math> jest wartością własną macierzy <math>\displaystyle A</math>. {F}
+
<rightoption>Wektor <math>\displaystyle (\textbf{i},-1,1)</math> jest wektorem własnym macierzy <math>\displaystyle A</math>.</rightoption>
  
Wektor <math>\displaystyle (\textbf{i},-1,1)</math> jest wektorem własnym macierzy <math>\displaystyle A</math>. {T}
+
<wrongoption>Wektor <math>\displaystyle (1,-1,1)</math> jest wektorem własnym macierzy <math>\displaystyle A</math>.</wrongoption>
 +
</quiz>
  
Wektor <math>\displaystyle (1,-1,1)</math> jest wektorem własnym macierzy <math>\displaystyle A</math>. {F}
 
  
T9.4. Niech <math>\displaystyle f\colon \mathbb{R}^2 \ni (x,y) \to (-x+2y,2x-y) \in
+
<quiz>Niech <math>\displaystyle f\colon \mathbb{R}^2 \ni (x,y) \to (-x+2y,2x-y) \in
 
\mathbb{R}^2</math> i niech
 
\mathbb{R}^2</math> i niech
  
Linia 83: Linia 63:
 
                       0 & -3 \end{array}  \right].</math></center>
 
                       0 & -3 \end{array}  \right].</math></center>
  
Liczba <math>\displaystyle -1</math> jest wartością własną endomorfizmu <math>\displaystyle f</math>. {F}
+
<wrongoption>Liczba <math>\displaystyle -1</math> jest wartością własną endomorfizmu <math>\displaystyle f</math>.</wrongoption>
  
<math>\displaystyle U = \{ (t,-t) ; t \in \mathbb{R} \}</math> jest podprzestrzenią <math>\displaystyle f</math> - niezmienniczą przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^2</math>. {T}
+
<rightoption><math>\displaystyle U = \{ (t,-t) ; t \in \mathbb{R} \}</math> jest podprzestrzenią <math>\displaystyle f</math> - niezmienniczą przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^2</math>.</rightoption>
  
Istnieje baza przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^2</math> złożona z wektorów własnych endomorfizmu <math>\displaystyle f</math>. {T}
+
<rightoption>Istnieje baza przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^2</math> złożona z wektorów własnych endomorfizmu <math>\displaystyle f</math>.</rightoption>
  
<math>\displaystyle A</math> jest macierzą endomorfizmu <math>\displaystyle f</math> w pewnej bazie przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^2</math>. {T}
+
<rightoption><math>\displaystyle A</math> jest macierzą endomorfizmu <math>\displaystyle f</math> w pewnej bazie przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^2</math>.</rightoption>
 +
</quiz>
  
T9.5. Niech <math>\displaystyle f\colon \mathbb{R}^2 \ni (x,y) \to (5x-y,9x-y) \in
+
 
 +
<quiz>Niech <math>\displaystyle f\colon \mathbb{R}^2 \ni (x,y) \to (5x-y,9x-y) \in
 
\mathbb{R}^2</math> i niech
 
\mathbb{R}^2</math> i niech
  
Linia 98: Linia 80:
 
                       0 & 3 \end{array}  \right].</math></center>
 
                       0 & 3 \end{array}  \right].</math></center>
  
Wektory <math>\displaystyle (1,3)</math> i <math>\displaystyle (0,-1)</math> stanowią bazę Jordana endomorfizmu <math>\displaystyle f</math>. {T}
+
<rightoption>Wektory <math>\displaystyle (1,3)</math> i <math>\displaystyle (0,-1)</math> stanowią bazę Jordana endomorfizmu <math>\displaystyle f</math>.</rightoption>
 +
 
 +
<wrongoption><math>\displaystyle A</math> jest macierzą Jordana endomorfizmu <math>\displaystyle f</math>.</wrongoption>
  
<math>\displaystyle A</math> jest macierzą Jordana endomorfizmu <math>\displaystyle f</math>. {F}
+
<wrongoption><math>\displaystyle U = \{ (t,t) ; t \in \mathbb{R} \}</math> jest podprzestrzenią <math>\displaystyle f</math> - niezmienniczą przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^2</math>.</wrongoption>
  
<math>\displaystyle U = \{ (t,t) ; t \in \mathbb{R} \}</math> jest podprzestrzenią <math>\displaystyle f</math> - niezmienniczą przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^2</math>. {F}
+
<wrongoption>Istnieje baza przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^2</math> złożona z wektorów własnych endomorfizmu <math>\displaystyle f</math>.</wrongoption>
 +
</quiz>
  
Istnieje baza przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^2</math> złożona z wektorów własnych endomorfizmu <math>\displaystyle f</math>. {F}
 
  
T9.6. Niech <math>\displaystyle  A,B \in M(2,2;\mathbb{R})</math>.
+
<quiz>Niech <math>\displaystyle  A,B \in M(2,2;\mathbb{R})</math>.
  
Jeśli  tr\, <math>\displaystyle  A =  </math> tr\, <math>\displaystyle  B </math>, to <math>\displaystyle A</math> i <math>\displaystyle B</math> są podobne. {F}
+
<wrongoption>Jeśli  tr\, <math>\displaystyle  A =  </math> tr\, <math>\displaystyle  B </math>, to <math>\displaystyle A</math> i <math>\displaystyle B</math> są podobne.</wrongoption>
  
Jeśli <math>\displaystyle A</math> i <math>\displaystyle B</math> są podobne i <math>\displaystyle A</math> jest odwracalna, to <math>\displaystyle B</math> jest odwracalna. {T}
+
<rightoption>Jeśli <math>\displaystyle A</math> i <math>\displaystyle B</math> są podobne i <math>\displaystyle A</math> jest odwracalna, to <math>\displaystyle B</math> jest odwracalna.</rightoption>
  
Jeśli <math>\displaystyle A</math> i <math>\displaystyle B</math> są podobne, to  det\, <math>\displaystyle  A =  </math> det\, <math>\displaystyle  B</math>. {T}
+
<rightoption>Jeśli <math>\displaystyle A</math> i <math>\displaystyle B</math> są podobne, to  det\, <math>\displaystyle  A =  </math> det\, <math>\displaystyle  B</math>.</rightoption>
  
Jeśli <math>\displaystyle A</math> i <math>\displaystyle B</math> są podobne, to <math>\displaystyle AB = BA</math>. {F}
+
<wrongoption>Jeśli <math>\displaystyle A</math> i <math>\displaystyle B</math> są podobne, to <math>\displaystyle AB = BA</math>.</wrongoption>
 +
</quiz>

Wersja z 22:09, 27 wrz 2006

Dane są macierze

Macierze i są podobne.

Macierze i są podobne.

Macierze i są podobne.

.


Dana jest macierz

Liczba jest wartością własną macierzy .

Wektor jest wektorem własnym macierzy .

Wektor jest wektorem własnym macierzy odpowiadającym wartości własnej .

Wielomian jest wielomianem charakterystycznym macierzy .


Dana jest macierz

Liczba jest wartością własną macierzy .

Liczba jest wartością własną macierzy .

Wektor jest wektorem własnym macierzy .

Wektor jest wektorem własnym macierzy .


Niech i niech

Liczba jest wartością własną endomorfizmu .

jest podprzestrzenią - niezmienniczą przestrzeni .

Istnieje baza przestrzeni złożona z wektorów własnych endomorfizmu .

jest macierzą endomorfizmu w pewnej bazie przestrzeni .


Niech i niech

Wektory i stanowią bazę Jordana endomorfizmu .

jest macierzą Jordana endomorfizmu .

jest podprzestrzenią - niezmienniczą przestrzeni .

Istnieje baza przestrzeni złożona z wektorów własnych endomorfizmu .


Niech .

Jeśli tr\, tr\, , to i są podobne.

Jeśli i są podobne i jest odwracalna, to jest odwracalna.

Jeśli i są podobne, to det\, det\, .

Jeśli i są podobne, to .