Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 9: Endomorfizmy. Twierdzenie Jordana

Dane są macierze

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rr}1&2\\3&4\end{array}}\right],\ B=\left[{\begin{array}{rr}1&0\\2&-2\end{array}}\right],\ C=\left[{\begin{array}{rr}2&5\\1&3\end{array}}\right],\ D=\left[{\begin{array}{rr}-4&-5\\2&3\end{array}}\right].$

Macierze $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są podobne. Źle

Macierze $\displaystyle A$ i $\displaystyle C$ są podobne. Źle

Macierze $\displaystyle B$ i $\displaystyle C$ są podobne. Źle

$\displaystyle D=C^{-1}BC$. Dobrze

Dana jest macierz

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}8&-2&4\\-1&3&-1\\-5&1&-1\end{array}}\right].$

Liczba $\displaystyle 4$ jest wartością własną macierzy $\displaystyle A$. Dobrze

Wektor $\displaystyle (1,-1,-2)$ jest wektorem własnym macierzy $\displaystyle A$. Dobrze

Wektor $\displaystyle (1,-1,-2)$ jest wektorem własnym macierzy $\displaystyle A$ odpowiadającym wartości własnej $\displaystyle 4$. Źle

Wielomian $\displaystyle -(8-\lambda )(3-\lambda )(1+\lambda )$ jest wielomianem charakterystycznym macierzy $\displaystyle A$. Źle

Dana jest macierz

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}1&1&0\\-1&2&1\\1&0&1\end{array}}\right]\in M(3,3;\mathbb {C} ).$

Liczba $\displaystyle 1-{\textbf {i}}$ jest wartością własną macierzy $\displaystyle A$. Dobrze

Liczba $\displaystyle 2+{\textbf {i}}$ jest wartością własną macierzy $\displaystyle A$. Źle

Wektor $\displaystyle ({\textbf {i}},-1,1)$ jest wektorem własnym macierzy $\displaystyle A$. Dobrze

Wektor $\displaystyle (1,-1,1)$ jest wektorem własnym macierzy $\displaystyle A$. Źle

Niech $\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\ni (x,y)\to (-x+2y,2x-y)\in \mathbb {R} ^{2}$ i niech

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rr}1&0\\0&-3\end{array}}\right].$

Liczba $\displaystyle -1$ jest wartością własną endomorfizmu $\displaystyle f$. Źle

$\displaystyle U=\{(t,-t);t\in \mathbb {R} \}$ jest podprzestrzenią $\displaystyle f$ - niezmienniczą przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$. Dobrze

Istnieje baza przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ złożona z wektorów własnych endomorfizmu $\displaystyle f$. Dobrze

$\displaystyle A$ jest macierzą endomorfizmu $\displaystyle f$ w pewnej bazie przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$. Dobrze

Niech $\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\ni (x,y)\to (5x-y,9x-y)\in \mathbb {R} ^{2}$ i niech

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rr}3&1\\0&3\end{array}}\right].$

Wektory $\displaystyle (1,3)$ i $\displaystyle (0,-1)$ stanowią bazę Jordana endomorfizmu $\displaystyle f$. Dobrze

$\displaystyle A$ jest macierzą Jordana endomorfizmu $\displaystyle f$. Źle

$\displaystyle U=\{(t,t);t\in \mathbb {R} \}$ jest podprzestrzenią $\displaystyle f$ - niezmienniczą przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$. Źle

Istnieje baza przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ złożona z wektorów własnych endomorfizmu $\displaystyle f$. Źle

Niech $\displaystyle A,B\in M(2,2;\mathbb {R} )$.

Jeśli tr $\displaystyle A=$ tr $\displaystyle B$, to $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są podobne. Źle

Jeśli $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są podobne i $\displaystyle A$ jest odwracalna, to $\displaystyle B$ jest odwracalna. Dobrze

Jeśli $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są podobne, to det $\displaystyle A=$ det $\displaystyle B$. Dobrze

Jeśli $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są podobne, to $\displaystyle AB=BA$. Źle