Tekst źródłowy strony Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 8: Zastosowania wyznacznika. Układy równań liniowych

<quiz>Niech
<math>f : \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to </math> det <math>A(x_1,x_2,x_3)
\in \mathbb{R}</math>, gdzie

<center>
<math>
A(x_1,x_2,x_3): =
\left[
\begin{array} {rrr}
x_1 & x_2 & x_3 \\
1 & -1 & 0\\
 1&  2 &3 
\end{array} 
\right]</math>
</center>


<rightoption><math>f</math> jest odwzorowaniem liniowym.</rightoption>

<rightoption>Jeśli <math>(x_1,x_2,x_3) \in lin \{ (1,-1,0), \ (1,2,3) \}</math>, to <math>f(x_1,x_2,x_3) =0</math>.</rightoption>

<rightoption>Jeśli <math>x_3 =x_1+x_2</math>, to <math>f(x_1,x_2,x_3) =0</math>.</rightoption>

<rightoption>Jeśli <math>f(x_1,x_2,x_3) =0</math>, to <math>x_3 =x_1+x_2</math>.</rightoption>
</quiz>




<quiz>Dany jest układ równań

<center><math>(U) \left\{ \begin{array} {rrrl}
 5x - 2y +z= 0\\
 3x+y+5z=0 \\
 9x-8y-7z=0.
 \end{array} 
\right.</math>.</center>

<wrongoption>Jedynym rozwiązaniem układu <math>(U)</math> jest trójka <math>(0,0,0)</math>.</wrongoption>

<rightoption>Zbiór rozwiązań układu <math>(U)</math> jest jednowymiarową podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\mathbb{R}^3</math>.</rightoption>

<rightoption>Jeśli trójka <math>(x,y,z)</math> jest rozwiązaniem układu <math>(U)</math>, to <math>y = -3x -5z</math>.</rightoption>

<rightoption>Dla dowolnego <math>x \in \mathbb{R}</math> trójka <math>(x,2x,-x)</math> jest rozwiązaniem układu <math>(U)</math>.</rightoption>
</quiz>




<quiz>Dany jest układ równań

<center><math>(U) \left\{ \begin{array} {rrrl}
      5x +2y -z= 6\\
                   3x-y+2z=7 \\
                    x-4y+5z=8.
 \end{array} 
\right.</math>.</center>

<wrongoption>Wyznacznik macierzy współczynników układu <math>(U)</math> jest różny od zera.</wrongoption>

<rightoption>Jeśli <math>(x_0,y_0,z_0 )</math> jest rozwiązaniem <math>(U)</math>, to <math>(x_0 - 1,y_0 -2,z_0 -3 )</math> jest rozwiązaniem układu jednorodnego
skojarzonego z <math>(U)</math>.</rightoption>

<wrongoption>Jeśli <math>(x_0,y_0,z_0 )</math> jest rozwiązaniem <math>(U)</math>, to <math>(x_0 + 1,y_0 +2,z_0 +3 )</math> jest rozwiązaniem układu <math>(U)</math>.</wrongoption>

<rightoption>Zbiór rozwiązań układu jednorodnego
skojarzonego z <math>(U)</math> jest jednowymiarową podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\mathbb{R}^3</math>.</rightoption>
</quiz>




<quiz>Dany jest układ równań

<center><math>(U_a) \left\{ \begin{array} {rrrl}
      2x - y= a\\
                   -3x+y+az=1 \\
                    ax+y-3z=-7.
 \end{array} 
\right.</math>.</center>

<rightoption>Jeśli <math>a \in \mathbb{R} minus \{1, -3\}</math>, to układ <math>(U_a)</math> ma dokładnie jedno rozwiązanie.</rightoption>

<wrongoption>Jeśli <math>a=1</math>, to układ <math>(U_a)</math> nie ma rozwiązań.</wrongoption>

<wrongoption>Jeśli <math>a=-3</math>, to układ <math>(U_a)</math> ma nieskończenie wiele rozwiązań.</wrongoption>

<wrongoption>Istnieje takie <math>a \in \mathbb{R}</math>, że zbiór rozwiązań układu <math>(U_a)</math> jest jednowymiarową podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\mathbb{R}^3</math>.</wrongoption>
</quiz>




<quiz>Dany jest układ równań o współczynnikach rzeczywistych

<center><math>(U) \left\{ \begin{array} {rrrl}
      a_{11}x_1 + a_{12} x_2+... +a_{1n}x_n= b_1\\
      a_{21}x_1 + a_{22}x_2+...  +a_{2n}x_n= b_2\\
      ...........................................\\
      a_{n1}x_1 + a_{n2} x_2+... +a_{nn}x_n= b_n.
 \end{array} 
\right.</math>.</center>

Niech <math>A= [a_{ij}]_{i,j = 1,2, ...,n}</math>

<rightoption>Jeśli  det <math>A \neq 0</math> to dla dowolnego wektora <math>(b_1,\ldots, b_n) \in \mathbb{R}^n</math> układ <math>(U)</math> ma rozwiązanie.</rightoption>

<rightoption>Jeśli  det <math>A \neq 0</math> to dla dowolnego wektora <math>(b_1,\ldots, b_n) \in \mathbb{R}^n</math> układ <math>(U)</math> ma dokładnie jedno rozwiązanie.</rightoption>

<rightoption>Jeśli  det <math>A =0</math> to istnieje taki wektor <math>(b_1,\ldots, b_n) \in \mathbb{R}^n</math>, że układ <math>(U)</math> ma rozwiązanie.</rightoption>

<wrongoption>Jeśli  det <math>A =0</math> to istnieje taki wektor  <math>(b_1,\ldots, b_n) \in \mathbb{R}^n</math>, że układ <math>(U)</math> ma dokładnie jedno rozwiązanie.</wrongoption>
</quiz>




<quiz>Niech  <math>\mathbb{K} = \mathbb{R} \ </math> lub <math>\ \mathbb{C}, \ n\in \mathbb{N}, \ n\geq 2</math> i niech <math>A,C \in M(n,n;\mathbb{K}),
B,D,X_0,Y_0 \in M(n,1;\mathbb{K})</math>.
Rozważamy układy równań

<center><math>(U_1)\  AX=B\ \  </math> oraz  <math>\ \  (U_2) \ CX=D</math></center>

o niewiadomej <math>X \in M(n,1;\mathbb{K})</math>.

<rightoption>Jeżeli <math>X_0</math> jest rozwiązaniem układu <math>U_1</math>, <math>B</math> jest rozwiązaniem układu <math>U_2</math>, to <math>X_0</math> jest rozwiązaniem układu
<math>(CA)X = D</math>.</rightoption>

<wrongoption>Jeżeli <math>X_0</math> jest rozwiązaniem układu <math>U_1</math>, <math>B</math> jest rozwiązaniem układu <math>U_2</math>, to <math>X_0</math> jest rozwiązaniem układu
<math>(AC)X = D</math>.</wrongoption>

<rightoption>Jeżeli <math>X_0</math> jest rozwiązaniem układu <math>(CA)X = D</math>, to <math>AX_0</math> jest rozwiązaniem układu <math>U_2</math>.</rightoption>

<wrongoption>Jeżeli <math>X_0</math> jest rozwiązaniem układu <math>U_1</math>, <math>Y_0</math> jest rozwiązaniem układu <math>U_2</math>, to <math>X_0 +Y_0</math> jest rozwiązaniem
układu
<math>(A+C)X = B+D</math>.</wrongoption>
</quiz>