Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 7: Wyznacznik

Niech $\displaystyle {\textbf {k}}_{1},{\textbf {k}}_{2},{\textbf {k}}_{3}$ oznaczają kolumny macierzy $\displaystyle A\in M(3,3;\mathbb {R} )$ i niech $\displaystyle B=[{\textbf {k}}_{1}+2{\textbf {k}}_{2},{\textbf {k}}_{2}+{\textbf {k}}_{1}-3{\textbf {k}}_{3},-2{\textbf {k}}_{3}]$.

det $\displaystyle B=$ det $\displaystyle A$. Źle

det $\displaystyle B=-$ det $\displaystyle A$. Źle

det $\displaystyle B=2\$ det $\displaystyle A$. Źle

det $\displaystyle B=-2\$ det $\displaystyle A$. Dobrze

Niech $\displaystyle \mathbb {K}$ będzie dowolnym ciałem, $\displaystyle n\geq 2$ liczbą naturalną, niech $\displaystyle A,B$ oznaczają macierze należące do $\displaystyle M(n,n;\mathbb {K} )$ i niech $\displaystyle \lambda \in \mathbb {K}$.

$\displaystyle \forall A\ \forall \lambda \$ det $\displaystyle (\lambda A)=\lambda \$ det $\displaystyle A$. Źle

$\displaystyle \forall A\;\forall \lambda \$ det $\displaystyle (\lambda A)=\lambda ^{n}\$ det $\displaystyle A$. Dobrze

$\displaystyle \forall A,B\$ det $\displaystyle (A+B)=$ det $\displaystyle A+$ det $\displaystyle B$. Źle

$\displaystyle \forall A,B\$ det $\displaystyle (AB)=$ det $\displaystyle A\$ det $\displaystyle B$. Dobrze

Niech

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}-1&1&2\\3&0&-1\\1&2&0\end{array}}\right],\displaystyle B=\left[{\begin{array}{rrr}5&1&0\\9&0&-3\\-1&0&0\end{array}}\right].$

det $\displaystyle AB=0$. Źle

det $\displaystyle A=3\$ det $\displaystyle B$. Dobrze

rk $\displaystyle A=3$. Dobrze

rk $\displaystyle A-$ rk $\displaystyle B=1$. Źle

Niech $\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ będzie dane wzorem

$\displaystyle f((x_{1},x_{2},x_{3}),(y_{1},y_{2},y_{3}))=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-2x_{3}y_{1}-2x_{1}y_{3}+3x_{2}y_{3}+3x_{3}y_{2}.$

$\displaystyle f$ jest odwzorowaniem dwuliniowym. Dobrze

$\displaystyle f$ jest odwzorowaniem symetrycznym. Dobrze

$\displaystyle f$ jest odwzorowaniem antysymetrycznym. Źle

$\displaystyle \forall x=(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}\ f(x,x)\geq 0$. Źle

Niech $\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}\in \mathbb {C}$ i niech

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrrr}1&z_{1}&z_{1}^{2}&z_{1}^{3}\\1&z_{2}&z_{2}^{2}&z_{2}^{3}\\1&z_{3}&z_{3}^{2}&z_{3}^{3}\\1&z_{4}&z_{4}^{2}&z_{4}^{3}\end{array}}\right].$

Jeżeli $\displaystyle z_{k}\neq z_{j}$ dla $\displaystyle k\neq j$, to det $\displaystyle A\neq 0$. Dobrze

Jeżeli det $\displaystyle A=0$, to istnieją takie wskaźniki $\displaystyle j,k$, że $\displaystyle j\neq k$ i równocześnie $\displaystyle z_{j}=z_{k}$. Dobrze

Jeżeli $\displaystyle z_{j}=j,\ j=1,2,3,4$, to det $\displaystyle A=12$. Dobrze

Jeżeli rk $\displaystyle A=4$, to $\displaystyle z_{k}\neq z_{j}$ dla $\displaystyle k\neq j$. Dobrze

Niech $\displaystyle n\geq 2$ będzie liczbą naturalną.

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall A,B \in M(n,n;\mathbb{C} ) \left( AB =0 \Longrightarrow A =0 \ } lub Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ B=0) \right)} . Źle

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall A \in M(n,n;\mathbb{C} ) \ \left( } det $\displaystyle A^{2}=$ det $\displaystyle A\Longrightarrow$ det Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle A \in \{0,1\} \right)} . Dobrze

$\displaystyle \forall A,B\in M(n,n;\mathbb {C} )\ A^{2}-B^{2}=(A+B)(A-B)$. Źle

$\displaystyle \forall A\in M(n,n;\mathbb {C} )\ \left(AA^{*}=0\Longrightarrow A=0\right)$. Źle