Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 6: Macierze a odwzorowania liniowe

Niech $\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\ni (x_{1},x_{2},x_{3})\to (x_{1}+x_{2}-2x_{3},\ x_{1}-x_{2}+x_{3})\in \mathbb {R} ^{2}$ i niech

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&-1\\-2&1&3\end{array}}\right],\displaystyle B=\left[{\begin{array}{rrr}1&1&-2\\1&-1&1\end{array}}\right]$

$\displaystyle A$ jest macierzą $\displaystyle f$ w bazach uporządkowanych $\displaystyle (1,1,0),\ (0,1,1),\ (1,0,1)$ oraz $\displaystyle (1,1),\ (0,1)$. Dobrze

$\displaystyle A$ jest macierzą $\displaystyle f$ w bazach uporządkowanych $\displaystyle (1,1,0),\ (0,1,1),\ (1,0,1)$ oraz $\displaystyle (0,1),\ (1,1)$. Źle

$\displaystyle B$ jest macierzą $\displaystyle f$ w bazach kanonicznych. Dobrze

$\displaystyle A^{*}$ jest macierzą $\displaystyle f^{*}$ w bazach dualnych do kanonicznych. Źle

Niech $\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\ni (x_{1},x_{2},x_{3})\to (-x_{2}+x_{3},x_{1}+x_{3},2x_{1}+x_{2}+3x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}$ i niech

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}0&1&2\\-1&0&1\\1&1&3\end{array}}\right]$

$\displaystyle A$ jest macierzą $\displaystyle f$ w bazie kanonicznej. Źle

$\displaystyle A$ jest macierzą $\displaystyle f^{*}$ w bazie dualnej do bazy kanonicznej. Dobrze

$\displaystyle A^{*}$ jest macierzą $\displaystyle f$ w bazie kanonicznej. Dobrze

$\displaystyle A^{*}$ jest macierzą $\displaystyle f^{*}$ w bazie dualnej do bazy kanonicznej. Źle

Wiemy, że

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rr}4&0\\0&2\\-1&1\end{array}}\right]$

jest macierzą odwzorowania liniowego $\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ w bazach $\displaystyle u_{1}=(1,1),\ u_{2}=(1,-1)$ oraz $\displaystyle v_{1}=(0,1,1),\ v_{2}=(1,0,1),\ v_{3}=(0,-1,0)$.

$\displaystyle f$ jest epimorfizmem. Źle

$\displaystyle f$ jest monomorfizmem. Dobrze

rk $\displaystyle f^{*}=1$. Źle

ker $\displaystyle f^{*}=\{0\}$. Źle

Dane są: odwzorowanie $\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\ni (x_{1},x_{2},x_{3})\to (x_{1},x_{1}+x_{3},x_{2})\in \mathbb {R} ^{3}$, wektory Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle u_1= (1,0,0), \ u_2= (1,1,0), \ u_3 = (1,1,1)} , formy liniowe $\displaystyle \alpha _{1},\ \alpha _{2},\ \alpha _{3}\in (\mathbb {R} ^{3})^{*}$ dane wzorami $\displaystyle \alpha _{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}-x_{2},\ \alpha _{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{2}-x_{3},\ \alpha _{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3}$ oraz macierz

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}0&0&-1\\1&0&1\\0&1&1\end{array}}\right].$

$\displaystyle \alpha _{1},\ \alpha _{2},\ \alpha _{3}$ tworzą bazę dualną do bazy $\displaystyle u_{1}\ u_{2},\ u_{3}$. Dobrze

$\displaystyle A$ jest macierzą $\displaystyle f$ w bazie $\displaystyle u_{1}\ u_{2},\ u_{3}$. Dobrze

rk $\displaystyle f=2$. Źle

$\displaystyle A^{*}$ jest macierzą $\displaystyle f^{*}$ w bazie $\displaystyle \alpha _{1},\ \alpha _{2},\ \alpha _{3}$. Dobrze

Niech $\displaystyle V$ i $\displaystyle W$ będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem $\displaystyle \mathbb {R}$. Niech $\displaystyle \dim V=n,\ \dim W=m$ i nich $\displaystyle A_{f}$ będzie macierzą odwzorowania $\displaystyle f$ w dowolnie ustalonych bazach przestrzeni $\displaystyle V$ i $\displaystyle W$.

Jeżeli $\displaystyle f$ jest monomorfizmem, to rk $\displaystyle A_{f}=m$. Źle

Jeżeli $\displaystyle f$ jest epimorfizmem, to rk $\displaystyle A_{f}=n$. Źle

Jeżeli rk $\displaystyle A_{f}=m$, to $\displaystyle f$ jest epimorfizmem. Dobrze

Jeżeli rk $\displaystyle A_{f}=n$, to $\displaystyle f$ jest izomorfizmem. Źle

Niech

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f: \mathbb{R}^2 \ni (x_1,x_2) \to (x_1+x_2, x_1+2x_2,2x_1+x_2) \in \mathbb{R}^3, \\ g: \mathbb{R}^3 \ni (y_1,y_2,y_3) \to (y_3 ,\ y_2 - y_1) \in \mathbb{R}^2 }

i niech

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rr}2&1\\0&1\end{array}}\right].$

$\displaystyle A$ jest macierzą $\displaystyle g\circ f$ w bazie kanonicznej. Dobrze

ker $\displaystyle g\circ f=$ ker $\displaystyle f$. Dobrze

rk $\displaystyle g\circ f=$ rk $\displaystyle g$. Dobrze

im $\displaystyle f\cap$ ker $\displaystyle g=\{\Theta \}$. Dobrze