Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 4: Odwzorowania liniowe

Niech $\displaystyle V$ będzie dowolną niezerową przestrzenią wektorową i niech $\displaystyle v_{0}\in Vminus\{\Theta \}$. Dane są odwzorowania liniowe $\displaystyle f,g:V\to V$, przy czym $\displaystyle f\neq 0$.

Odwzorowanie $\displaystyle \varphi :V\ni v\to f(v)+v_{0}\in V$ jest liniowe. Źle

Odwzorowanie $\displaystyle f-g:V\ni v\to f(v)-g(v)\in V$ jest liniowe. Dobrze

Odwzorowanie $\displaystyle g\circ f:V\ni v\to g(f(v))\in V$ jest liniowe. Dobrze

Odwzorowanie $\displaystyle \psi :V\ni v\to f(v+v_{0})\in V$ jest liniowe. Źle

Niech $\displaystyle V,W$ będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem $\displaystyle \mathbb {K}$ i niech $\displaystyle f:V\to W$ będzie monomorfizmem. Zakładamy, że wektory $\displaystyle v_{1},...,v_{n}\in V$.

ker $\displaystyle f=\{\Theta \}$. Dobrze

im $\displaystyle f=W$. Źle

Jeśli ciąg wektorów $\displaystyle v_{1},...,v_{n}$ jest liniowo niezależny, to ciąg wektorów $\displaystyle f(v_{1}),...,f(v_{n})$ jest liniowo niezależny. Dobrze

Jeśli ciąg wektorów $\displaystyle v_{1},...,v_{n}$ tworzy bazę przestrzeni $\displaystyle V$, to ciąg $\displaystyle f(v_{1}),...,f(v_{n})$ tworzy bazę przestrzeni $\displaystyle W$. Źle

Niech $\displaystyle V,W$ będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem $\displaystyle \mathbb {K}$ i niech $\displaystyle f:V\to W$ będzie odwzorowaniem liniowym. Zakładamy, że wektory $\displaystyle v_{1},...,v_{n},u\in V$.

Jeśli $\displaystyle f(v_{1}),...,f(v_{n})$ są liniowo niezależne, to $\displaystyle v_{1},...,v_{n}$ liniowo niezależne. Dobrze

Jeśli $\displaystyle u$ jest kombinacją liniową wektorów $\displaystyle v_{1},...,v_{n}$, to $\displaystyle f(u)$ jest kombinacją liniową wektorów $\displaystyle f(v_{1}),...,f(v_{n})$. Dobrze

Jeśli ciąg wektorów $\displaystyle v_{1},...,v_{n}$ jest liniowo niezależny, to ciąg wektorów $\displaystyle f(v_{1}),...,f(v_{n})$ jest liniowo niezależny. Źle

Jeśli $\displaystyle f(u)$ jest kombinacją liniową wektorów $\displaystyle f(v_{1}),...,f(v_{n})$, to $\displaystyle u$ jest kombinacją liniową wektorów $\displaystyle v_{1},...,v_{n}$. Źle

Niech $\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\ni (x_{1},x_{2},x_{3})\to (x_{1}-x_{2}+x_{3},x_{1}+x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$.

ker $\displaystyle f=\{(t,-t,-2t)\ :\ t\in \mathbb {R} \}$. Dobrze

rk $\displaystyle f=1$. Źle

Wektory $\displaystyle f(1,0,1)$ i $\displaystyle f(1,1,4)$ są liniowo zależne. Dobrze

$\displaystyle (2,3)\in$ im $\displaystyle f$. Dobrze

Niech $\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\ni (x_{1},x_{2},x_{3})\to (x_{1}-x_{3},x_{3}-x_{2},x_{1}-x_{2})\in \mathbb {R} ^{3}$.

Jeśli $\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3})\in$ im $\displaystyle f$, to $\displaystyle y_{3}=y_{1}+y_{2}$. Dobrze

rk $\displaystyle f=2$. Dobrze

$\displaystyle \dim$ ker $\displaystyle f=1$. Dobrze

$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=$ ker $\displaystyle f\oplus$ im $\displaystyle f$. Dobrze

Niech $\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ będzie odwzorowaniem liniowym i niech $\displaystyle u=(1,0,2),\ v=(2,-1,3),\ w=(0,1,1),\ z=(3,-1,0)$.

Jeśli $\displaystyle f(u)=(1,-1),\ f(v)=(3,0)$, to może być $\displaystyle f(w)=(0,4)$. Źle

Jeśli $\displaystyle f(u)=(1,-1),\ f(v)=(3,0)$, to musi być $\displaystyle f(z)=(0,4)$. Źle

Jeśli $\displaystyle g:\mathbb {R} ^{3}\ni \to \mathbb {R} ^{2}$ jest odwzorowaniem liniowym spełniającym warunki $\displaystyle g(u)=f(u),\ g(v)=f(v)$, to musi być $\displaystyle g=f$. Źle

Jeśli $\displaystyle g:\mathbb {R} ^{3}\ni \to \mathbb {R} ^{2}$ jest odwzorowaniem liniowym spełniającym warunki $\displaystyle g(u)=f(u),\ g(v)=f(v),\ g(z)=f(z)$, to musi być $\displaystyle g=f$. Dobrze