Tekst źródłowy strony Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 4: Odwzorowania liniowe

<quiz>Niech <math>V</math> będzie dowolną niezerową przestrzenią wektorową i
niech <math>v_0 \in V minus \{\Theta\}</math>. Dane są odwzorowania liniowe <math>f,g : V \to V</math>,
przy czym <math>f \neq 0</math>.

<wrongoption>Odwzorowanie <math>\varphi : V \ni v \to f(v) +v_0 \in V</math> jest liniowe.</wrongoption>

<rightoption>Odwzorowanie <math>f-g : V \ni v \to f(v) - g(v) \in V</math> jest liniowe.</rightoption>

<rightoption>Odwzorowanie <math>g\circ f : V \ni v \to g(f(v)) \in V</math> jest liniowe.</rightoption>

<wrongoption>Odwzorowanie <math>\psi : V \ni v \to f(v +v_0 ) \in V</math> jest liniowe.</wrongoption>
</quiz>




<quiz>Niech <math>V,W</math> będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
<math>\mathbb{K}</math> i niech <math>f : V \to W</math> będzie monomorfizmem.
Zakładamy, że wektory <math>v_1,\ldots,v_n \in V</math>.

<rightoption> ker <math>f = \{ \Theta\}</math>.</rightoption>

<wrongoption> im <math>f = W</math>.</wrongoption>

<rightoption>Jeśli ciąg wektorów  <math>v_1,\ldots,v_n</math> jest liniowo niezależny, to ciąg
wektorów <math>f(v_1),\ldots,f(v_n)</math> jest liniowo niezależny.</rightoption>

<wrongoption>Jeśli ciąg wektorów  <math>v_1,\ldots,v_n</math> tworzy bazę przestrzeni <math>V</math>, to
ciąg  <math>f(v_1),\ldots,f(v_n)</math> tworzy bazę przestrzeni <math>W</math>.</wrongoption>
</quiz>




<quiz>Niech <math>V,W</math> będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
<math>\mathbb{K}</math> i niech <math>f : V \to W</math> będzie odwzorowaniem liniowym.
Zakładamy, że wektory <math>v_1,\ldots,v_n,u \in V</math>.

<rightoption>Jeśli <math>f(v_1),\ldots,f(v_n)</math> są liniowo niezależne, to <math>v_1,\ldots,v_n</math>  liniowo niezależne.</rightoption>

<rightoption>Jeśli <math>u</math> jest kombinacją liniową wektorów <math>v_1,\ldots,v_n</math>, to <math>f(u)</math> jest kombinacją liniową wektorów <math>f(v_1),\ldots,f(v_n)</math>.</rightoption>

<wrongoption>Jeśli ciąg wektorów  <math>v_1,\ldots,v_n</math>  jest liniowo niezależny, to ciąg
wektorów <math>f(v_1),\ldots,f(v_n)</math> jest liniowo niezależny.</wrongoption>

<wrongoption>Jeśli <math>f(u)</math> jest kombinacją liniową wektorów <math>f(v_1),\ldots,f(v_n)</math>, to <math>u</math> jest kombinacją liniową wektorów <math>v_1,\ldots,v_n</math>.</wrongoption>
</quiz>




<quiz>Niech <math>f : \mathbb{R} ^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (x_1 -x_2 + x_3,
 x_1 + x_2  ) \in \mathbb{R} ^2</math>.

<rightoption> ker <math>f = \{ ( t,-t, -2t) \ : \ t \in \mathbb{R} \}</math>.</rightoption>

<wrongoption> rk <math>f = 1</math>.</wrongoption>

<rightoption>Wektory <math>f( 1,0,1)</math> i <math>f( 1,1,4)</math> są liniowo zależne.</rightoption>

<rightoption><math>(2,3) \in</math> im <math>f</math>.</rightoption>
</quiz>




<quiz>Niech <math>f : \mathbb{R} ^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (x_1 - x_3,
 x_3 -x_2,  x_1 -x_2  ) \in \mathbb{R} ^3</math>.

<rightoption>Jeśli <math>(y_1,y_2,y_3) \in</math> im <math>f</math>, to <math>y_3 = y_1+ y_2</math>.</rightoption>

<rightoption> rk <math>f =2</math>.</rightoption>

<rightoption><math>\dim</math> ker <math>f = 1</math>.</rightoption>

<rightoption><math>\mathbb{R}^3 =</math> ker <math>f \oplus</math> im <math>f</math>.</rightoption>
</quiz>




<quiz>Niech <math>f : \mathbb{R}^3  \to \mathbb{R}^2</math> będzie odwzorowaniem liniowym i niech
<math>u= (1,0,2), \ v= ( 2, -1, 3), \ w = (0, 1, 1), \ z= ( 3,-1 ,0)</math>.

<wrongoption>Jeśli <math>f(u) = (1,-1), \ f(v)= (3,0)</math>, to może być <math>f(w) =  (0,4)</math>.</wrongoption>

<wrongoption>Jeśli <math>f(u) = (1,-1), \ f(v)= (3,0)</math>, to musi być <math>f(z) = (0,4)</math>.</wrongoption>

<wrongoption>Jeśli <math>g: \mathbb{R}^3 \ni \to \mathbb{R}^2</math> jest odwzorowaniem liniowym spełniającym warunki
<math>g(u) = f(u),\  g(v)= f(v)</math>, to musi być <math>g=f</math>.</wrongoption>

<rightoption>Jeśli <math>g: \mathbb{R}^3 \ni \to \mathbb{R}^2</math> jest odwzorowaniem liniowym spełniającym warunki
<math>g(u) = f(u),\  g(v)= f(v), \ g(z)  = f(z)</math>, to musi być <math>g=f</math>.</rightoption>

</quiz>