Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 3: Układy liniowo niezależne, generatory, bazy

Rozważamy przestrzeń wektorową $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$.

Wektory $\displaystyle (1,-2,-5),\ (-3,4,5),\ (-2,2,2)$ są liniowo niezależne. Dobrze

Wektory $\displaystyle (1,-2,-5),\ (-3,4,5),\ (-2,2,2)$ generują $\displaystyle U$. Dobrze

Wektor $\displaystyle (-3,2,-5)$ jest kombnacją liniową wektorów $\displaystyle (1,-2,-5)$ i $\displaystyle (-3,4,5)$. Dobrze

Każdy wektor $\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{3}$ jest kombnacją liniową wektorów $\displaystyle (1,-2,-5),\ (-3,4,5)$ i $\displaystyle (-2,2,2)$. Dobrze

Niech $\displaystyle z=1+\mathbf {i} ,\ w=1-\mathbf {i}$ będą elementami ciała $\displaystyle \mathbb {C}$ .

$\displaystyle z,w$ są liniowo niezależne w przestrzeni wektorowej $\displaystyle (\mathbb {C} ,\mathbb {C} ,+,\cdot )$. Źle

$\displaystyle z,w$ są liniowo niezależne w przestrzeni wektorowej $\displaystyle (\mathbb {C} ,\mathbb {R} ,+,\cdot )$. Dobrze

$\displaystyle z,w$ generują $\displaystyle (\mathbb {C} ,\mathbb {C} ,+,\cdot )$. Dobrze

$\displaystyle z,w$ generują $\displaystyle (\mathbb {C} ,\mathbb {R} ,+,\cdot )$. Dobrze

Niech $\displaystyle V$ będzie dowolną skończenie wymiarową przestrzenią wektorową.

Istnieją podprzestrzenie $\displaystyle U$ i $\displaystyle W$ przestrzeni $\displaystyle V$ takie, że $\displaystyle U\cap W=\emptyset$. Źle

Dla dowolnych podprzestrzeni $\displaystyle U$ i $\displaystyle W$ przestrzeni $\displaystyle V$ zbiór $\displaystyle Z=\{u-w\ :\ u\in U,w\in W\}$ jest podprzestrzenią przestrzeni $\displaystyle V$. Dobrze

Każdy układ generatorów przestrzeni $\displaystyle V$ jest bazą przestrzeni $\displaystyle V$. Źle

Każdy układ wektorów liniowo niezależnych w przestrzeni $\displaystyle V$ jest bazą przestrzeni $\displaystyle V$. Źle

Niech $\displaystyle U=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x_{1}+2x_{2}-x_{3}=0\}$, $\displaystyle W=\{(t,2t,3t)\ :t\in \mathbb {R} \}$.

$\displaystyle \dim U=1$. Źle

$\displaystyle \dim W=1$. Dobrze

Wektory $\displaystyle (1,0,1)$ i $\displaystyle (0,1,2)$ generują $\displaystyle U$. Dobrze

Wektory $\displaystyle (1,0,1)$ i $\displaystyle (0,1,2)$ tworzą bazę $\displaystyle U$. Dobrze

Niech $\displaystyle V$ będzie skończenie wymiarową przestrzenią wektorową, a $\displaystyle U$ i $\displaystyle W$ jej podprzestrzeniami takimi, że $\displaystyle V=U\oplus W$. Niech ponadto ciąg $\displaystyle u_{1},...,u_{n}$ będzie bazą $\displaystyle U$, a ciąg $\displaystyle w_{1},...,w_{m}$ bazą $\displaystyle W$.

Wektory $\displaystyle u_{1},...,u_{n},w_{1},...,w_{m}$ generują $\displaystyle V$. Dobrze

Wektory $\displaystyle u_{1},...,u_{n},w_{1},...,w_{m}$ są liniowo niezależne. Dobrze

$\displaystyle \forall u\in U\ \forall w\in W\ u+w\in U\cup W$. Źle

$\displaystyle \forall v\in V\ \exists u\in U\ \exists w\in W\ v=u+w$. Dobrze

Niech $\displaystyle a=(1,0),\ b=(i,0),\ c=(0,1),\ d=(0,i)$.

Wektory $\displaystyle a,b,c,d$ są liniowo niezależne w przestrzeni $\displaystyle (\mathbb {C} ^{2},\mathbb {C} ,+,\cdot )$. Źle

Wektory $\displaystyle a,b,c,d$ są liniowo niezależne w przestrzeni $\displaystyle (\mathbb {C} ^{2},\mathbb {R} ,+,\cdot )$. Dobrze

Wektory $\displaystyle a+c,b+d$ tworzą bazę przestrzeni $\displaystyle (\mathbb {C} ^{2},\mathbb {C} ,+,\cdot )$. Źle

Wektory $\displaystyle a+b,c+d$ tworzą bazę przestrzeni $\displaystyle (\mathbb {C} ^{2},\mathbb {C} ,+,\cdot )$. Dobrze