Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 1: Grupy i ciała

Niech $\displaystyle (G,*)$ będzie dowolną grupą, niech $\displaystyle a,b,c\in G$ i niech $\displaystyle e$ będzie elementem neutralnym w $\displaystyle G$.

$\displaystyle a$ jest elementem odwrotnym do $\displaystyle e\displaystyle \Longrightarrow \ a=e$. Dobrze

$\displaystyle b,c$ są elementami odwrotnymi do $\displaystyle a\displaystyle \Longrightarrow \ b=c$. Dobrze

$\displaystyle ab=ac\Longrightarrow \ b=c$. Dobrze

$\displaystyle ab=ca\Longrightarrow \ b=c$. Źle

Niech $\displaystyle P=\{2k\ :\ k\in \mathbb {Z} \}$ i niech $\displaystyle +$ oraz $\displaystyle \cdot$ oznaczają zwykłe działania dodawania i mnożenia w zbiorze liczb rzeczywistych.

(P,+) jest grupą. Dobrze

$\displaystyle \cdot$ jest działaniem wenętrznym w $\displaystyle P$. Dobrze

$\displaystyle (P,\cdot )$ jest grupą. Źle

Odwzorowanie $\displaystyle P\ni x\to 2x\in P$ jest bijekcją. Źle

W zbiorze $\displaystyle X:=\mathbb {R} minus\{-1\}$ definiujemy działanie $\displaystyle *$ : $\displaystyle x*y=x+y+xy.$

Działanie $\displaystyle *$ jest łączne. Dobrze

$\displaystyle 0$ jest elementem neutralnym względem działania $\displaystyle *$. Dobrze

Jeśli $\displaystyle x\in X$, to $\displaystyle {\frac {-x}{1+x}}\in X$. Dobrze

Liczba $\displaystyle {\frac {-x}{1+x}}\in X$ jest elementem odwrotnym do $\displaystyle x$ w $\displaystyle (X,*)$. Dobrze

Niech $\displaystyle z=1-\mathbf {i} \displaystyle$.

$\displaystyle z^{2}$ jest liczbą rzeczywistą. Źle

$\displaystyle z^{4}$ jest liczbą rzeczywistą. Dobrze

$\displaystyle z^{4}$ jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Źle

$\displaystyle z$ jest pierwiastkiem równania $\displaystyle z^{2}-(4+\mathbf {i} )z+3+3\mathbf {i} =0$. Źle

Niech $\displaystyle f:\mathbb {C} \ni z\to {\bar {z}}\in \mathbb {C}$, gdzie $\displaystyle {\bar {z}}={\overline {x+y\mathbf {i} }}=x-y\mathbf {i}$, i niech $\displaystyle I_{\mathbb {C} }$ oznacza identyczność na $\displaystyle \mathbb {C}$.

$\displaystyle f\circ f=I_{\mathbb {C} }$. Dobrze

$\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \ \forall \lambda \in \mathbb {C} \ \ f(\lambda z)=\lambda f(z)$. Źle

$\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \ \forall \alpha \in \mathbb {R} \ \ f(\alpha z)=\alpha f(z)$. Dobrze

$\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {C} \ \ (az^{2}+bz+c=0\ \Longrightarrow a{\bar {z}}^{2}+b{\bar {z}}+c=0)$. Źle

Niech $\displaystyle z={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathbf {i}$ i niech $\displaystyle H:=\{z^{n}\ :\ n\in \mathbb {N} \}$.

$\displaystyle H$ ma nieskończenie wiele różnych elementów. Źle

$\displaystyle H$ ma 6 różnych elementów. Dobrze

$\displaystyle \forall a,b\in H\ ab\in H$. Dobrze

$\displaystyle \forall a,b\in H\ a+b\in H$. Źle