Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 15: Euklidesowe przestrzenie afiniczne

Rozważamy przestrzeń euklidesową $\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech $\displaystyle X:=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}\ ;x_{1}-2x_{2}+3x_{3}=2\}$, $\displaystyle V$ niech oznacza kierunek $\displaystyle X$ i niech $\displaystyle U=\{(t,-2t,3t);t\in \mathbb {R} \}$.

$\displaystyle X$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$. Źle

$\displaystyle X$ jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$. Dobrze

$\displaystyle U^{\perp }=V$. Dobrze

$\displaystyle \dim X=2$. Dobrze

W $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ mamy trzy wektory $\displaystyle a=(1,2,1),\ b=(-1,0,1)$ i $\displaystyle c=(1,4,3)$.

$\displaystyle a,b,c$ są afinicznie niezależne. Dobrze

$\displaystyle a,b,c$ są liniowo niezależne. Źle

Jeśli $\displaystyle X$ jest hiperpłaszczyzną afiniczną w $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ i $\displaystyle a,b,c\in X$, to $\displaystyle (5,4,-1)\in X$. Dobrze

Jeśli $\displaystyle X$ jest hiperpłaszczyzną afiniczną w $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ i $\displaystyle a,b,c\in X$, to $\displaystyle (-1,6,3)\in X$. Źle

Rozważamy przestrzeń euklidesową $\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}$ ze standardowym iloczynem skalarnym.

Niech $\displaystyle X\colon =\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}\ ;\ 3x_{1}+2x_{2}-4x_{3}=1\},$
$\ k:=\{(7+2t,2-t,3+t);t\in \mathbb {R} \},$
Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \ l:= \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; \ 2x_1 -x_2 - 3x_3 =-1, \ x_1 +3x_2 - x_3 =2\}} .

$\displaystyle l\parallel X$. Dobrze

$\displaystyle k\parallel X$. Dobrze

$\displaystyle k\perp l$. Źle

$\displaystyle k\parallel l$. Źle

W $\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}$ ze standardowym iloczynem skalarnym dane są: hiperpłaszczyzna afiniczna $\displaystyle X:=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}\ ;x_{1}-x_{2}+3x_{3}=2\}$ oraz punkty $\displaystyle a=(-2,1,4)$ i $\displaystyle b=(-5,4,-5)$.

Punkt $\displaystyle (5,-6,-3)$ jest rzutem prostopadłym punktu $\displaystyle a$ na $\displaystyle X$. Źle

Prosta przechodząca przez $\displaystyle a$ i $\displaystyle b$ jest prostopadła do $\displaystyle X$. Dobrze

Płaszczyzna $\displaystyle X:=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}\ ;3x_{1}-x_{2}-x_{3}=7\}$ jest równoległa do $\displaystyle X$. Źle

Odległość punktu $\displaystyle (-3,2,1)$ od podprzestrzeni $\displaystyle X$ wynosi 2. Źle

W $\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}$ ze standardowym iloczynem skalarnym dana jest płaszczyzna $\displaystyle X:=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}\ ;x_{1}-x_{2}+2x_{3}-2=0\}$ oraz punkty $\displaystyle a=(1,3,2)$, $\displaystyle b=(5,3,0),\ c=(2,4,2)$ i $\displaystyle z=(-1,1,0)$.

vol $\displaystyle (a,b,c)={\sqrt {6}}$. Dobrze

vol $\displaystyle (a,b,c,z)={\frac {4}{3}}$. Dobrze

$\displaystyle a,b,c$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Źle

$\displaystyle X$ jest najmniejszą (ze względu na inkluzję) podprzestrzenią afiniczną przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ zawierającą punkty $\displaystyle a,b$ i $\displaystyle c$. Dobrze

Niech $\displaystyle X,Y$ będą afinicznymi przestrzeniami euklidesowymi o kierunkach $\displaystyle V$ i $\displaystyle W$ (odpowiednio), a $\displaystyle f\colon X\to Y$ niech będzie izometrią.

$\displaystyle f$ jest iniekcją. Dobrze

$\displaystyle \forall v\in V$ odwzorowanie $\displaystyle g_{v}\colon X\ni x\to f(x+v)\in Y$ jest izometrią. Dobrze

$\displaystyle \forall w\in W$ odwzorowanie $\displaystyle h_{w}\colon X\ni x\to f(x)+w\in Y$ jest izometrią. Dobrze

$\displaystyle \forall x_{0}\in X$ odwzorowanie $\displaystyle \varphi \colon V\ni v\to {\overrightarrow {f(x_{0})f(x_{0}+v)}}\in V$ jest izometrią liniową. Dobrze