Tekst źródłowy strony Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 15: Euklidesowe przestrzenie afiniczne

<quiz>Rozważamy przestrzeń euklidesową <math>{\mathbb{R}}^3</math> ze standardowym iloczynem skalarnym.
Niech <math>X:= \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; x_1-2x_2+3x_3 =2
\}</math>, <math>V</math> niech oznacza kierunek <math>X</math> i niech <math>U = \{ (t,-2t,3t) ; t \in \mathbb{R} \}</math>.

<wrongoption><math>X</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\mathbb{R}^3</math>.</wrongoption>

<rightoption><math>X</math> jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni <math>\mathbb{R}^3</math>.</rightoption>

<rightoption><math>U^{\perp} = V</math>.</rightoption>

<rightoption><math>\dim X = 2</math>.</rightoption>
</quiz>




<quiz>W <math>\mathbb{R}^3</math> mamy trzy wektory <math>a=(1,2,1), \ b=(-1,0,1)</math> i
<math>c=(1,4,3)</math>.

<rightoption><math>a,b,c</math> są afinicznie niezależne.</rightoption>

<wrongoption><math>a,b,c</math> są liniowo niezależne.</wrongoption>

<rightoption>Jeśli <math>X</math> jest hiperpłaszczyzną afiniczną w <math>\mathbb{R}^3</math> i <math>a,b,c \in X</math>, to <math>(5,4,-1) \in X</math>.</rightoption>

<wrongoption>Jeśli <math>X</math> jest hiperpłaszczyzną afiniczną w <math>\mathbb{R}^3</math> i <math>a,b,c \in X</math>, to <math>(-1,6,3) \in X</math>.</wrongoption>
</quiz>




<quiz>Rozważamy przestrzeń euklidesową <math>{\mathbb{R}}^3</math> ze standardowym iloczynem skalarnym.

Niech <math>X\colon = \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; \ 3x_1 +2x_2 - 4x_3 =1\}</math>,<br><math>\ k:= \{ (7+2t,2-t,3+t) ; t \in \mathbb{R} \}</math>,<br><math>\ l:=  \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; \ 2x_1 -x_2 - 3x_3 =-1, \ x_1 +3x_2 - x_3 =2\}</math>.

<rightoption><math>l\parallel X</math>. </rightoption>

<rightoption><math>k\parallel X</math>.</rightoption>

<wrongoption><mathk\perp l</math>.</wrongoption>

<wrongoption><math>k\parallel l</math>.</wrongoption>
</quiz>




<quiz>W <math>{\mathbb{R}}^3</math> ze standardowym iloczynem skalarnym dane są: hiperpłaszczyzna afiniczna
<math>X:= \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; x_1-x_2+3x_3 =2 \}</math> oraz punkty <math>a=(-2,1,4)</math> i <math>b= (-5,4,-5)</math>.

<wrongoption>Punkt <math>(5,-6,-3)</math> jest rzutem prostopadłym punktu <math>a</math> na <math>X</math>.</wrongoption>

<rightoption>Prosta przechodząca przez <math>a</math> i <math>b</math> jest prostopadła do <math>X</math>.</rightoption>

<wrongoption>Płaszczyzna <math>X:= \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; 3x_1-x_2 - x_3 =7 \}</math> jest równoległa do <math>X</math>.</wrongoption>

<wrongoption>Odległość punktu <math>(-3,2,1)</math> od podprzestrzeni <math>X</math> wynosi 2.</wrongoption>
</quiz>




<quiz>W <math>{\mathbb{R}}^3</math> ze standardowym iloczynem skalarnym dana jest płaszczyzna
<math>X:= \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; x_1-x_2+2x_3 -2 =0\}</math> oraz punkty <math>a=(1,3,2)</math>, <math>b= (5,3,0), \ c= (2,4,2)</math> i
<math>z=( -1,1,0)</math>.

<rightoption> vol <math>(a,b,c) = \sqrt 6</math>.</rightoption>

<rightoption> vol <math>(a,b,c,z) = \frac {4}{3}</math>.</rightoption>

<wrongoption><math>a,b,c</math> są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.</wrongoption>

<rightoption><math>X</math> jest najmniejszą (ze względu na inkluzję) podprzestrzenią afiniczną przestrzeni <math>\mathbb{R}^3</math>
zawierającą punkty <math>a,b</math> i <math>c</math>.</rightoption>
</quiz>




<quiz>Niech <math>X,Y</math> będą afinicznymi przestrzeniami euklidesowymi o kierunkach <math>V</math> i <math>W</math> (odpowiednio), a
<math>f\colon X \to Y</math> niech będzie izometrią.

<rightoption><math>f</math> jest iniekcją.</rightoption>

<rightoption><math>\forall v \in V</math> odwzorowanie <math>g_v \colon X \ni x \to f(x+v) \in Y</math> jest izometrią.</rightoption>

<rightoption><math>\forall w \in W</math> odwzorowanie <math>h_w \colon X \ni x \to f(x)+w \in Y</math> jest izometrią.</rightoption>

<rightoption><math>\forall x_0 \in X</math> odwzorowanie <math>\varphi \colon V \ni v \to \overrightarrow{f(x_0)f(x_0+v)} \in V</math> jest
izometrią liniową.</rightoption>
</quiz>