Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 14: Przestrzenie afiniczne II

Rozważamy przestrzeń afiniczną $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ o kierunku $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$. Niech $\displaystyle A=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}\ ;\ 2x_{1}+x_{2}-3x_{3}=5\}$, $\displaystyle B=\{(-1+t-2s,1+t+5s,1+t+s)\ ;\ t,s\in \mathbb {R} \}$.

$\displaystyle A$ jest hiperpłaszczyzną afiniczną w $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$. Dobrze

$\displaystyle A\cap B\neq \emptyset$. Źle

$\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są równoległe. Dobrze

$\displaystyle V_{0}:=\{(2t,t,-t)\ ;\ t\in \mathbb {R} \}$ jest kierunkiem $\displaystyle A$. Źle

Rozważamy przestrzeń afiniczną $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ o kierunku $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$. Dane są zbiory $\displaystyle P=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}\ ;5x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=1\}$, $\displaystyle L=\{(1+t,2-t,-1-t)\ ;\ t\in \mathbb {R} \}$.

$\displaystyle P$ jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$. Dobrze

$\displaystyle L$ jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$. Dobrze

$\displaystyle L$ jest równoległa do $\displaystyle P$. Dobrze

$\displaystyle L\subset P$. Źle

Dany jest układ równań

$\displaystyle (U)\left\{{\begin{array}{rrrl}x+y-z=2\\2x-y+5z=3.\end{array}}\right.$

Zbiór rozwiązań układu $\displaystyle (U)$ jest pusty. Źle

Zbiór rozwiązań układu $\displaystyle (U)$ jest prostą afiniczną. Dobrze

Zbiór rozwiązań układu jednorodnego skojarzonego z $\displaystyle (U)$ jest prostą wektorową prostopadłą
do $\displaystyle lin\{(1,1,-1),(2,-1,5)\}$. Dobrze

Jeśli $\displaystyle (x,y,z)$ oraz $\displaystyle (x',y',z')$ są rozwiązaniami układu$\displaystyle (U)$, to $\displaystyle (x-x',y-y',z-z')$ jest rozwiązaniem $\displaystyle (U)$. Źle

Niech $\displaystyle V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych. Mamy dane dwa zbiory $\displaystyle A,B\subset V$, punkt $\displaystyle c\in V$ oraz liczbę $\displaystyle \lambda \in \mathbb {R}$.

Jeżeli $\displaystyle A$ i$\displaystyle B$ są wypukłe, to $\displaystyle A+B:=\{a+b\ ;\ a\in A,\ b\in B\}$ jest wypukły. Dobrze

Jeżeli $\displaystyle A$ jest wpukły, to $\displaystyle c+A:=\{c+a\ ;\ a\in A\}$ jest wypukły. Dobrze

Jeżeli $\displaystyle A$ i$\displaystyle B$ są wypukłe, to $\displaystyle A\cup B$ jest wypukły. Źle

Jeżeli $\displaystyle A$ jest wpukły, to $\displaystyle \lambda A:=\{\lambda a\ ;\ a\in A\}$ jest wypukły. Dobrze

Niech $\displaystyle n\in \mathbb {N} _{1}$. Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ ze standardowym iloczynem skalarnym, który oznaczamy symbolem $\displaystyle <\ ,\ >$. Niech $\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}$ i niech $\displaystyle \alpha \in \mathbb {R}$.

Zbiór $\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\ ;\ <x,a>\ \geq \alpha \}$ jest wypukły. Dobrze

Zbiór $\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\ ;\ <x,a>\neq \alpha \}$ jest wypukły. Źle

Zbiór $\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\ ;\ <x,a>>alpha\}$ jest wypukły. Dobrze

Zbiór $\displaystyle \{\mathbf {x} =(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\ ;\ x_{1}\cdot ...\cdot x_{n}>0\}$ jest wypukły. Źle

Niech $\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R}$ i niech

$\displaystyle f_{(a,b,c)}\colon \mathbb {R} ^{3}\ni (x_{1},x_{2},x_{3})\to (ax_{1}^{2}+x_{3}+c,x_{1}+bx_{1}x_{2}+cx_{3}-7+b)\in \mathbb {R} ^{2}$

Dla dowolnych $\displaystyle a,b,c\ \displaystyle f_{(a,b,c)}$ jest odwzorowaniem afinicznym. Źle

Dla dowolnego $\displaystyle c\ \displaystyle f_{(0,0,c)}$ jest odwzorowaniem afinicznym. Dobrze

Dla dowolnych $\displaystyle b,c\ \displaystyle f_{(0,b,c)}$ jest odwzorowaniem afinicznym. Źle

Dla dowolnych $\displaystyle a,c\ \displaystyle f_{(a,0,c)}$ jest odwzorowaniem afinicznym. Źle