Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 14: Przestrzenie afiniczne II

{article} \input{plzn.tex}

\setlength{\topmargin}{-30mm} \setlength{\textheight}{280mm} \setlength{\oddsidemargin}{-10mm} \setlength{\textwidth}{170mm} \setlength{\parindent}{0mm}

\newcounter{zestaw} \setcounter{zestaw}{124}

TESTY 14

Test sprawdzający. Test z pytaniami rozstrzygnięcia typu TAK/NIE.

Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Za każde zadanie można uzyskać $\displaystyle 0,5$ punktu (jeśli poprawnie zostaną wskazane trzy odpowiedzi), 1 punkt (jeśli poprawnie zostaną wskazane cztery odpowiedzi) lub $\displaystyle 0$ punktów (w pozostałych przypadkach).

Oceny: 3p. - dst, 3,5p.- plus dst, 4p. - db, 4,5 p - plus db, co najmniej 5p. - bdb.

T14.1. Rozważamy przestrzeń afiniczną $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ o kierunku $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$. Niech $\displaystyle A=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}\ ;\ 2x_{1}+x_{2}-3x_{3}=5\}$, $\displaystyle B=\{(-1+t-2s,1+t+5s,1+t+s)\ ;\ t,s\in \mathbb {R} \}$.

$\displaystyle A$ jest hiperpłaszczyzną afiniczną w $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$. {T}

$\displaystyle A\cap B\neq \emptyset$. {F}

$\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są równoległe. {T}

$\displaystyle V_{0}:=\{(2t,t,-t)\ ;\ t\in \mathbb {R} \}$ jest kierunkiem $\displaystyle A$. {F}

T14.2. Rozważamy przestrzeń afiniczną $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ o kierunku $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$. Dane są zbiory Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P = \{(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; \ 5x_1+3x_2+2x_3 =1 \}} , $\displaystyle L=\{(1+t,2-t,-1-t)\ ;\ t\in \mathbb {R} \}$.

$\displaystyle P$ jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$. {T}

$\displaystyle L$ jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$. {T}

$\displaystyle L$ jest równoległa do $\displaystyle P$. {T}

$\displaystyle L\subset P$. {F}

T14.3. Dany jest układ równań

$\displaystyle (U)\left\{{\begin{array}{rrrl}x+y-z=2\\2x-y+5z=3.\end{array}}\right.$

Zbiór rozwiązań układu $\displaystyle (U)$ jest pusty. {F}

Zbiór rozwiązań układu $\displaystyle (U)$ jest prostą afiniczną. {T}

Zbiór rozwiązań układu jednorodnego skojarzonego z $\displaystyle (U)$ jest prostą wektorową prostopadłą
do $\displaystyle lin\{(1,1,-3),(2,-1,5)\}$. {T}

Jeśli $\displaystyle (x,y,z)$ oraz $\displaystyle (x',y',z')$ są rozwiązaniami układu$\displaystyle (U)$, to $\displaystyle (x-x',y-y',z-z')$ jest rozwiązaniem $\displaystyle (U)$. {F}

T14.4. Niech $\displaystyle V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych. Mamy dane dwa zbiory $\displaystyle A,B\subset V$, punkt $\displaystyle c\in V$ oraz liczbę $\displaystyle \lambda \in \mathbb {R}$.

Jeżeli $\displaystyle A$ i$\displaystyle B$ są wypukłe, to $\displaystyle A+B:=\{a+b\ ;\ a\in A,\ b\in B\}$ jest wypukły. {T}

Jeżeli $\displaystyle A$ jest wpukły, to $\displaystyle c+A:=\{c+a\ ;\ a\in A\}$ jest wypukły. {T}

Jeżeli $\displaystyle A$ i$\displaystyle B$ są wypukłe, to $\displaystyle A\cup B$ jest wypukły. {F}

Jeżeli $\displaystyle A$ jest wpukły, to $\displaystyle \lambda A:=\{\lambda a\ ;\ a\in A\}$ jest wypukły. {T}

T14.5. Niech $\displaystyle n\in \mathbb {N} _{1}$. Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ ze standardowym iloczynem skalarnym, który oznaczamy symbolem $\displaystyle <\ ,\ >$. Niech $\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}$ i niech $\displaystyle \alpha \in \mathbb {R}$.

Zbiór $\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\ ;\ <x,a>\ \geq \alpha \}$ jest wypukły. {T}

Zbiór $\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\ ;\ <x,a>\neq \alpha \}$ jest wypukły. {F}

Zbiór $\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\ ;\ <x,a>\ >\alpha \}$ jest wypukły. {T}

Zbiór $\displaystyle \{\mathbf {x} =(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\ ;\ x_{1}\cdot ...\cdot x_{n}>0\}$ jest wypukły. {F}

T14.6. Niech $\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R}$ i niech

$\displaystyle f_{(a,b,c)}\colon \mathbb {R} ^{3}\ni (x_{1},x_{2},x_{3})\to (ax_{1}^{2}+x_{3}+c,x_{1}+bx_{1}x_{2}+cx_{3}-7+b)\in \mathbb {R} ^{2}$

Dla dowolnych $\displaystyle a,b,c\displaystyle f_{(a,b,c)}$ jest odwzorowaniem afinicznym. {F}

Dla dowolnego $\displaystyle c\displaystyle f_{(0,0,c)}$ jest odwzorowaniem afinicznym. {T}

Dla dowolnych $\displaystyle b,c\displaystyle f_{(0,b,c)}$ jest odwzorowaniem afinicznym. {F}

Dla dowolnych $\displaystyle a,c\displaystyle f_{(a,0,c)}$ jest odwzorowaniem afinicznym. {F}