Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 7: Wyznacznik

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Zadanie 7.1

Niech będzie dane wzorem



Zbadać, czy

i) jest odwzorowaniem dwuliniowym,
ii) jest odwzorowaniem symetrycznym,
iii) jest odwzorowaniem antysymetrycznym.
Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.2

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech , . Definiujemy



Zbadać, czy

  1. jest formą dwuliniową,
  2. jest odwzorowaniem antysymetrycznym.
Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.3

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech będzie endomorfizmem. Wykazać, że odwzorowanie



jest dwuliniowe.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.4

Niech  będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech



będzie odwzorowaniem dwuliniowym. Wykazać, że istnieje taki endomorfizm , że dla wszystkich i wszystkich zachodzi równość:



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.5

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech . Ustalmy wektory . Wykazać, że dla dowolnych , i dla dowolnego skalara zachodzi równość:



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.6

Niech



Wykazać, że .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.7

Niech



Wykazać, że



Dowód Komentarz

Oto sposób obliczania tego wyznacznika: do macierzy dopisujemy pierwszą i drugą kolumnę



a następnie sumujemy iloczyny wyrazów stojących wzdłuż przekątnej głównej (łączącej i ) macierzy oraz iloczyny wyrazów stojących wzdłuż linii do niej równoległych i odejmujemy iloczyny wyrazów stojących wzdłuż przekątnej łączącej i oraz wzdłuż linii równoległych do niej.

End of proof.gif


Wskazówka
Rozwiązanie

ANIMACJA

Zadanie 7.8

Obliczyć wyznaczniki macierzy oraz , gdy

A &= [ {rrr} -1 & 3 & 2
3 & 0 & 1
2 & 3 & 0

],& B &= [ {rrr} 1 & 0 & 2
2 & 3 & 1
3 &3 &-3

].


Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.9

Obliczyć wyznacznik macierzy



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.10

Wykazać, że



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.11

Podać wzór na wyznacznik następujących macierzy:

A&=[ {rrrrr} 1 & 2 & 3 & ... & n
-1 & 0 & 3 & ... & n
-1 & -2 & 0 & ... & n
& & & &
-1 & -2 & -3 & ... & 0

], & B&=[ {cccccc} 0 & a & 0 & 0 & 0 & 0
f & 0 & b & 0 & 0 & 0
0 & g & 0 & c & 0 & 0
0 & 0 & h & 0 & d & 0
0 & 0 & 0 & i & 0 & e
0 & 0 & 0 & 0 & j & 0

]

oraz

C&=[c_{ij}]_{n n},& { gdzie } c_{ij}&= 1,&{gdy }i+j=n+1
0,&{gdy }i+j n+1 ,
D&=[d_{ij}]_{n n},& { gdzie } d_{ij}&= i ,&{gdy }i=j,
n,&{gdy }i j.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.12

Niech będzie rzeczywistą macierzą kwadratową wymiaru .

  1. Udowodnić, że jeżeli  jest macierzą skośnie symetryczną,

czyli oraz  jest liczbą nieparzystą, to .

  1. Podać przykład rzeczywistej skośnie symetrycznej macierzy

kwadratowej takiej, że .

  1. Jeżeli , to jest liczbą parzystą.
  2. Czy powyższa implikacja pozostaje prawdziwa jeżeli założmy, że

 jest macierzą zespoloną?

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.13

Uzasadnić, że wyznacznik następującej macierzy



jest równy .

Wskazówka
Rozwiązanie