Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 7: Wyznacznik: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
 
Linia 477: Linia 477:
 
[[ANIMACJA]]
 
[[ANIMACJA]]
  
==={{kotwica|zad 7.7|Zadanie 7.7}}===
+
==={{kotwica|zad 7.8|Zadanie 7.8}}===
 
Obliczyć wyznaczniki macierzy <math>\displaystyle A</math>,&nbsp;<math>\displaystyle B</math>,&nbsp;<math>\displaystyle AB</math> oraz <math>\displaystyle A^{-1}</math>,&nbsp;gdy
 
Obliczyć wyznaczniki macierzy <math>\displaystyle A</math>,&nbsp;<math>\displaystyle B</math>,&nbsp;<math>\displaystyle AB</math> oraz <math>\displaystyle A^{-1}</math>,&nbsp;gdy
  
Linia 496: Linia 496:
 
].
 
].
  
}}
 
  
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Skorzystać ze wzoru podanego w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[##zad_7_7|Uzupelnic zad_7_7|]].
+
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Skorzystać ze wzoru podanego w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[#zad_7.7|7.7]].
 
Obliczając wyznaczniki macierzy <math>\displaystyle AB</math> oraz <math>\displaystyle A^{-1}</math>&nbsp;skorzystać
 
Obliczając wyznaczniki macierzy <math>\displaystyle AB</math> oraz <math>\displaystyle A^{-1}</math>&nbsp;skorzystać
 
z&nbsp;odpowiednich własności funkcji <math>\displaystyle \det</math>.
 
z&nbsp;odpowiednich własności funkcji <math>\displaystyle \det</math>.
 
</div></div>
 
</div></div>
  
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Korzystając ze wzoru podanego w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[##zad_7_7|Uzupelnic zad_7_7|]]
+
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Korzystając ze wzoru podanego w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[#zad_7.7|7.7]]
 
otrzymujemy:
 
otrzymujemy:
  
Linia 522: Linia 521:
 
Aby obliczyć <math>\displaystyle \det AB</math> wystarczy skorzystać z&nbsp;odpowiedniego wzoru,
 
Aby obliczyć <math>\displaystyle \det AB</math> wystarczy skorzystać z&nbsp;odpowiedniego wzoru,
 
aby otrzymać, że
 
aby otrzymać, że
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det AB =\det A\det B = 27\cdot(-18)=-486.
 
<center><math>\displaystyle \det AB =\det A\det B = 27\cdot(-18)=-486.
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Podobnie
 
Podobnie
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det A^{-1}=\frac{1}{\det A}=\frac{1}{27}.\qedhere
 
<center><math>\displaystyle \det A^{-1}=\frac{1}{\det A}=\frac{1}{27}.\qedhere
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
</div></div>
 
</div></div>
  
{{cwiczenie|||
+
==={{kotwica|zad 7.9|Zadanie 7.9}}===
 
Obliczyć wyznacznik macierzy
 
Obliczyć wyznacznik macierzy
 +
  
 
<center><math>\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rrrr}
 
<center><math>\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rrrr}
Linia 544: Linia 548:
 
</math></center>
 
</math></center>
  
}}
 
  
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Aby uprościć obliczenia należy skorzystać z&nbsp;twierdzenia
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Aby uprościć obliczenia należy skorzystać z&nbsp;twierdzenia
Linia 552: Linia 555:
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Podzielmy macierz na bloki zgodnie z&nbsp;poniższą
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Podzielmy macierz na bloki zgodnie z&nbsp;poniższą
 
ilustracją:
 
ilustracją:
 +
  
 
<center><math>\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rr|rr}
 
<center><math>\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rr|rr}
Linia 565: Linia 569:
 
\end{array}  \right].
 
\end{array}  \right].
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Na mocy twierdzenia 0.1.6 z&nbsp;modułu&nbsp;VII widzimy, że
 
Na mocy twierdzenia 0.1.6 z&nbsp;modułu&nbsp;VII widzimy, że
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det A =\det A_{11} \cdot \det A_{22}.
 
<center><math>\displaystyle \det A =\det A_{11} \cdot \det A_{22}.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Jak łatwo obliczyć (korzystając np. z&nbsp;zadania&nbsp;[[##zad_7_6|Uzupelnic zad_7_6|]])
+
 
 +
Jak łatwo obliczyć (korzystając np. z&nbsp;zadania&nbsp;[[#zad_7.6|7.6]])
 
zachodzi
 
zachodzi
  
Linia 577: Linia 584:
  
 
co oznacza, że
 
co oznacza, że
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det A =\det A_{11} \cdot \det A_{22}=-60.\qedhere
 
<center><math>\displaystyle \det A =\det A_{11} \cdot \det A_{22}=-60.\qedhere
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
</div></div>
 
</div></div>
  
{{cwiczenie|||
+
==={{kotwica|zad 7.10|Zadanie 7.10}}===
 
Wykazać, że
 
Wykazać, że
 +
 +
 
<center><math>\displaystyle  \det  \left [ \begin{array} {rrr}
 
<center><math>\displaystyle  \det  \left [ \begin{array} {rrr}
 
1 & a & a^2 \\
 
1 & a & a^2 \\
Linia 590: Linia 601:
 
1 &c &c^2\end{array}  \right] = (b-a) (c-a)(c-b). </math></center>
 
1 &c &c^2\end{array}  \right] = (b-a) (c-a)(c-b). </math></center>
  
}}
 
  
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Można skorzystać ze wzoru podanego
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Można skorzystać ze wzoru podanego
w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[##zad_7_7|Uzupelnic zad_7_7|]]. Można także zauważyć, że jeżeli <math>\displaystyle a=b</math> lub
+
w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[#zad_7.7|7.7]]. Można także zauważyć, że jeżeli <math>\displaystyle a=b</math> lub
 
<math>\displaystyle b=c</math> lub <math>\displaystyle a=c</math>, to nasz wyznacznik jest równy <math>\displaystyle 0</math>, a&nbsp;następnie
 
<math>\displaystyle b=c</math> lub <math>\displaystyle a=c</math>, to nasz wyznacznik jest równy <math>\displaystyle 0</math>, a&nbsp;następnie
 
skorzystać z&nbsp;faktu, że wyznacznik macierzy <math>\displaystyle A=[a_{ij}]_{3\times 3}</math>
 
skorzystać z&nbsp;faktu, że wyznacznik macierzy <math>\displaystyle A=[a_{ij}]_{3\times 3}</math>
 
jest równy:
 
jest równy:
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \sum_{\sigma\in S_3}\sgn \sigma
 
<center><math>\displaystyle \sum_{\sigma\in S_3}\sgn \sigma
 
a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}.\qedhere
 
a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}.\qedhere
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
</div></div>
 
</div></div>
  
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Wykorzystując metodę podaną w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[##zad_7_7|Uzupelnic zad_7_7|]] po wykonaniu
+
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Wykorzystując metodę podaną w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[#zad_7.7|7.7]] po wykonaniu
 
odpowiednich rachunków uzyskamy dowód. Podamy jednak alternatywny
 
odpowiednich rachunków uzyskamy dowód. Podamy jednak alternatywny
 
dowód, który dzięki pewnym obserwacjom będzie przeprowadzony bez
 
dowód, który dzięki pewnym obserwacjom będzie przeprowadzony bez
Linia 610: Linia 622:
 
<math>\displaystyle A=[a_{ij}]_{3\times 3}</math> jest równy:
 
<math>\displaystyle A=[a_{ij}]_{3\times 3}</math> jest równy:
  
<center><math>\displaystyle \sum_{\sigma\in S_3}\sgn \sigma
+
 
 +
{{wzor|wzor1|*|
 +
><math>\displaystyle \sum_{\sigma\in S_3}\sgn \sigma
 
a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}.\tag{</math>*<math>\displaystyle }
 
a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}.\tag{</math>*<math>\displaystyle }
</math></center>
+
</math>}}
 +
 
  
 
Zauważmy, że czynniki w&nbsp;każdym z&nbsp;iloczynów postaci
 
Zauważmy, że czynniki w&nbsp;każdym z&nbsp;iloczynów postaci
 
<math>\displaystyle a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}</math> pochodzą zawsze
 
<math>\displaystyle a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}</math> pochodzą zawsze
 
z&nbsp;różnych wierszy i&nbsp;różnych kolumn macierzy <math>\displaystyle A</math>.&nbsp;Wynika stąd, że
 
z&nbsp;różnych wierszy i&nbsp;różnych kolumn macierzy <math>\displaystyle A</math>.&nbsp;Wynika stąd, że
powyższe wyrażenie&nbsp;([[##sum|Uzupelnic sum|]]) dla naszej macierzy jest wielomianem
+
powyższe wyrażenie&nbsp;([[#wzor1|*]]) dla naszej macierzy jest wielomianem
 
stopnia trzeciego trzech zmiennych <math>\displaystyle a</math>,&nbsp;<math>\displaystyle b</math>&nbsp;i&nbsp;<math>\displaystyle c</math>,&nbsp;przy czym każda
 
stopnia trzeciego trzech zmiennych <math>\displaystyle a</math>,&nbsp;<math>\displaystyle b</math>&nbsp;i&nbsp;<math>\displaystyle c</math>,&nbsp;przy czym każda
 
ze zmiennych występuje w&nbsp;co najwyżej drugiej potędze. Można także
 
ze zmiennych występuje w&nbsp;co najwyżej drugiej potędze. Można także
Linia 624: Linia 639:
 
<math>\displaystyle (a-b)</math>, <math>\displaystyle (b-c)</math> oraz <math>\displaystyle (a-c)</math>. Wynika stąd, że
 
<math>\displaystyle (a-b)</math>, <math>\displaystyle (b-c)</math> oraz <math>\displaystyle (a-c)</math>. Wynika stąd, że
  
<center><math>\displaystyle \det A = \sum_{\sigma\in S_3}\sgn \sigma
+
 
 +
{{wzor|wzor2|**|
 +
<math>\displaystyle \det A = \sum_{\sigma\in S_3}\sgn \sigma
 
a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}=k
 
a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}=k
 
(a-b)(b-c)(a-c),\tag{</math>**<math>\displaystyle }
 
(a-b)(b-c)(a-c),\tag{</math>**<math>\displaystyle }
</math></center>
+
</math>}}
 +
 
  
 
gdzie <math>\displaystyle k</math>&nbsp;jest nie ustaloną jeszcze liczbą rzeczywistą. Aby
 
gdzie <math>\displaystyle k</math>&nbsp;jest nie ustaloną jeszcze liczbą rzeczywistą. Aby
wyznaczyć <math>\displaystyle k</math>&nbsp;zauważmy, że we wzorze&nbsp;([[##sum|Uzupelnic sum|]]) składnik <math>\displaystyle bc^2</math>
+
wyznaczyć <math>\displaystyle k</math>&nbsp;zauważmy, że we wzorze&nbsp;([[#wzor1|*]]) składnik <math>\displaystyle bc^2</math>
 
pojawia się dokładnie raz i&nbsp;odpowiada identyczności, która jest
 
pojawia się dokładnie raz i&nbsp;odpowiada identyczności, która jest
 
permutacją o znaku równym <math>\displaystyle 1</math>.&nbsp;Z&nbsp;drugiej strony
 
permutacją o znaku równym <math>\displaystyle 1</math>.&nbsp;Z&nbsp;drugiej strony
w&nbsp;wyrażeniu&nbsp;([[##sum2|Uzupelnic sum2|]]) pojawia sie składnik <math>\displaystyle -kbc^2</math>. Wynika stąd,
+
w&nbsp;wyrażeniu&nbsp;([[#wzor2|**]]) pojawia sie składnik <math>\displaystyle -kbc^2</math>. Wynika stąd,
 
że <math>\displaystyle k=-1</math> oraz
 
że <math>\displaystyle k=-1</math> oraz
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det A = -(a-b)(b-c)(a-c)=(b-a)(c-a)(c-b),
 
<center><math>\displaystyle \det A = -(a-b)(b-c)(a-c)=(b-a)(c-a)(c-b),
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
co było do okazania.
 
co było do okazania.
 
</div></div>
 
</div></div>
  
{{cwiczenie|||
+
==={{kotwica|zad 7.11|Zadanie 7.11}}===
 
Podać wzór na wyznacznik  następujących macierzy:
 
Podać wzór na wyznacznik  następujących macierzy:
  
Linia 673: Linia 693:
 
d_{ij}&<nowiki>=</nowiki> i ,&{gdy }i<nowiki>=</nowiki>j,<br>
 
d_{ij}&<nowiki>=</nowiki> i ,&{gdy }i<nowiki>=</nowiki>j,<br>
 
n,&{gdy }i j.
 
n,&{gdy }i j.
 
}}
 
  
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
Linia 693: Linia 711:
 
# Dodając pierwszy wiersz macierzy <math>\displaystyle A</math>&nbsp;do wierszy o&nbsp;numerach
 
# Dodając pierwszy wiersz macierzy <math>\displaystyle A</math>&nbsp;do wierszy o&nbsp;numerach
 
<math>\displaystyle 2,3,\ldots,n</math> otrzymujemy macierz:
 
<math>\displaystyle 2,3,\ldots,n</math> otrzymujemy macierz:
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \left[
 
<center><math>\displaystyle \left[
Linia 705: Linia 724:
 
\right].
 
\right].
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Ponieważ operacja dodawania jednego wiersza do innego wiersza nie
 
Ponieważ operacja dodawania jednego wiersza do innego wiersza nie
 
zmienia wyznacznika macierzy widzimy, że
 
zmienia wyznacznika macierzy widzimy, że
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det
 
<center><math>\displaystyle \det
Linia 730: Linia 751:
 
\right].
 
\right].
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Z drugiej strony jest jasne, że
 
Z drugiej strony jest jasne, że
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det \left[
 
<center><math>\displaystyle \det \left[
Linia 744: Linia 767:
 
\right]=n!.
 
\right]=n!.
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Wykazaliśmy zatem, że
 
Wykazaliśmy zatem, że
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det A = n!.
 
<center><math>\displaystyle \det A = n!.
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
 +
 
# Rozwijając wyznacznik macierzy <math>\displaystyle B</math>&nbsp;względem pierwszego wiersza
 
# Rozwijając wyznacznik macierzy <math>\displaystyle B</math>&nbsp;względem pierwszego wiersza
 
widzimy, że
 
widzimy, że
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det B = (-1)a\det \left[
 
<center><math>\displaystyle \det B = (-1)a\det \left[
Linia 762: Linia 790:
 
\right].
 
\right].
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Rozwijając następnie wyznacznik otrzymanej wyżej macierzy względem
 
Rozwijając następnie wyznacznik otrzymanej wyżej macierzy względem
 
ostatniej kolumny otrzymujemy:
 
ostatniej kolumny otrzymujemy:
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det B = (-1)a\cdot (-1)e\det \left[
 
<center><math>\displaystyle \det B = (-1)a\cdot (-1)e\det \left[
Linia 775: Linia 805:
 
\right].
 
\right].
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Ponownie rozwijając wyznacznik otrzymanej wyżej macierzy względem
 
Ponownie rozwijając wyznacznik otrzymanej wyżej macierzy względem
 
drugiego wiersza otrzymujemy:
 
drugiego wiersza otrzymujemy:
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det B = ae\cdot(-1)c\det \left[
 
<center><math>\displaystyle \det B = ae\cdot(-1)c\det \left[
Linia 787: Linia 819:
 
\right].
 
\right].
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Ponieważ ta ostatnia macierz jest macierzą trójkątną, widzimy, że
 
Ponieważ ta ostatnia macierz jest macierzą trójkątną, widzimy, że
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det B = -acefhj.
 
<center><math>\displaystyle \det B = -acefhj.
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
 +
 
# Zauważmy, że macierz <math>\displaystyle C</math>&nbsp;wygląda tak:
 
# Zauważmy, że macierz <math>\displaystyle C</math>&nbsp;wygląda tak:
 +
  
 
<center><math>\displaystyle C=\left[
 
<center><math>\displaystyle C=\left[
Linia 805: Linia 842:
 
\right].
 
\right].
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Zamieniając miejscami wiersz <math>\displaystyle n</math>-ty z&nbsp;wierszem <math>\displaystyle n-1</math>-wszym, następnie
 
Zamieniając miejscami wiersz <math>\displaystyle n</math>-ty z&nbsp;wierszem <math>\displaystyle n-1</math>-wszym, następnie
Linia 811: Linia 849:
 
<math>\displaystyle n-1</math> operacji zamiany wiersza miejscami zatem wyznacznik naszej macierzy
 
<math>\displaystyle n-1</math> operacji zamiany wiersza miejscami zatem wyznacznik naszej macierzy
 
wynosi:
 
wynosi:
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det C =(-1)^{n-1}\det I = (-1)^{n-1}.
 
<center><math>\displaystyle \det C =(-1)^{n-1}\det I = (-1)^{n-1}.
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
 +
 
# Zauważmy, że macierz <math>\displaystyle D</math>&nbsp;wygląda schematycznie tak:
 
# Zauważmy, że macierz <math>\displaystyle D</math>&nbsp;wygląda schematycznie tak:
 +
  
 
<center><math>\displaystyle D=
 
<center><math>\displaystyle D=
Linia 828: Linia 870:
 
\right].
 
\right].
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Odejmując wiersz o&nbsp;numerze <math>\displaystyle n</math>&nbsp;od wierszy o numerach
 
Odejmując wiersz o&nbsp;numerze <math>\displaystyle n</math>&nbsp;od wierszy o numerach
 
<math>\displaystyle 1,2,\ldots,n-1</math> otrzymujemy poniższą macierz <math>\displaystyle D'</math>&nbsp;o&nbsp;wyznaczniku równym
 
<math>\displaystyle 1,2,\ldots,n-1</math> otrzymujemy poniższą macierz <math>\displaystyle D'</math>&nbsp;o&nbsp;wyznaczniku równym
 
wyznacznikowi macierzy&nbsp;<math>\displaystyle D</math>.
 
wyznacznikowi macierzy&nbsp;<math>\displaystyle D</math>.
 +
  
 
<center><math>\displaystyle D'=
 
<center><math>\displaystyle D'=
Linia 845: Linia 889:
 
\right].
 
\right].
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Oczywiście mamy
 
Oczywiście mamy
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det D=\det D'=n\cdot(-1)\cdot (-2)\cdot \ldots (2-n)\cdot (1-n)=(-1)^{n-1}n!.\qedhere
 
<center><math>\displaystyle \det D=\det D'=n\cdot(-1)\cdot (-2)\cdot \ldots (2-n)\cdot (1-n)=(-1)^{n-1}n!.\qedhere
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
</div></div>
 
</div></div>
  
{{cwiczenie|||
+
==={{kotwica|zad 7.12|Zadanie 7.12}}===
 
Niech <math>\displaystyle A</math> będzie rzeczywistą macierzą kwadratową
 
Niech <math>\displaystyle A</math> będzie rzeczywistą macierzą kwadratową
 
wymiaru&nbsp;<math>\displaystyle n</math>.
 
wymiaru&nbsp;<math>\displaystyle n</math>.
Linia 863: Linia 910:
 
# Czy powyższa implikacja pozostaje prawdziwa jeżeli założmy, że
 
# Czy powyższa implikacja pozostaje prawdziwa jeżeli założmy, że
 
<math>\displaystyle A</math>&nbsp;jest macierzą zespoloną?
 
<math>\displaystyle A</math>&nbsp;jest macierzą zespoloną?
 
}}
 
  
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Skorzystać z&nbsp;podstawowych własności wyznacznika.
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Skorzystać z&nbsp;podstawowych własności wyznacznika.
Linia 873: Linia 918:
 
czyli <math>\displaystyle A^*=-A</math> oraz <math>\displaystyle n</math>&nbsp;jest liczbą nieparzystą. Z&nbsp;równości <math>\displaystyle A^*=-A</math>
 
czyli <math>\displaystyle A^*=-A</math> oraz <math>\displaystyle n</math>&nbsp;jest liczbą nieparzystą. Z&nbsp;równości <math>\displaystyle A^*=-A</math>
 
wynika, że
 
wynika, że
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det( A^*)=\det (-A).
 
<center><math>\displaystyle \det( A^*)=\det (-A).
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Ponieważ <math>\displaystyle n</math>&nbsp;jest liczbą nieparzystą widzimy, że
 
Ponieważ <math>\displaystyle n</math>&nbsp;jest liczbą nieparzystą widzimy, że
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det (-A)=(-1)^n\det A =-\det A.
 
<center><math>\displaystyle \det (-A)=(-1)^n\det A =-\det A.
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Z&nbsp;drugiej strony
 
Z&nbsp;drugiej strony
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det (A^*)=\det A.
 
<center><math>\displaystyle \det (A^*)=\det A.
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Otrzymaliśmy, że
 
Otrzymaliśmy, że
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det A= -\det A,
 
<center><math>\displaystyle \det A= -\det A,
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
co jest możliwe tylko, gdy <math>\displaystyle \det A=0</math>, co było do okazania.
 
co jest możliwe tylko, gdy <math>\displaystyle \det A=0</math>, co było do okazania.
Linia 896: Linia 949:
 
kwadratowej <math>\displaystyle A</math>&nbsp;takiej, że <math>\displaystyle \det A\neq 0</math> jest, jak łatwo sprawdzić,
 
kwadratowej <math>\displaystyle A</math>&nbsp;takiej, że <math>\displaystyle \det A\neq 0</math> jest, jak łatwo sprawdzić,
 
macierz
 
macierz
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \left[
 
<center><math>\displaystyle \left[
Linia 904: Linia 958:
 
\right].
 
\right].
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
 +
 
# Jeżeli <math>\displaystyle A^2+I=0</math>, to
 
# Jeżeli <math>\displaystyle A^2+I=0</math>, to
 +
  
 
<center><math>\displaystyle A^2=-I.
 
<center><math>\displaystyle A^2=-I.
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Wówczas
 
Wówczas
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det A^2 = \det (-I),
 
<center><math>\displaystyle \det A^2 = \det (-I),
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
czyli
 
czyli
 +
  
 
<center><math>\displaystyle (\det A)^2=(-1)^n.
 
<center><math>\displaystyle (\det A)^2=(-1)^n.
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Ponieważ <math>\displaystyle (\det A)^2</math> jest dla dowolnej rzeczywistej macierzy
 
Ponieważ <math>\displaystyle (\det A)^2</math> jest dla dowolnej rzeczywistej macierzy
Linia 924: Linia 986:
 
# Twierdzenie z&nbsp;porzedniego podpunktu przestaje być prawdziwe
 
# Twierdzenie z&nbsp;porzedniego podpunktu przestaje być prawdziwe
 
jeżeli będziemy rozpatrywali macierze o&nbsp;wyrazach zespolonych. Niech
 
jeżeli będziemy rozpatrywali macierze o&nbsp;wyrazach zespolonych. Niech
 +
  
 
<center><math>\displaystyle A=\left[
 
<center><math>\displaystyle A=\left[
Linia 933: Linia 996:
 
\right].
 
\right].
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Wówczas <math>\displaystyle A</math>&nbsp;jest macierzą wymiaru nieparzystego oraz
 
Wówczas <math>\displaystyle A</math>&nbsp;jest macierzą wymiaru nieparzystego oraz
 +
  
 
<center><math>\displaystyle A^2=\left[
 
<center><math>\displaystyle A^2=\left[
Linia 950: Linia 1015:
 
\right]=-I.
 
\right]=-I.
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Podana wyżej macierz <math>\displaystyle A</math>&nbsp;stanowi kontrprzykład dla twierdzenia
 
Podana wyżej macierz <math>\displaystyle A</math>&nbsp;stanowi kontrprzykład dla twierdzenia
Linia 956: Linia 1022:
 
</div></div>
 
</div></div>
  
{{cwiczenie|||
+
==={{kotwica|zad 7.13|Zadanie 7.13}}===
 
Uzasadnić, że wyznacznik następującej macierzy
 
Uzasadnić, że wyznacznik następującej macierzy
 +
  
 
<center><math>\displaystyle A=\left[
 
<center><math>\displaystyle A=\left[
Linia 969: Linia 1036:
 
\right], \text{ gdzie }x_1\ldots x_{15}\in\mathbb{R}.
 
\right], \text{ gdzie }x_1\ldots x_{15}\in\mathbb{R}.
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
jest równy <math>\displaystyle 0</math>.
 
jest równy <math>\displaystyle 0</math>.
}}
 
  
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Wykazać, że kolumny tej macierzy nie mogą być liniowo
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Wykazać, że kolumny tej macierzy nie mogą być liniowo
Linia 981: Linia 1048:
 
przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^5</math>, a&nbsp;zatem nie mogą być liniowo niezależne i&nbsp;rząd
 
przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^5</math>, a&nbsp;zatem nie mogą być liniowo niezależne i&nbsp;rząd
 
macierzy <math>\displaystyle A</math>&nbsp;musi być mniejszy od <math>\displaystyle 5</math>.&nbsp;Oznacza to, że
 
macierzy <math>\displaystyle A</math>&nbsp;musi być mniejszy od <math>\displaystyle 5</math>.&nbsp;Oznacza to, że
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det A=0,
 
<center><math>\displaystyle \det A=0,
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
co było do okazania.
 
co było do okazania.
 
</div></div>
 
</div></div>

Wersja z 14:12, 25 sie 2006

Zadanie 7.1

Niech będzie dane wzorem



Zbadać, czy

i) jest odwzorowaniem dwuliniowym,
ii) jest odwzorowaniem symetrycznym,
iii) jest odwzorowaniem antysymetrycznym.
Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.2

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech , . Definiujemy



Zbadać, czy

  1. jest formą dwuliniową,
  2. jest odwzorowaniem antysymetrycznym.
Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.3

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech będzie endomorfizmem. Wykazać, że odwzorowanie



jest dwuliniowe.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.4

Niech  będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech



będzie odwzorowaniem dwuliniowym. Wykazać, że istnieje taki endomorfizm , że dla wszystkich i wszystkich zachodzi równość:



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.5

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech . Ustalmy wektory . Wykazać, że dla dowolnych , i dla dowolnego skalara zachodzi równość:



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.6

Niech



Wykazać, że .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.7

Niech



Wykazać, że



Dowód Komentarz

Oto sposób obliczania tego wyznacznika: do macierzy dopisujemy pierwszą i drugą kolumnę



a następnie sumujemy iloczyny wyrazów stojących wzdłuż przekątnej głównej (łączącej i ) macierzy oraz iloczyny wyrazów stojących wzdłuż linii do niej równoległych i odejmujemy iloczyny wyrazów stojących wzdłuż przekątnej łączącej i oraz wzdłuż linii równoległych do niej.

End of proof.gif


Wskazówka
Rozwiązanie

ANIMACJA

Zadanie 7.8

Obliczyć wyznaczniki macierzy oraz , gdy

A &= [ {rrr} -1 & 3 & 2
3 & 0 & 1
2 & 3 & 0

],& B &= [ {rrr} 1 & 0 & 2
2 & 3 & 1
3 &3 &-3

].


Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.9

Obliczyć wyznacznik macierzy



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.10

Wykazać, że



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.11

Podać wzór na wyznacznik następujących macierzy:

A&=[ {rrrrr} 1 & 2 & 3 & ... & n
-1 & 0 & 3 & ... & n
-1 & -2 & 0 & ... & n
& & & &
-1 & -2 & -3 & ... & 0

], & B&=[ {cccccc} 0 & a & 0 & 0 & 0 & 0
f & 0 & b & 0 & 0 & 0
0 & g & 0 & c & 0 & 0
0 & 0 & h & 0 & d & 0
0 & 0 & 0 & i & 0 & e
0 & 0 & 0 & 0 & j & 0

]

oraz

C&=[c_{ij}]_{n n},& { gdzie } c_{ij}&= 1,&{gdy }i+j=n+1
0,&{gdy }i+j n+1 ,
D&=[d_{ij}]_{n n},& { gdzie } d_{ij}&= i ,&{gdy }i=j,
n,&{gdy }i j.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.12

Niech będzie rzeczywistą macierzą kwadratową wymiaru .

  1. Udowodnić, że jeżeli  jest macierzą skośnie symetryczną,

czyli oraz  jest liczbą nieparzystą, to .

  1. Podać przykład rzeczywistej skośnie symetrycznej macierzy

kwadratowej takiej, że .

  1. Jeżeli , to jest liczbą parzystą.
  2. Czy powyższa implikacja pozostaje prawdziwa jeżeli założmy, że

 jest macierzą zespoloną?

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.13

Uzasadnić, że wyznacznik następującej macierzy



jest równy .

Wskazówka
Rozwiązanie