Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 7: Wyznacznik: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
 
 
(Nie pokazano 53 wersji utworzonych przez 4 użytkowników)
Linia 12: Linia 12:
 
; iii) <math>\displaystyle f</math> jest odwzorowaniem antysymetrycznym.
 
; iii) <math>\displaystyle f</math> jest odwzorowaniem antysymetrycznym.
  
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Badając, czy odwzorowanie jest dwuliniowe odwołać się do definicji
+
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Badając, czy odwzorowanie jest dwuliniowe, odwołać się do definicji i&nbsp;skorzystać ze znanych własności odwzorowań liniowych. W&nbsp;drugiej części zadania pamiętajmy, że
i&nbsp;skorzystać ze znanych własności odwzorowań liniowych. W&nbsp;drugiej
+
; i) forma dwuliniowa jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy
części zadania pamiętajmy, że
 
# forma dwuliniowa jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy
 
 
 
  
 
<center><math>\displaystyle f(\mathbf{x},\mathbf{y}) = f(\mathbf{y},\mathbf{x})
 
<center><math>\displaystyle f(\mathbf{x},\mathbf{y}) = f(\mathbf{y},\mathbf{x})
Linia 24: Linia 21:
 
dla dowolnych wektorów <math>\displaystyle \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3),
 
dla dowolnych wektorów <math>\displaystyle \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3),
 
\mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3</math>,
 
\mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3</math>,
# forma dwuliniowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy
+
; ii) forma dwuliniowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy
 
 
  
 
<center><math>\displaystyle f(\mathbf{x},\mathbf{y}) = -f(\mathbf{y},\mathbf{x})
 
<center><math>\displaystyle f(\mathbf{x},\mathbf{y}) = -f(\mathbf{y},\mathbf{x})
Linia 34: Linia 30:
 
\mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3</math>.
 
\mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3</math>.
  
Dlatego należy spróbować wyrazić <math>\displaystyle f(\mathbf{y},\mathbf{x})</math> przy
+
Dlatego należy spróbować wyrazić <math>\displaystyle f(\mathbf{y},\mathbf{x})</math> przy pomocy <math>\displaystyle f(\mathbf{x},\mathbf{y})</math> dla dowolnych wektorów <math>\displaystyle \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3), \mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3</math>.
pomocy <math>\displaystyle f(\mathbf{x},\mathbf{y})</math> dla dowolnych wektorów
 
<math>\displaystyle \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3), \mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3</math>
 
 
</div></div>
 
</div></div>
  
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Jeżeli ustalimy wektor
+
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Jeżeli ustalimy wektor <math>\displaystyle \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3</math>, to odwzorowanie <math>\displaystyle f_\mathbf{x}\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3</math> dane wzorem
<math>\displaystyle \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3</math>, to odwzorowanie
 
<math>\displaystyle f_\mathbf{x}\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3</math> dane wzorem
 
  
  
Linia 49: Linia 41:
  
 
jest na mocy zadań&nbsp;[[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 4: Odwzorowania liniowe#zad_4.1|4.1]] oraz&nbsp;[[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 4: Odwzorowania liniowe#zad_4.3|4.3]] liniowe.
 
jest na mocy zadań&nbsp;[[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 4: Odwzorowania liniowe#zad_4.1|4.1]] oraz&nbsp;[[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 4: Odwzorowania liniowe#zad_4.3|4.3]] liniowe.
Analogicznie jeżeli ustalimy wektor
+
Analogicznie, jeżeli ustalimy wektor
 
<math>\displaystyle \mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3</math>, to odwzorowanie
 
<math>\displaystyle \mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3</math>, to odwzorowanie
 
<math>\displaystyle f_\mathbf{y}\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3</math> dane wzorem
 
<math>\displaystyle f_\mathbf{y}\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3</math> dane wzorem
Linia 63: Linia 55:
 
\mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3</math> zachodzi
 
\mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3</math> zachodzi
  
f({y},{x})&<nowiki>=</nowiki>3y_1x_2 - 3y_2x_1  - y_3x_1 + y_1x_3<br>
+
 
&<nowiki>=</nowiki>-(-3y_1x_2 + 3y_2x_1  + y_3x_1 - y_1x_3)<br>
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} f(\mathbf{y},\mathbf{x})&=3y_1x_2 - 3y_2x_1  - y_3x_1 + y_1x_3\\
&<nowiki>=</nowiki>-(3y_2x_1-3y_1x_2 - y_1x_3  + y_3x_1)<br>
+
                        &=-(-3y_1x_2 + 3y_2x_1  + y_3x_1 - y_1x_3)\\
&<nowiki>=</nowiki>-(3x_1y_2-3x_2y_1 - x_3y_1  + x_1y_3)<br>
+
                        &=-(3y_2x_1-3y_1x_2 - y_1x_3  + y_3x_1)\\
&<nowiki>=</nowiki>-f({x},{y}).
+
                        &=-(3x_1y_2-3x_2y_1 - x_3y_1  + x_1y_3)\\
 +
                        &=-f(\mathbf{x},\mathbf{y}).
 +
\end{align}</math></center>
 +
 
  
 
Oznacza to, że rozważana forma jest antysymetryczna. Ponieważ jedyną
 
Oznacza to, że rozważana forma jest antysymetryczna. Ponieważ jedyną
 
formą dwuliniową, która jest równocześnie symetryczna
 
formą dwuliniową, która jest równocześnie symetryczna
i&nbsp;antysymetryczna jest forma zerowa, nasza forma <math>\displaystyle f</math>&nbsp;nie jest formą
+
i&nbsp;antysymetryczna, jest forma zerowa, nasza forma <math>\displaystyle f</math>&nbsp;nie jest formą
 
symetryczną.
 
symetryczną.
 
</div></div>
 
</div></div>
Linia 85: Linia 80:
  
 
Zbadać, czy
 
Zbadać, czy
# <math>\displaystyle h</math> jest formą dwuliniową,
+
; i) <math>\displaystyle h</math> jest formą dwuliniową,
# <math>\displaystyle h</math> jest odwzorowaniem antysymetrycznym.
+
; ii) <math>\displaystyle h</math> jest odwzorowaniem antysymetrycznym.
  
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Wystarczy skorzystać, z&nbsp;definicji podanych na wykładzie
+
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Wystarczy skorzystać z&nbsp;definicji podanych na wykładzie i&nbsp;z&nbsp;tego, że <math>\displaystyle V^*</math> jest przestrzenią wektorową.
i&nbsp;z&nbsp;tego, że <math>\displaystyle V^*</math> jest przestrzenią wektorową.
 
 
</div></div>
 
</div></div>
  
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Zbadamy, czy <math>\displaystyle h</math> jest formą dwuliniową. Zauważmy, że jeżeli ustalimy
+
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Zbadamy, czy <math>\displaystyle h</math> jest formą dwuliniową. Zauważmy, że jeżeli ustalimy wektor <math>\displaystyle v\in V</math>, to odwzorowanie <math>\displaystyle h_\mathbf{v}\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3</math> dane wzorem
wektor <math>\displaystyle v\in V</math>, to odwzorowanie <math>\displaystyle h_\mathbf{v}\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3</math>
 
dane wzorem
 
  
  
Linia 109: Linia 101:
 
Zauważmy, że dla dowolnych wektorów <math>\displaystyle v,w\in V</math> zachodzi
 
Zauważmy, że dla dowolnych wektorów <math>\displaystyle v,w\in V</math> zachodzi
  
h(w,v) &<nowiki>=</nowiki> f(w) g(v) - f(v) g(w)<br>
+
 
&<nowiki>=</nowiki>-( f(v) g(w) - f(w) g(v))<br>
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} h(w,v) &= f(w) g(v) - f(v) g(w)\\
&<nowiki>=</nowiki>-h(v,w).
+
      &=-( f(v) g(w) - f(w) g(v))\\
 +
      &=-h(v,w).
 +
\end{align}</math></center>
 +
 
  
 
Oznacza to, że rozważana forma jest antysymetryczna.
 
Oznacza to, że rozważana forma jest antysymetryczna.
Linia 128: Linia 123:
 
jest dwuliniowe.
 
jest dwuliniowe.
  
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Badając, czy odwzorowanie jest dwuliniowe odwołać się do definicji
+
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Badając, czy odwzorowanie jest dwuliniowe, odwołać się do definicji i&nbsp;skorzystać ze znanych własności odwzorowań liniowych.
i&nbsp;skorzystać ze znanych własności odwzorowań liniowych.
 
 
</div></div>
 
</div></div>
  
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Ustalmy wektor <math>\displaystyle v\in V</math>. Wykażemy liniowość odwzorowania
+
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Ustalmy wektor <math>\displaystyle v\in V</math>. Wykażemy liniowość odwzorowania <math>\displaystyle G</math>&nbsp;ze względu na pierwszą zmienną. Niech <math>\displaystyle \alpha,\beta,\gamma,\delta</math> będą dowolnymi elementami ciała <math>\displaystyle \mathbb{K}</math>. Wówczas
<math>\displaystyle G</math>&nbsp;ze względu na pierwszą zmienną. Niech
+
 
<math>\displaystyle \alpha,\beta,\gamma,\delta</math> będą dowolnymi elementami ciała <math>\displaystyle \mathbb{K}</math>.
+
 
Wówczas
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} G((\alpha\beta+\gamma\delta),v) &=g((\alpha\beta+\gamma\delta)v)\\
 +
                                &=(\alpha\beta+\gamma\delta)g(v)\\
 +
                                &=(\alpha\beta)g(v)+(\gamma\delta)g(v)\\
 +
                                &=\alpha(\beta g(v))+\gamma(\delta g(v))\\
 +
                                &=\alpha g(\beta v)+\gamma g(\delta v)\\
 +
                                &=\alpha G(\beta,v)+\gamma
 +
                                G(\delta,v),
 +
\end{align}</math></center>
  
G((+),v) &<nowiki>=</nowiki>g((+)v)<br>
 
&<nowiki>=</nowiki>(+)g(v)<br>
 
&<nowiki>=</nowiki>()g(v)+()g(v)<br>
 
&<nowiki>=</nowiki>( g(v))+( g(v))<br>
 
&<nowiki>=</nowiki> g( v)+ g( v)<br>
 
&<nowiki>=</nowiki> G(,v)+
 
G(,v),
 
  
 
co oznacza, że odwzorowanie <math>\displaystyle G</math>&nbsp;jest liniowe ze względu na pierwszą
 
co oznacza, że odwzorowanie <math>\displaystyle G</math>&nbsp;jest liniowe ze względu na pierwszą
 
zmienną. Badając liniowość odwzorowania <math>\displaystyle G</math>&nbsp;ze względu na drugą
 
zmienną. Badając liniowość odwzorowania <math>\displaystyle G</math>&nbsp;ze względu na drugą
zmienną zauważmy, że przy ustalonym skalarze <math>\displaystyle \alpha \in\mathbb{K}</math> dla
+
zmienną, zauważmy, że przy ustalonym skalarze <math>\displaystyle \alpha \in\mathbb{K}</math> dla
 
każdego wektora <math>\displaystyle v\in V</math> zachodzi równość
 
każdego wektora <math>\displaystyle v\in V</math> zachodzi równość
  
Linia 155: Linia 149:
  
  
Oznacza to, że zachodzi następujące odwzorowania są sobie równe
+
Oznacza to, że następujące odwzorowania są sobie równe
  
  
Linia 214: Linia 208:
 
<math>\displaystyle \alpha\in\mathbb{K}</math> oraz wektor <math>\displaystyle v\in V</math>. Wówczas
 
<math>\displaystyle \alpha\in\mathbb{K}</math> oraz wektor <math>\displaystyle v\in V</math>. Wówczas
  
g( v)&<nowiki>=</nowiki>G(1, v)<br>
+
 
&<nowiki>=</nowiki> G(1, v)<br>
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} g(\alpha v)&=G(1,\alpha v)\\
&<nowiki>=</nowiki>G( 1, v)<br>
+
          &=\alpha G(1, v)\\
&<nowiki>=</nowiki>G(, v),
+
          &=G(\alpha\cdot 1, v)\\
 +
          &=G(\alpha, v),
 +
\end{align}</math></center>
 +
 
  
 
co było do okazania.
 
co było do okazania.
Linia 235: Linia 232:
  
  
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Skorzystać z&nbsp;liniowości odwzorowania <math>\displaystyle \varphi</math>&nbsp;ze względu na
+
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Skorzystać z&nbsp;liniowości odwzorowania <math>\displaystyle \varphi</math>&nbsp;ze względu na <math>\displaystyle j</math>-tą zmienną oraz z&nbsp;faktu, że odwzorowania <math>\displaystyle n</math>-liniowe jest antysymetryczne wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy znika na każdym układzie wektorów liniowo zależnych.
<math>\displaystyle j</math>-tą zmienną oraz z&nbsp;faktu, że odwzorowania <math>\displaystyle n</math>-liniowe jest
 
antysymetryczne wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy znika na każdym układzie
 
wektorów liniowo zależnych.
 
 
</div></div>
 
</div></div>
  
Linia 253: Linia 247:
  
  
Zauważmy, że w&nbsp;ciąg wektorów
+
Zauważmy, że ciąg wektorów
  
  
Linia 295: Linia 289:
  
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Zadanie można rozwiązać na  co najmniej dwa sposoby:
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Zadanie można rozwiązać na  co najmniej dwa sposoby:
# Zauważyć, że odwzorowanie <math>\displaystyle \omega\colon M(n,n;\mathbb{R})\to\mathbb{R}</math>
+
; 1. Zauważyć, że odwzorowanie <math>\displaystyle \omega\colon M(n,n;\mathbb{R})\to\mathbb{R}</math> dane wzorem
dane wzorem
 
  
  
Linia 316: Linia 309:
 
0& 1
 
0& 1
 
\end{array}  
 
\end{array}  
\right]\right)=1
+
\right]\right)=1,
 
</math></center>
 
</math></center>
  
  
 
a następnie skorzystać z&nbsp;odpowiedniego twierdzenia z&nbsp;wykładu.
 
a następnie skorzystać z&nbsp;odpowiedniego twierdzenia z&nbsp;wykładu.
# Skorzystać z&nbsp;faktu, że wyznacznik macierzy <math>\displaystyle A=[a_{ij}]_{2\times 2}</math>
+
;2. Skorzystać z&nbsp;faktu, że wyznacznik macierzy <math>\displaystyle A=[a_{ij}]_{2\times 2}</math> jest równy:
jest równy:
 
  
  
<center><math>\displaystyle \sum_{\sigma\in S_2}\sgn \sigma
+
<center><math>\displaystyle \sum_{\sigma\in S_2} sgn \sigma
a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}.\qedhere
+
a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 353: Linia 345:
 
gdzie <math>\displaystyle \sigma_0,\sigma_1</math> są odwzorowaniami danymi wzorami:
 
gdzie <math>\displaystyle \sigma_0,\sigma_1</math> są odwzorowaniami danymi wzorami:
  
_0(1)<nowiki>=</nowiki>&1,&_0(2)&<nowiki>=</nowiki>2<br>
+
 
_1(1)<nowiki>=</nowiki>&2,&_1(2)&<nowiki>=</nowiki>1.
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} \sigma_0(1)=&1,\qquad \sigma_0(2)&=2\\
 +
\sigma_1(1)=&2,\qquad \sigma_1(2)&=1.
 +
\end{align}</math></center>
 +
 
  
 
Oczywiście mamy też
 
Oczywiście mamy też
  
_0<nowiki>=</nowiki>&1,& _1&<nowiki>=</nowiki>-1.
+
 
 +
<center><math>\displaystyle \begin{align} sgn \sigma_0=&1,\qquad sgn \sigma_1&=-1.
 +
\end{align}</math></center>
 +
 
  
 
Wiemy, że wyznacznik macierzy <math>\displaystyle A=[a_{ij}]_{2\times 2}</math> jest równy:
 
Wiemy, że wyznacznik macierzy <math>\displaystyle A=[a_{ij}]_{2\times 2}</math> jest równy:
  
  
<center><math>\displaystyle \sum_{\sigma\in S_2}\sgn \sigma a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}.
+
<center><math>\displaystyle \sum_{\sigma\in S_2} sgn \sigma a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
  
Uwzględniając powyższe informacje widzimy, że
+
Uwzględniając powyższe, informacje widzimy, że
 +
 
 +
 
 +
<center><math>\displaystyle \begin{align} \det A&= sgn \sigma_0 a_{\sigma_0(1)1}a_{\sigma_0(2)2}+\sgn \sigma_1
 +
a_{\sigma_1(1)1}a_{\sigma_1(2)2}\\
 +
&=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\\
 +
&=ad-cb,
 +
\end{align}</math></center>
  
A&<nowiki>=</nowiki> _0 a_{_0(1)1}a_{_0(2)2}+ _1
 
a_{_1(1)1}a_{_1(2)2}<br>
 
&<nowiki>=</nowiki>a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}<br>
 
&<nowiki>=</nowiki>ad-cb,
 
  
 
co było do okazania.
 
co było do okazania.
Linia 396: Linia 397:
 
</math></center>
 
</math></center>
  
 +
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Komentarz </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
  
{{dowod|
+
Oto sposób obliczania tego wyznacznika: do macierzy <math>\displaystyle A</math> dopisujemy pierwszą i drugą kolumnę
''Komentarz''||
 
Oto sposób obliczania tego wyznacznika: do macierzy <math>\displaystyle A</math> dopisujemy
 
pierwszą i drugą kolumnę
 
  
  
Linia 410: Linia 409:
 
a_{11} & a_{12}  \\
 
a_{11} & a_{12}  \\
 
a_{21} & a_{22}  \\
 
a_{21} & a_{22}  \\
a_{31} & a_{32} \end{array}  \right.</math></center>
+
a_{31} & a_{32} \end{array}  \right.,</math></center>
  
  
Linia 418: Linia 417:
 
iloczyny wyrazów stojących wzdłuż przekątnej łączącej <math>\displaystyle a_{13} </math> i
 
iloczyny wyrazów stojących wzdłuż przekątnej łączącej <math>\displaystyle a_{13} </math> i
 
<math>\displaystyle a_{31}</math>  oraz wzdłuż linii  równoległych do niej.
 
<math>\displaystyle a_{31}</math>  oraz wzdłuż linii  równoległych do niej.
}}
+
</div></div>
 +
 
 +
 
  
  
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
Patrz wskazówki do zadania&nbsp;[[#zad_7.6|7.6]], dowód można także
+
Patrz wskazówki do zadania&nbsp;[[#zad_7.6|7.6]]. Dowód można także
przeprowadzić korzystając ze wzoru na wyznacznik macierzy <math>\displaystyle 2\times
+
przeprowadzić korzystając ze wzoru na wyznacznik macierzy <math>\displaystyle 2\times 2</math> podanego w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[#zad_7.6|7.6]] i&nbsp;wzoru na rozwinięcie wyznacznika macierzy względem ustalonego wiersza (kolumny) podanego
2</math> podanego w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[#zad_7.6|7.6]] i&nbsp;wzoru na rozwinięcie
+
w&nbsp;twierdzeniu z&nbsp;modułu&nbsp;7.
wyznacznika macierzy względem ustalonego wiersza (kolumny) podanego
 
w&nbsp;twierdzeniu z&nbsp;modułu&nbsp;VII.
 
 
</div></div>
 
</div></div>
  
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Wiemy, że wyznacznik macierzy
+
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Wiemy, że wyznacznik macierzy <math>\displaystyle A=[a_{ij}]_{3\times 3}</math> jest równy:
<math>\displaystyle A=[a_{ij}]_{3\times 3}</math> jest równy:
 
  
  
<center><math>\displaystyle \sum_{\sigma\in S_3}\sgn \sigma
+
{{wzor|wzor7.7|*|
a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}a_{3\sigma(3)}.\tag{</math>*<math>\displaystyle }
+
<math>\displaystyle \sum_{\sigma\in S_3} sgn \sigma
</math></center>
+
a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}a_{3\sigma(3)}.
 +
</math>}}
  
  
Z drugiej strony wszystkie permutacje należące do <math>\displaystyle S_3</math>,&nbsp;ich znaki
+
Z drugiej strony wszystkie permutacje należące do <math>\displaystyle S_3</math>,&nbsp;ich znaki oraz odpowiadające tym permutacjom składniki sumy&nbsp;[[#wzor7.7|*]] podane są w&nbsp;zamieszczonej niżej tabelce:
oraz odpowiadające tym permutacjom składniki sumy&nbsp;[[##sum3|Uzupelnic sum3|]] podane
 
są w&nbsp;zamieszczonej niżej tabelce:
 
  
  
 
<center><math>\displaystyle \begin{array} {c|c|c}
 
<center><math>\displaystyle \begin{array} {c|c|c}
 
\hline
 
\hline
\sigma & \sgn \sigma & a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}a_{3\sigma(3)} \\\hline
+
\sigma & sgn \sigma & a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}a_{3\sigma(3)} \\\hline
 
(1,2,3)&    +1      & a_{11}a_{22}a_{33}\\
 
(1,2,3)&    +1      & a_{11}a_{22}a_{33}\\
 
(1,3,2)&    -1      & a_{11}a_{23}a_{32}\\
 
(1,3,2)&    -1      & a_{11}a_{23}a_{32}\\
Linia 469: Linia 466:
 
<center><math>\displaystyle \det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +
 
<center><math>\displaystyle \det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +
 
a_{13} a_{21} a_{32} - (a_{13} a_{22} a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} +
 
a_{13} a_{21} a_{32} - (a_{13} a_{22} a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} +
a_{12}a_{21}a_{33}).\qedhere
+
a_{12}a_{21}a_{33}).
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 475: Linia 472:
 
</div></div>
 
</div></div>
  
[[ANIMACJA]]
+
==={{kotwica|zad 7.8|Zadanie 7.8}}===
 
 
==={{kotwica|zad 7.7|Zadanie 7.7}}===
 
 
Obliczyć wyznaczniki macierzy <math>\displaystyle A</math>,&nbsp;<math>\displaystyle B</math>,&nbsp;<math>\displaystyle AB</math> oraz <math>\displaystyle A^{-1}</math>,&nbsp;gdy
 
Obliczyć wyznaczniki macierzy <math>\displaystyle A</math>,&nbsp;<math>\displaystyle B</math>,&nbsp;<math>\displaystyle AB</math> oraz <math>\displaystyle A^{-1}</math>,&nbsp;gdy
  
A &<nowiki>=</nowiki>
 
[
 
{rrr}
 
-1 & 3 & 2 <br>
 
3 & 0 & 1 <br>
 
2 & 3 & 0
 
  
],& B &<nowiki>=</nowiki>
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} A &=
[
+
\left[
{rrr}
+
\begin{array} {rrr}
1 & 0 & 2 <br>
+
    -1 & 3 & 2 \\
2 & 3 & 1 <br>
+
    3 & 0 & 1 \\
3 &3 &-3
+
    2 & 3 & 0
 +
\end{array}
 +
\right],& B &=
 +
\left[
 +
\begin{array} {rrr}
 +
    1 & 0 & 2 \\
 +
    2 & 3 & 1 \\
 +
    3 &3 &-3
 +
\end{array}
 +
\right].
 +
\end{align}</math></center>
  
].
 
  
}}
+
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Skorzystać ze wzoru podanego w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[#zad_7.7|7.7]]. Obliczając wyznaczniki macierzy <math>\displaystyle AB</math> oraz <math>\displaystyle A^{-1}</math>&nbsp;skorzystać
 
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Skorzystać ze wzoru podanego w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[##zad_7_7|Uzupelnic zad_7_7|]].
 
Obliczając wyznaczniki macierzy <math>\displaystyle AB</math> oraz <math>\displaystyle A^{-1}</math>&nbsp;skorzystać
 
 
z&nbsp;odpowiednich własności funkcji <math>\displaystyle \det</math>.
 
z&nbsp;odpowiednich własności funkcji <math>\displaystyle \det</math>.
 
</div></div>
 
</div></div>
  
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Korzystając ze wzoru podanego w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[##zad_7_7|Uzupelnic zad_7_7|]]
+
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Korzystając ze wzoru podanego w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[#zad_7.7|7.7]], otrzymujemy:
otrzymujemy:
 
  
A &<nowiki>=</nowiki> [
 
{rrr}
 
-1 & 3 & 2 <br>
 
3 & 0 & 1 <br>
 
2 & 3 & 0
 
  
]<nowiki>=</nowiki>27,B &<nowiki>=</nowiki> [
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} \det A &= \det\left[
{rrr}
+
\begin{array} {rrr}
1 & 0 & 2 <br>
+
    -1 & 3 & 2 \\
2 & 3 & 1 <br>
+
    3 & 0 & 1 \\
3 &3 &-3
+
    2 & 3 & 0
 +
\end{array}
 +
\right]=27,\qquad \det B &=\det \left[
 +
\begin{array} {rrr}
 +
    1 & 0 & 2 \\
 +
    2 & 3 & 1 \\
 +
    3 &3 &-3
 +
\end{array}
 +
\right]=-18.
 +
\end{align}</math></center>
 +
 
  
]<nowiki>=</nowiki>-18.
+
Aby obliczyć <math>\displaystyle \det AB</math>, wystarczy skorzystać z&nbsp;odpowiedniego wzoru,
 +
by otrzymać, że
  
Aby obliczyć <math>\displaystyle \det AB</math> wystarczy skorzystać z&nbsp;odpowiedniego wzoru,
 
aby otrzymać, że
 
  
 
<center><math>\displaystyle \det AB =\det A\det B = 27\cdot(-18)=-486.
 
<center><math>\displaystyle \det AB =\det A\det B = 27\cdot(-18)=-486.
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Podobnie
 
Podobnie
  
<center><math>\displaystyle \det A^{-1}=\frac{1}{\det A}=\frac{1}{27}.\qedhere
+
 
 +
<center><math>\displaystyle \det A^{-1}=\frac{1}{\det A}=\frac{1}{27}.
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
</div></div>
 
</div></div>
  
{{cwiczenie|||
+
==={{kotwica|zad 7.9|Zadanie 7.9}}===
 
Obliczyć wyznacznik macierzy
 
Obliczyć wyznacznik macierzy
 +
  
 
<center><math>\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rrrr}
 
<center><math>\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rrrr}
Linia 544: Linia 546:
 
</math></center>
 
</math></center>
  
}}
 
  
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Aby uprościć obliczenia należy skorzystać z&nbsp;twierdzenia
+
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Aby uprościć obliczenia należy skorzystać z&nbsp;twierdzenia o&nbsp;wyznaczniku macierzy blokowej z&nbsp;wykładu&nbsp;7.
0.1.6 z&nbsp;modułu&nbsp;VII.
 
 
</div></div>
 
</div></div>
  
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Podzielmy macierz na bloki zgodnie z&nbsp;poniższą
+
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Podzielmy macierz na bloki zgodnie z poniższą ilustracją:
ilustracją:
+
 
  
 
<center><math>\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rr|rr}
 
<center><math>\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rr|rr}
 
2 & 3 &  2 &  7 \\
 
2 & 3 &  2 &  7 \\
 
-2 & 3 &  0 &  1 \\
 
-2 & 3 &  0 &  1 \\
\cline{1-4}
 
 
0 & 0 & -3 &  5 \\
 
0 & 0 & -3 &  5 \\
 
0 & 0 &  4 & -5
 
0 & 0 &  4 & -5
 
\end{array}  \right] = \left [ \begin{array} {c|c}
 
\end{array}  \right] = \left [ \begin{array} {c|c}
 
\mathbf{A_{11}} &  \mathbf{A_{12}}  \\
 
\mathbf{A_{11}} &  \mathbf{A_{12}}  \\
\cline{1-2}
 
 
\mathbf{0} &  \mathbf{A_{22}}
 
\mathbf{0} &  \mathbf{A_{22}}
 
\end{array}  \right].
 
\end{array}  \right].
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Na mocy twierdzenia 0.1.6 z&nbsp;modułu&nbsp;VII widzimy, że
+
 
 +
Na mocy twierdzenia o&nbsp;wyznaczniku macierzy blokowej widzimy, że
 +
 
  
 
<center><math>\displaystyle \det A =\det A_{11} \cdot \det A_{22}.
 
<center><math>\displaystyle \det A =\det A_{11} \cdot \det A_{22}.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Jak łatwo obliczyć (korzystając np. z&nbsp;zadania&nbsp;[[##zad_7_6|Uzupelnic zad_7_6|]])
+
 
 +
Jak łatwo obliczyć (korzystając np. z&nbsp;zadania&nbsp;[[#zad_7.6|7.6]])
 
zachodzi
 
zachodzi
  
A_{11}&<nowiki>=</nowiki>12,A_{22}&<nowiki>=</nowiki>-5,
+
 
 +
<center><math>\displaystyle \begin{align} \det A_{11}&=12,\qquad \det A_{22}&=-5,
 +
\end{align}</math></center>
 +
 
  
 
co oznacza, że
 
co oznacza, że
  
<center><math>\displaystyle \det A =\det A_{11} \cdot \det A_{22}=-60.\qedhere
+
 
 +
<center><math>\displaystyle \det A =\det A_{11} \cdot \det A_{22}=-60.
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
</div></div>
 
</div></div>
  
{{cwiczenie|||
+
==={{kotwica|zad 7.10|Zadanie 7.10}}===
 
Wykazać, że
 
Wykazać, że
 +
 +
 
<center><math>\displaystyle  \det  \left [ \begin{array} {rrr}
 
<center><math>\displaystyle  \det  \left [ \begin{array} {rrr}
 
1 & a & a^2 \\
 
1 & a & a^2 \\
Linia 590: Linia 598:
 
1 &c &c^2\end{array}  \right] = (b-a) (c-a)(c-b). </math></center>
 
1 &c &c^2\end{array}  \right] = (b-a) (c-a)(c-b). </math></center>
  
}}
 
  
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Można skorzystać ze wzoru podanego
+
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Można skorzystać ze wzoru podanego w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[#zad_7.7|7.7]]. Można także zauważyć, że jeżeli <math>\displaystyle a=b</math> lub <math>\displaystyle b=c</math> lub <math>\displaystyle a=c</math>, to nasz wyznacznik jest równy <math>\displaystyle 0</math>, a&nbsp;następnie skorzystać z&nbsp;faktu, że wyznacznik macierzy <math>\displaystyle A=[a_{ij}]_{3\times 3}</math> jest równy:
w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[##zad_7_7|Uzupelnic zad_7_7|]]. Można także zauważyć, że jeżeli <math>\displaystyle a=b</math> lub
+
 
<math>\displaystyle b=c</math> lub <math>\displaystyle a=c</math>, to nasz wyznacznik jest równy <math>\displaystyle 0</math>, a&nbsp;następnie
 
skorzystać z&nbsp;faktu, że wyznacznik macierzy <math>\displaystyle A=[a_{ij}]_{3\times 3}</math>
 
jest równy:
 
  
<center><math>\displaystyle \sum_{\sigma\in S_3}\sgn \sigma
+
<center><math>\displaystyle \sum_{\sigma\in S_3} sgn \sigma
a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}.\qedhere
+
a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}.
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
</div></div>
 
</div></div>
  
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Wykorzystując metodę podaną w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[##zad_7_7|Uzupelnic zad_7_7|]] po wykonaniu
+
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Wykorzystując metodę podaną w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[#zad_7.7|7.7]], po wykonaniu odpowiednich rachunków, uzyskamy dowód. Podamy jednak alternatywny dowód, który dzięki pewnym obserwacjom będzie przeprowadzony bez wykonania jakichkolwiek rachunków. Wiemy, że wyznacznik macierzy <math>\displaystyle A=[a_{ij}]_{3\times 3}</math> jest równy:
odpowiednich rachunków uzyskamy dowód. Podamy jednak alternatywny
+
 
dowód, który dzięki pewnym obserwacjom będzie przeprowadzony bez
+
 
wykonania jakichkolwiek rachunków. Wiemy, że wyznacznik macierzy
+
{{wzor|wzor1|*|
<math>\displaystyle A=[a_{ij}]_{3\times 3}</math> jest równy:
+
<math>\displaystyle \sum_{\sigma\in S_3} sgn \sigma
 +
a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}.
 +
</math>}}
  
<center><math>\displaystyle \sum_{\sigma\in S_3}\sgn \sigma
 
a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}.\tag{</math>*<math>\displaystyle }
 
</math></center>
 
  
 
Zauważmy, że czynniki w&nbsp;każdym z&nbsp;iloczynów postaci
 
Zauważmy, że czynniki w&nbsp;każdym z&nbsp;iloczynów postaci
 
<math>\displaystyle a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}</math> pochodzą zawsze
 
<math>\displaystyle a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}</math> pochodzą zawsze
 
z&nbsp;różnych wierszy i&nbsp;różnych kolumn macierzy <math>\displaystyle A</math>.&nbsp;Wynika stąd, że
 
z&nbsp;różnych wierszy i&nbsp;różnych kolumn macierzy <math>\displaystyle A</math>.&nbsp;Wynika stąd, że
powyższe wyrażenie&nbsp;([[##sum|Uzupelnic sum|]]) dla naszej macierzy jest wielomianem
+
powyższe wyrażenie&nbsp;([[#wzor1|*]]) dla naszej macierzy jest wielomianem
 
stopnia trzeciego trzech zmiennych <math>\displaystyle a</math>,&nbsp;<math>\displaystyle b</math>&nbsp;i&nbsp;<math>\displaystyle c</math>,&nbsp;przy czym każda
 
stopnia trzeciego trzech zmiennych <math>\displaystyle a</math>,&nbsp;<math>\displaystyle b</math>&nbsp;i&nbsp;<math>\displaystyle c</math>,&nbsp;przy czym każda
 
ze zmiennych występuje w&nbsp;co najwyżej drugiej potędze. Można także
 
ze zmiennych występuje w&nbsp;co najwyżej drugiej potędze. Można także
Linia 624: Linia 628:
 
<math>\displaystyle (a-b)</math>, <math>\displaystyle (b-c)</math> oraz <math>\displaystyle (a-c)</math>. Wynika stąd, że
 
<math>\displaystyle (a-b)</math>, <math>\displaystyle (b-c)</math> oraz <math>\displaystyle (a-c)</math>. Wynika stąd, że
  
<center><math>\displaystyle \det A = \sum_{\sigma\in S_3}\sgn \sigma
+
 
 +
{{wzor|wzor2|**|
 +
<math>\displaystyle \det A = \sum_{\sigma\in S_3} sgn \sigma
 
a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}=k
 
a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}=k
(a-b)(b-c)(a-c),\tag{</math>**<math>\displaystyle }
+
(a-b)(b-c)(a-c),
</math></center>
+
</math>}}
 +
 
  
gdzie <math>\displaystyle k</math>&nbsp;jest nie ustaloną jeszcze liczbą rzeczywistą. Aby
+
gdzie <math>\displaystyle k</math>&nbsp;jest nieustaloną jeszcze liczbą rzeczywistą. Aby
wyznaczyć <math>\displaystyle k</math>&nbsp;zauważmy, że we wzorze&nbsp;([[##sum|Uzupelnic sum|]]) składnik <math>\displaystyle bc^2</math>
+
wyznaczyć <math>\displaystyle k</math>&nbsp;zauważmy, że we wzorze&nbsp;([[#wzor1|*]]) składnik <math>\displaystyle bc^2</math>
 
pojawia się dokładnie raz i&nbsp;odpowiada identyczności, która jest
 
pojawia się dokładnie raz i&nbsp;odpowiada identyczności, która jest
 
permutacją o znaku równym <math>\displaystyle 1</math>.&nbsp;Z&nbsp;drugiej strony
 
permutacją o znaku równym <math>\displaystyle 1</math>.&nbsp;Z&nbsp;drugiej strony
w&nbsp;wyrażeniu&nbsp;([[##sum2|Uzupelnic sum2|]]) pojawia sie składnik <math>\displaystyle -kbc^2</math>. Wynika stąd,
+
w&nbsp;wyrażeniu&nbsp;([[#wzor2|**]]) pojawia się składnik <math>\displaystyle -kbc^2</math>. Wynika stąd,
 
że <math>\displaystyle k=-1</math> oraz
 
że <math>\displaystyle k=-1</math> oraz
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det A = -(a-b)(b-c)(a-c)=(b-a)(c-a)(c-b),
 
<center><math>\displaystyle \det A = -(a-b)(b-c)(a-c)=(b-a)(c-a)(c-b),
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
co było do okazania.
 
co było do okazania.
 
</div></div>
 
</div></div>
  
{{cwiczenie|||
+
==={{kotwica|zad 7.11|Zadanie 7.11}}===
 
Podać wzór na wyznacznik  następujących macierzy:
 
Podać wzór na wyznacznik  następujących macierzy:
  
A&<nowiki>=</nowiki>[
 
{rrrrr}
 
1 &  2 & 3 & ... & n<br>
 
-1 &  0 & 3 & ... & n<br>
 
-1 & -2 & 0 & ... & n<br>
 
&  &  &  & <br>
 
-1 & -2 & -3 & ... & 0
 
  
], & B&<nowiki>=</nowiki>[
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} A&=\left[
{cccccc}
+
\begin{array} {rrrrr}
0 & a & 0 & 0 & 0 & 0<br>
+
1 &  2 & 3 & \ldots & n\\
f & 0 & b & 0 & 0 & 0<br>
+
-1 &  0 & 3 & \ldots & n\\
0 & g & 0 & c & 0 & 0<br>
+
-1 & -2 & 0 & \ldots & n\\
0 & 0 & h & 0 & d & 0<br>
+
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & i & 0 & e<br>
+
-1 & -2 & -3 & \ldots & 0
0 & 0 & 0 & 0 & j & 0
+
\end{array}
 +
\right], & B&=\left[
 +
\begin{array} {cccccc}
 +
0 & a & 0 & 0 & 0 & 0\\
 +
f & 0 & b & 0 & 0 & 0\\
 +
0 & g & 0 & c & 0 & 0\\
 +
0 & 0 & h & 0 & d & 0\\
 +
0 & 0 & 0 & i & 0 & e\\
 +
0 & 0 & 0 & 0 & j & 0
 +
\end{array}
 +
\right]
 +
\end{align}</math></center>
  
]
 
  
 
oraz
 
oraz
  
C&<nowiki>=</nowiki>[c_{ij}]_{n n},& { gdzie }
 
c_{ij}&<nowiki>=</nowiki>  1,&{gdy }i+j<nowiki>=</nowiki>n+1<br>
 
0,&{gdy }i+j n+1
 
,<br>
 
D&<nowiki>=</nowiki>[d_{ij}]_{n n},& { gdzie }
 
d_{ij}&<nowiki>=</nowiki> i ,&{gdy }i<nowiki>=</nowiki>j,<br>
 
n,&{gdy }i j.
 
  
}}
+
<center><math>\displaystyle C =[c_{ij}]_{n\times n},\qquad \text{ gdzie }c_{ij} = \begin{cases} 1,&\text{gdy }i+j=n+1\\
 +
0,&\text{gdy }i+j\neq n+1
 +
\end{cases},</math></center>
 +
 
 +
 
 +
<center><math>
 +
D=[d_{ij}]_{n\times n},\qquad \text{ gdzie }
 +
d_{ij}=\begin{cases} i, & \text{gdy }i=j,\\
 +
n, & \text{gdy }i\neq j.\end{cases} </math></center>
 +
 
  
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
# Dodając wybrany wiersz do pozostałych wierszy macierzy
+
; a) Dodając wybrany wiersz do pozostałych wierszy macierzy sprowadzić ją do postaci trójkątnej tzn. wyzerować wszystkie wyrazy macierzy leżące pod główną przekątną, a&nbsp;następnie skorzystać z&nbsp;faktu, że dla takiej macierzy trójkątnej wyznacznik jest równy iloczynowi wyrazów stojących na głównej przekątnej.
sprowadzić ją do postaci trójkątnej tzn. wyzerować wszystkie wyrazy
+
; b) Użyć twierdzenia Laplace'a.
macierzy leżące pod główną przekątną, a&nbsp;następnie skorzystać
+
; c) Odpowiednio zamieniać wiersze miejscami, aby przekształcić macierz <math>\displaystyle C</math>&nbsp;do macierzy jednostkowej. Każda taka operacja zmienia znak macierzy na przeciwny.
z&nbsp;faktu, że dla takiej macierzy trójkątnej wyznacznik jest równy
+
; d) Patrz wskazówka do podpunktu&nbsp;<math>\displaystyle (a)</math>.
iloczynowi wyrazów stojących na głównej przekątnej.
 
# Użyć twierdzenia Laplace'a.
 
# Odpowiednio zamieniać wiersze miejscami, aby przekształcić macierz
 
<math>\displaystyle C</math>&nbsp;do macierzy jednostkowej. Każda taka operacja zmienia znak
 
macierzy na przeciwny.
 
# Patrz wskazówka do podpunktu&nbsp;<math>\displaystyle (a)</math>.
 
  
 
</div></div>
 
</div></div>
  
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
# Dodając pierwszy wiersz macierzy <math>\displaystyle A</math>&nbsp;do wierszy o&nbsp;numerach
+
; a) Dodając pierwszy wiersz macierzy <math>\displaystyle A</math>&nbsp;do wierszy o&nbsp;numerach <math>\displaystyle 2,3,\ldots,n</math> otrzymujemy macierz:
<math>\displaystyle 2,3,\ldots,n</math> otrzymujemy macierz:
+
 
  
 
<center><math>\displaystyle \left[
 
<center><math>\displaystyle \left[
Linia 705: Linia 713:
 
\right].
 
\right].
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Ponieważ operacja dodawania jednego wiersza do innego wiersza nie
 
Ponieważ operacja dodawania jednego wiersza do innego wiersza nie
 
zmienia wyznacznika macierzy widzimy, że
 
zmienia wyznacznika macierzy widzimy, że
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det
 
<center><math>\displaystyle \det
Linia 730: Linia 740:
 
\right].
 
\right].
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Z drugiej strony jest jasne, że
 
Z drugiej strony jest jasne, że
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det \left[
 
<center><math>\displaystyle \det \left[
Linia 744: Linia 756:
 
\right]=n!.
 
\right]=n!.
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Wykazaliśmy zatem, że
 
Wykazaliśmy zatem, że
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det A = n!.
 
<center><math>\displaystyle \det A = n!.
 
</math></center>
 
</math></center>
# Rozwijając wyznacznik macierzy <math>\displaystyle B</math>&nbsp;względem pierwszego wiersza
+
 
widzimy, że
+
 
 +
; b) Rozwijając wyznacznik macierzy <math>\displaystyle B</math>&nbsp;względem pierwszego wiersza widzimy, że
 +
 
  
 
<center><math>\displaystyle \det B = (-1)a\det \left[
 
<center><math>\displaystyle \det B = (-1)a\det \left[
Linia 762: Linia 778:
 
\right].
 
\right].
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Rozwijając następnie wyznacznik otrzymanej wyżej macierzy względem
 
Rozwijając następnie wyznacznik otrzymanej wyżej macierzy względem
 
ostatniej kolumny otrzymujemy:
 
ostatniej kolumny otrzymujemy:
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det B = (-1)a\cdot (-1)e\det \left[
 
<center><math>\displaystyle \det B = (-1)a\cdot (-1)e\det \left[
Linia 775: Linia 793:
 
\right].
 
\right].
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Ponownie rozwijając wyznacznik otrzymanej wyżej macierzy względem
 
Ponownie rozwijając wyznacznik otrzymanej wyżej macierzy względem
 
drugiego wiersza otrzymujemy:
 
drugiego wiersza otrzymujemy:
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det B = ae\cdot(-1)c\det \left[
 
<center><math>\displaystyle \det B = ae\cdot(-1)c\det \left[
Linia 787: Linia 807:
 
\right].
 
\right].
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Ponieważ ta ostatnia macierz jest macierzą trójkątną, widzimy, że
 
Ponieważ ta ostatnia macierz jest macierzą trójkątną, widzimy, że
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det B = -acefhj.
 
<center><math>\displaystyle \det B = -acefhj.
 
</math></center>
 
</math></center>
# Zauważmy, że macierz <math>\displaystyle C</math>&nbsp;wygląda tak:
+
 
 +
 
 +
; c) Zauważmy, że macierz <math>\displaystyle C</math>&nbsp;wygląda tak:
 +
 
  
 
<center><math>\displaystyle C=\left[
 
<center><math>\displaystyle C=\left[
Linia 806: Linia 831:
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Zamieniając miejscami wiersz <math>\displaystyle n</math>-ty z&nbsp;wierszem <math>\displaystyle n-1</math>-wszym, następnie
+
Niech <math>\displaystyle w_n</math> oznacza wiersz o&nbsp;numerze <math>\displaystyle n</math>.
<math>\displaystyle n-1</math>-wszy z&nbsp;<math>\displaystyle n-2</math>-gim i&nbsp;tak dalej, by na końcu zamienić miejscami wiersz
+
Zamieniając miejscami wiersz <math>\displaystyle w_n</math> z&nbsp;wierszem <math>\displaystyle w_{n-1}</math>, następnie
 +
<math>\displaystyle w_{n-1}</math> z&nbsp;<math>\displaystyle w_{n-2}</math> i&nbsp;tak dalej, by na końcu zamienić miejscami wiersz
 
pierwszy z&nbsp;drugim otrzymujemy macierz jednostkową. Potrzebowaliśmy
 
pierwszy z&nbsp;drugim otrzymujemy macierz jednostkową. Potrzebowaliśmy
 
<math>\displaystyle n-1</math> operacji zamiany wiersza miejscami zatem wyznacznik naszej macierzy
 
<math>\displaystyle n-1</math> operacji zamiany wiersza miejscami zatem wyznacznik naszej macierzy
 
wynosi:
 
wynosi:
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det C =(-1)^{n-1}\det I = (-1)^{n-1}.
 
<center><math>\displaystyle \det C =(-1)^{n-1}\det I = (-1)^{n-1}.
 
</math></center>
 
</math></center>
# Zauważmy, że macierz <math>\displaystyle D</math>&nbsp;wygląda schematycznie tak:
+
 
 +
 
 +
; d) Zauważmy, że macierz <math>\displaystyle D</math>&nbsp;wygląda schematycznie tak:
 +
 
  
 
<center><math>\displaystyle D=
 
<center><math>\displaystyle D=
Linia 828: Linia 858:
 
\right].
 
\right].
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Odejmując wiersz o&nbsp;numerze <math>\displaystyle n</math>&nbsp;od wierszy o numerach
 
Odejmując wiersz o&nbsp;numerze <math>\displaystyle n</math>&nbsp;od wierszy o numerach
<math>\displaystyle 1,2,\ldots,n-1</math> otrzymujemy poniższą macierz <math>\displaystyle D'</math>&nbsp;o&nbsp;wyznaczniku równym
+
<math>\displaystyle 1,2,\ldots,n-1</math>, otrzymujemy poniższą macierz <math>\displaystyle D'</math>&nbsp;o&nbsp;wyznaczniku równym
 
wyznacznikowi macierzy&nbsp;<math>\displaystyle D</math>.
 
wyznacznikowi macierzy&nbsp;<math>\displaystyle D</math>.
 +
  
 
<center><math>\displaystyle D'=
 
<center><math>\displaystyle D'=
Linia 845: Linia 877:
 
\right].
 
\right].
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Oczywiście mamy
 
Oczywiście mamy
  
<center><math>\displaystyle \det D=\det D'=n\cdot(-1)\cdot (-2)\cdot \ldots (2-n)\cdot (1-n)=(-1)^{n-1}n!.\qedhere
+
 
 +
<center><math>\displaystyle \det D=\det D'=n\cdot(-1)\cdot (-2)\cdot \ldots (2-n)\cdot (1-n)=(-1)^{n-1}n!.
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
</div></div>
 
</div></div>
  
{{cwiczenie|||
+
==={{kotwica|zad 7.12|Zadanie 7.12}}===
 
Niech <math>\displaystyle A</math> będzie rzeczywistą macierzą kwadratową
 
Niech <math>\displaystyle A</math> będzie rzeczywistą macierzą kwadratową
 
wymiaru&nbsp;<math>\displaystyle n</math>.
 
wymiaru&nbsp;<math>\displaystyle n</math>.
# Udowodnić, że jeżeli <math>\displaystyle A</math>&nbsp;jest macierzą skośnie symetryczną,
+
; a) Udowodnić, że jeżeli <math>\displaystyle A</math>&nbsp;jest macierzą skośnie symetryczną, czyli <math>\displaystyle A^*=-A</math> oraz <math>\displaystyle n</math>&nbsp;jest liczbą nieparzystą, to <math>\displaystyle \det A=0</math>.
czyli <math>\displaystyle A^*=-A</math> oraz <math>\displaystyle n</math>&nbsp;jest liczbą nieparzystą, to <math>\displaystyle \det A=0</math>.
+
; b) Podać przykład rzeczywistej skośnie symetrycznej macierzy kwadratowej <math>\displaystyle A</math> takiej, że <math>\displaystyle \det A\neq 0</math>.
# Podać przykład rzeczywistej skośnie symetrycznej macierzy
+
; c) Wykazać, że jeżeli <math>\displaystyle A^2+I=0</math>, to <math>\displaystyle n</math> jest liczbą parzystą.
kwadratowej <math>\displaystyle A</math> takiej, że <math>\displaystyle \det A\neq 0</math>.
+
; d) Czy powyższa implikacja pozostaje prawdziwa, jeżeli założmy, że <math>\displaystyle A</math> jest macierzą zespoloną?
# Jeżeli <math>\displaystyle A^2+I=0</math>, to <math>\displaystyle n</math> jest liczbą parzystą.
 
# Czy powyższa implikacja pozostaje prawdziwa jeżeli założmy, że
 
<math>\displaystyle A</math>&nbsp;jest macierzą zespoloną?
 
 
 
}}
 
  
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Skorzystać z&nbsp;podstawowych własności wyznacznika.
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Skorzystać z&nbsp;podstawowych własności wyznacznika.
Linia 870: Linia 900:
  
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
# Załóżmy, że <math>\displaystyle A\in M(n,n;\mathbb{R})</math>&nbsp;jest macierzą skośnie symetryczną,
+
; a) Załóżmy, że <math>\displaystyle A\in M(n,n;\mathbb{R})</math>&nbsp;jest macierzą skośnie symetryczną, czyli <math>\displaystyle A^*=-A</math> oraz <math>\displaystyle n</math>&nbsp;jest liczbą nieparzystą. Z&nbsp;równości <math>\displaystyle A^*=-A</math> wynika, że
czyli <math>\displaystyle A^*=-A</math> oraz <math>\displaystyle n</math>&nbsp;jest liczbą nieparzystą. Z&nbsp;równości <math>\displaystyle A^*=-A</math>
+
 
wynika, że
 
  
 
<center><math>\displaystyle \det( A^*)=\det (-A).
 
<center><math>\displaystyle \det( A^*)=\det (-A).
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Ponieważ <math>\displaystyle n</math>&nbsp;jest liczbą nieparzystą widzimy, że
 
Ponieważ <math>\displaystyle n</math>&nbsp;jest liczbą nieparzystą widzimy, że
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det (-A)=(-1)^n\det A =-\det A.
 
<center><math>\displaystyle \det (-A)=(-1)^n\det A =-\det A.
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Z&nbsp;drugiej strony
 
Z&nbsp;drugiej strony
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det (A^*)=\det A.
 
<center><math>\displaystyle \det (A^*)=\det A.
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Otrzymaliśmy, że
 
Otrzymaliśmy, że
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det A= -\det A,
 
<center><math>\displaystyle \det A= -\det A,
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
co jest możliwe tylko, gdy <math>\displaystyle \det A=0</math>, co było do okazania.
 
co jest możliwe tylko, gdy <math>\displaystyle \det A=0</math>, co było do okazania.
# Przykładem rzeczywistej skośnie symetrycznej macierzy
+
; b) Przykładem rzeczywistej skośnie symetrycznej macierzy kwadratowej <math>\displaystyle A</math>&nbsp;takiej, że <math>\displaystyle \det A\neq 0</math> jest, jak łatwo sprawdzić, macierz
kwadratowej <math>\displaystyle A</math>&nbsp;takiej, że <math>\displaystyle \det A\neq 0</math> jest, jak łatwo sprawdzić,
+
 
macierz
 
  
 
<center><math>\displaystyle \left[
 
<center><math>\displaystyle \left[
Linia 904: Linia 939:
 
\right].
 
\right].
 
</math></center>
 
</math></center>
# Jeżeli <math>\displaystyle A^2+I=0</math>, to
+
 
 +
 
 +
; c) Jeżeli <math>\displaystyle A^2+I=0</math>, to
 +
 
  
 
<center><math>\displaystyle A^2=-I.
 
<center><math>\displaystyle A^2=-I.
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Wówczas
 
Wówczas
 +
  
 
<center><math>\displaystyle \det A^2 = \det (-I),
 
<center><math>\displaystyle \det A^2 = \det (-I),
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
czyli
 
czyli
 +
  
 
<center><math>\displaystyle (\det A)^2=(-1)^n.
 
<center><math>\displaystyle (\det A)^2=(-1)^n.
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Ponieważ <math>\displaystyle (\det A)^2</math> jest dla dowolnej rzeczywistej macierzy
 
Ponieważ <math>\displaystyle (\det A)^2</math> jest dla dowolnej rzeczywistej macierzy
kwadratowej liczbą rzeczywistą nieujemną widzimy, że <math>\displaystyle (-1)^n</math> musi
+
kwadratowej liczbą rzeczywistą nieujemną, widzimy, że <math>\displaystyle (-1)^n</math> musi
 
być równe <math>\displaystyle 1</math>,&nbsp;co jest możliwe tylko, gdy <math>\displaystyle n</math>&nbsp;jest liczbą parzystą.
 
być równe <math>\displaystyle 1</math>,&nbsp;co jest możliwe tylko, gdy <math>\displaystyle n</math>&nbsp;jest liczbą parzystą.
# Twierdzenie z&nbsp;porzedniego podpunktu przestaje być prawdziwe
+
; d) Twierdzenie z&nbsp;porzedniego podpunktu przestaje być prawdziwe, jeżeli będziemy rozpatrywali macierze o&nbsp;wyrazach zespolonych. Niech
jeżeli będziemy rozpatrywali macierze o&nbsp;wyrazach zespolonych. Niech
+
 
  
 
<center><math>\displaystyle A=\left[
 
<center><math>\displaystyle A=\left[
Linia 933: Linia 976:
 
\right].
 
\right].
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
Wówczas <math>\displaystyle A</math>&nbsp;jest macierzą wymiaru nieparzystego oraz
 
Wówczas <math>\displaystyle A</math>&nbsp;jest macierzą wymiaru nieparzystego oraz
 +
  
 
<center><math>\displaystyle A^2=\left[
 
<center><math>\displaystyle A^2=\left[
Linia 951: Linia 996:
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Podana wyżej macierz <math>\displaystyle A</math>&nbsp;stanowi kontrprzykład dla twierdzenia
+
 
zawartego w&nbsp;poprzednim podpunkcie w&nbsp;przypadku zespolonym.
+
Podana wyżej macierz <math>\displaystyle A</math>&nbsp;stanowi kontrprzykład dla twierdzenia zawartego w&nbsp;poprzednim podpunkcie w&nbsp;przypadku zespolonym.
  
 
</div></div>
 
</div></div>
  
{{cwiczenie|||
+
==={{kotwica|zad 7.13|Zadanie 7.13}}===
 
Uzasadnić, że wyznacznik następującej macierzy
 
Uzasadnić, że wyznacznik następującej macierzy
 +
  
 
<center><math>\displaystyle A=\left[
 
<center><math>\displaystyle A=\left[
Linia 967: Linia 1013:
 
x_{14}&  x_{15}&  0  &  0  &  0  \\
 
x_{14}&  x_{15}&  0  &  0  &  0  \\
 
\end{array}  
 
\end{array}  
\right], \text{ gdzie }x_1\ldots x_{15}\in\mathbb{R}.
+
\right], \text{ gdzie }x_1\ldots x_{15}\in\mathbb{R},
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
jest równy <math>\displaystyle 0</math>.
 
jest równy <math>\displaystyle 0</math>.
}}
 
  
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Wykazać, że kolumny tej macierzy nie mogą być liniowo
+
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Wykazać, że kolumny tej macierzy nie mogą być liniowo niezależne.
niezależne.
 
 
</div></div>
 
</div></div>
  
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Zauważmy, że trzy ostatnie kolumny rozważanej macierzy
+
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Zauważmy, że trzy ostatnie kolumny rozważanej macierzy traktowane jako wektory należą do dwuwymiarowej podprzestrzeni przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^5</math>, a&nbsp;zatem nie mogą być liniowo niezależne i&nbsp;rząd macierzy <math>\displaystyle A</math>&nbsp;musi być mniejszy od <math>\displaystyle 5</math>.&nbsp;Oznacza to, że
traktowane jako wektory należą do dwuwymiarowej podprzestrzeni
+
 
przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^5</math>, a&nbsp;zatem nie mogą być liniowo niezależne i&nbsp;rząd
 
macierzy <math>\displaystyle A</math>&nbsp;musi być mniejszy od <math>\displaystyle 5</math>.&nbsp;Oznacza to, że
 
  
 
<center><math>\displaystyle \det A=0,
 
<center><math>\displaystyle \det A=0,
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
  
 
co było do okazania.
 
co było do okazania.
 
</div></div>
 
</div></div>

Aktualna wersja na dzień 22:37, 28 wrz 2020

Zadanie 7.1

Niech będzie dane wzorem



Zbadać, czy

i) jest odwzorowaniem dwuliniowym,
ii) jest odwzorowaniem symetrycznym,
iii) jest odwzorowaniem antysymetrycznym.
Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.2

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech , . Definiujemy



Zbadać, czy

i) jest formą dwuliniową,
ii) jest odwzorowaniem antysymetrycznym.
Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.3

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech będzie endomorfizmem. Wykazać, że odwzorowanie



jest dwuliniowe.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.4

Niech  będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech



będzie odwzorowaniem dwuliniowym. Wykazać, że istnieje taki endomorfizm , że dla wszystkich i wszystkich zachodzi równość:



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.5

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech . Ustalmy wektory . Wykazać, że dla dowolnych , i dla dowolnego skalara zachodzi równość:



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.6

Niech



Wykazać, że .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.7

Niech



Wykazać, że


Komentarz



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.8

Obliczyć wyznaczniki macierzy oraz , gdy



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.9

Obliczyć wyznacznik macierzy



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.10

Wykazać, że



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.11

Podać wzór na wyznacznik następujących macierzy:



oraz




Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.12

Niech będzie rzeczywistą macierzą kwadratową wymiaru .

a) Udowodnić, że jeżeli  jest macierzą skośnie symetryczną, czyli oraz  jest liczbą nieparzystą, to .
b) Podać przykład rzeczywistej skośnie symetrycznej macierzy kwadratowej takiej, że .
c) Wykazać, że jeżeli , to jest liczbą parzystą.
d) Czy powyższa implikacja pozostaje prawdziwa, jeżeli założmy, że jest macierzą zespoloną?
Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.13

Uzasadnić, że wyznacznik następującej macierzy



jest równy .

Wskazówka
Rozwiązanie