Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 6: Macierze a odwzorowania liniowe

Zadanie 6.1

Znaleźć macierz odwzorowania $\displaystyle f:\mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{2}$, danego wzorem

$\displaystyle f((x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}))=(x_{1}+3x_{2}-2x_{3},\ x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}),$

w bazach $\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}$ oraz $\displaystyle v_{1},v_{2}$, gdy

$\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&=(2,0,1,0),&&\\u_{2}&=(-1,1,0,3),\qquad v_{1}&=~(1,1),\\u_{3}&=(0,1,1,0),\qquad v_{2}&=~(-1,0),\\u_{4}&=(1,-1,2,3).&&\end{aligned}}$

Wskazówka

Dla $\displaystyle j=1,2,3,4$ obliczyć wartości odwzorowania $\displaystyle f$ na wektorze $\displaystyle u_{j}$, a następnie przedstawić $\displaystyle f(u_{j})$ jako kombinację liniową wektorów $\displaystyle v_{1}$ i $\displaystyle v_{2}$. Współczynniki takiego przedstawienia wektora $\displaystyle f(u_{j})$ utworzą $\displaystyle j$-tą kolumnę szukanej macierzy.

Rozwiązanie

Aby znaleźć macierz naszego odwzorowania w podanych bazach musimy:

1. Wyznaczyć wartość odwzorowania $\displaystyle f$ na podanej bazie dziedziny, czyli wyznaczyć $\displaystyle f(u_{1})$, $\displaystyle f(u_{2})$, $\displaystyle f(u_{3})$, $\displaystyle f(u_{4})$.
2. Znaleźć współrzędne wektorów $\displaystyle f(u_{1})$, $\displaystyle f(u_{2})$, $\displaystyle f(u_{3})$, $\displaystyle f(u_{4})\in \mathbb {R} ^{2}$ w podanej bazie $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$, czyli bazie złożonej z wektorów $\displaystyle v_{1}$, i $\displaystyle v_{2}$.

Otrzymane współrzędne wpisujemy do szukanej macierzy, przy czym współrzędne w zadanej bazie $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ odpowiadające obrazowi pierwszego wektora z podanej bazy $\displaystyle \mathbb {R} ^{4}$ przez odwzorowanie $\displaystyle f$ utworzą pierwszą kolumnę, drugiego drugą itd.

W naszej sytuacji wykonując elementarne rachunki otrzymujemy:

$\displaystyle {\begin{aligned}f(u_{1})=f((2,0,1,0))&=(0,3),&f(u_{2})=f((-1,1,0,3))&=(2,-5),\\f(u_{3})=f((0,1,1,0))&=(1,0),&f(u_{4})=f((1,-1,2,3))&=(-6,1).\end{aligned}}$

Aby wyznaczyć współrzędne wektorów $\displaystyle f(u_{1})$, $\displaystyle f(u_{2})$, $\displaystyle f(u_{3})$, $\displaystyle f(u_{4})$ w bazie złożonej z wektorów $\displaystyle v_{1}$ i $\displaystyle v_{2}$ musimy rozwiązać cztery układy równań, których lewe strony są identyczne natomiast za prawe strony podstawiamy kolejno wyliczone wektory $\displaystyle f(u_{1})$, $\displaystyle f(u_{2})$, $\displaystyle f(u_{3})$, $\displaystyle f(u_{4})$, co schematycznie możemy zapisać tak:

$\displaystyle \left.{\begin{array}{rcrccccc}&&&&f(u_{1})&f(u_{2})&f(u_{3})&f(u_{4})\\&&&&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel \\x_{1}&-&x_{2}&=0&2&1&-6\\x_{1}&&&=3&-5&0&1\end{array}}\right.$

rozwiązując te układy możemy stwierdzić, że w podanych bazach macierz naszego odwzorowania ma następującą postać:

$\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}3&-5&0&1\\3&-7&-1&7\end{array}}\right].$

Zadanie 6.2

Niech Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \mathbb{K}} oznacza dowolne ciało, niech Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle n,m \in \mathbb{N}_1} i niech Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle a_{11},\ldots,a_{1n},\ldots,a_{m1},\ldots,a_{mn} \in \mathbb{K}} . Znaleźć macierz odwzorowania

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle f\colon \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^m, }

danego wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle f(x_1, \ldots , x_n) = (a_{11}x_1 +\ldots+a_{1n}x_n, \ldots, a_{m1}x_1 +\ldots+a_{mn}x_n). }

w bazach kanonicznych przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \mathbb{K}^n}  i odpowiednio Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \mathbb{K}^m} .

Wskazówka

Zadanie można rozwiązać postępując podobnie jak przy zadaniu 6.1, tylko teraz należy rozważać wektory baz kanonicznych w Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \mathbb{R}^n} i odpowiednio w Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \mathbb{R}^m} . Jaki jest związek między współczynnikami występującymi we wzorze definiującym odwzorowanie $\displaystyle f$ a wierszami otrzymanej macierzy?

Rozwiązanie

Niech $\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}$ będą wektorami bazy kanonicznej przestrzeni $\displaystyle \mathbb {K} ^{n}$, a $\displaystyle \varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{m}$ będą wektorami bazy kanonicznej przestrzeni $\displaystyle \mathbb {K} ^{m}$. Aby znaleźć macierz naszego odwzorowania w bazach kanonicznych przestrzeni $\displaystyle \mathbb {K} ^{n}$ oraz $\displaystyle \mathbb {K} ^{m}$ musimy wyznaczyć wartość odwzorowania $\displaystyle f$ na podanej bazie kanonicznej dziedziny, czyli wyznaczyć $\displaystyle f(e_{i})$, dla $\displaystyle i=1,\ldots ,n$. Łatwo widać, że $\displaystyle f(e_{i})=(a_{1i},a_{2i},\ldots ,a_{mi}).$ Współrzędne wektora $\displaystyle (a_{1i},a_{2i},\ldots ,a_{mi})\in \mathbb {K} ^{m}$ w bazie $\displaystyle \varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{m}$ także łatwo wyznaczyć (patrz zadanie 3.4). Otrzymane współrzędne wpisujemy teraz do szukanej macierzy, przy czym współrzędne w zadanej bazie odpowiadające obrazowi $\displaystyle i$-tego wektora z bazy kanonicznej przez odwzorowanie $\displaystyle f$ utworzą $\displaystyle i$-tą kolumnę, czyli

$\displaystyle f(e_{i})=\left[{\begin{array}{c}a_{1i}\\a_{2i}\\\vdots \\a_{mi}\end{array}}\right].$

Oznacza to, że w bazach kanonicznych macierz naszego odwzorowania ma następującą postać:

$\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{array}}\right].$

Zadanie 6.3

Dana jest macierz

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}1&2&2\\1&-1&-2\\-2&1&3\end{array}}\right]$

endomorfizmu $\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ w bazie $\displaystyle u_{1}=(1,0,1)$, $\displaystyle u_{2}=(0,1,1)$ i $\displaystyle u_{3}=(0,1,0)$. Znaleźć macierz $\displaystyle f$ w bazie kanonicznej przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$.

Wskazówka

Zauważyć, że na mocy zadania 6.2 znalezienie macierzy $\displaystyle f$ w bazie kanonicznej jest równoważne znalezieniu wzoru na odwzorowanie $\displaystyle f$ w postaci:

$\displaystyle {\begin{aligned}f((x_{1},x_{2},x_{3})=(&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3},\\&a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3},\\&a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}).\end{aligned}}$

Wiedząc, że $\displaystyle A$ jest macierzą odwzorowania $\displaystyle f$ w bazie złożonej z wektorów $\displaystyle u_{1}$, $\displaystyle u_{2}$ i $\displaystyle u_{3}$ możemy obliczyć wartości odwzorowania $\displaystyle f$ na tych wektorach. Znając wartości odwzorowania liniowego na pewnej bazie przestrzeni możemy wyznaczyć jego wzór postępując np. tak jak w zadaniu 4.5, czyli rozwiązując trzy układy trzech równań o trzech niewiadomych.

Rozwiązanie

Na podstawie zadania 6.2 stwierdzamy, że znalezienie macierzy $\displaystyle f$ w bazie kanonicznej jest równoważne znalezieniu wzoru na odwzorowanie $\displaystyle f$ w postaci:

$\displaystyle {\begin{aligned}f((x_{1},x_{2},x_{3})=(&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3},\\&a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3},\\&a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}).\end{aligned}}$

Zauważmy także, że z postaci macierzy $\displaystyle A$ możemy odczytać informacje na temat wartości odwzorowania $\displaystyle f$ na wektorach

$\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&=(1,0,1),\qquad u_{2}&=(0,1,1),\qquad u_{3}&=(0,1,0).\end{aligned}}$

Wiemy, że

$\displaystyle {\begin{aligned}f(u_{1})&=u_{1}+u_{2}-2u_{3}=(1,-1,2),\\f(u_{2})&=2u_{1}-u_{2}+u_{3}=(2,0,1),\\f(u_{3})&=2u_{1}-2u_{2}+3u_{3}=(2,1,0).\end{aligned}}$

Dzięki tym obserwacjom znaleźliśmy się w takiej samej sytuacji jak przy rozwiązaniu zadania 4.5, tzn. znamy wartości $\displaystyle f$ na pewnej bazie przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ i poszukujemy wzoru na $\displaystyle f$. Dlatego wiersze macierzy $\displaystyle f$ w bazie kanonicznej stanowią kolejne rozwiązania następujących trzech układów równań liniowych, których lewe strony są niezmienne a prawe się zmieniają (układy te wyznaczamy analogicznie jak w zadaniu 4.5):

$\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcccc}x+z&=1&2&2\\y+z&=-1&0&1\\y&=2&1&0\end{array}}\right.$

Rozwiązując te układy otrzymujemy kolejne wiersze szukanej macierzy, tzn. $\displaystyle (1,2,0)$, $\displaystyle (0,1,-1)$, $\displaystyle (1,0,1)$. W rezultacie dostajemy macierz naszego odwzorowania w bazach kanonicznych:

$\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr}1&2&0\\0&1&-1\\1&0&1\end{array}}\right].$

Zadanie 6.4

Niech

$\displaystyle f\colon M(2,2;\mathbb {R} )\ni \left[{\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{cc}c&d\\a&b\end{array}}\right]\in M(2,2;\mathbb {R} ).$

Wykazać, że $\displaystyle f$ jest odwzorowaniem liniowym i znaleźć jego macierz w bazie

$\displaystyle {\begin{aligned}A_{11}&=\left[{\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right],&A_{12}&=\left[{\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right],&A_{21}&=\left[{\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}}\right],&A_{22}&=\left[{\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}}\right]\end{aligned}}$

uporządkowanej leksykograficznie. Jaki jest rząd tego odwzorowania?

Wskazówka

Rozwiązując to zadanie można postępować podobnie jak przy zadaniu 6.1, pamiętając jedynie, że w przestrzeni $\displaystyle M(2,2;\mathbb {R} )$ wektorami są macierze kwadratowe. Przy obliczaniu rzędu odwzorowania można skorzystać z faktu, że rząd odwzorowania liniowego jest równy rzędowi jego macierzy w dowolnych bazach.

Rozwiązanie

Rozpoczniemy od sprawdzenia, czy dane odwzorowanie $\displaystyle f$ jest liniowe. Dla dowolnych skalarów $\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ oraz macierzy

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right],\quad B=\left[{\begin{array}{cc}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}}\right]\in M(2,2;\mathbb {R} )$

zachodzi:

$\displaystyle {\begin{aligned}f(\alpha A+\beta B)&=f\left(\left[{\begin{array}{cc}\alpha a_{11}+\beta b_{11}&\alpha a_{12}+\beta b_{12}\\\alpha a_{21}+\beta b_{21}&\alpha a_{22}+\beta b_{22}\end{array}}\right]\right)\\&=\left[{\begin{array}{cc}\alpha a_{21}+\beta b_{21}&\alpha a_{22}+\beta b_{22}\\\alpha a_{11}+\beta b_{11}&\alpha a_{12}+\beta b_{12}\end{array}}\right]\\&=\alpha \left[{\begin{array}{cc}a_{21}&a_{22}\\a_{11}&a_{12}\end{array}}\right]+\beta \left[{\begin{array}{cc}b_{21}&b_{22}\\b_{11}&b_{12}\end{array}}\right]\\&=\alpha f(A)+\beta f(B),\end{aligned}}$

co kończy dowód liniowości odwzorowania $\displaystyle f$.

Przejdziemy teraz do wyznaczenia macierzy naszego odwzorowania. Obliczamy wartość odwzorowania $\displaystyle f$ na wektorach podanej bazy i otrzymane wyniki rozpisujemy od razu w postaci kombinacji liniowej wektorów tejże bazy:

$\displaystyle {\begin{aligned}f(A_{11})&=\left[{\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}}\right]=A_{21},\qquad f(A_{12})&=\left[{\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}}\right]=A_{22},\\f(A_{21})&=\left[{\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right]=A_{11},\qquad f(A_{22})&=\left[{\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right]=A_{12}.\end{aligned}}$

Ponieważ zachodzi:

$\displaystyle {\begin{aligned}A_{21}&=0\cdot A_{11}+0\cdot A_{12}+1\cdot A_{21}+0\cdot A_{22},\\A_{22}&=0\cdot A_{11}+0\cdot A_{12}+0\cdot A_{21}+1\cdot A_{22},\\A_{11}&=1\cdot A_{11}+0\cdot A_{12}+0\cdot A_{21}+0\cdot A_{22},\\A_{12}&=0\cdot A_{11}+1\cdot A_{12}+0\cdot A_{21}+0\cdot A_{22},\end{aligned}}$

stwierdzamy, że (w podanej bazie) wektorem współrzędnych wektora $\displaystyle f(A_{11})$ jest $\displaystyle (0,0,1,0)$, wektorem współrzędnych wektora $\displaystyle f(A_{12})$ jest $\displaystyle (0,0,0,1)$, wektorem współrzędnych wektora $\displaystyle f(A_{21})$ jest $\displaystyle (1,0,0,0)$ natomiast wektorem współrzędnych wektora $\displaystyle f(A_{22})$ jest $\displaystyle (0,1,0,0)$. Wpisując otrzymane wektory współrzędnych jako kolumny macierzy otrzymujemy szukaną macierz

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{cccc}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right].$

Zauważmy, że kolumnami tej macierzy są wektory z bazy kanonicznej przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{4}$, zatem kolumny są liniowo niezależne i macierz ta ma oczywiście rząd równy $\displaystyle 4$. Ponieważ $\displaystyle rkA=rkf$ widzimy, że rząd odwzorowania $\displaystyle f$ jest równy $\displaystyle 4$.

Zadanie 6.5

Dane jest odwzorowanie

$\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\ni (x,y)\to \left(\left[{\begin{array}{rr}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]\right)^{*}\in \mathbb {R} ^{2}.$

Wykazać, że $\displaystyle f$ jest liniowe i znaleźć jego wartość na wektorze $\displaystyle (\cos \varphi ,\sin \varphi )$.

Wskazówka

Skorzystać ze wzorów na $\displaystyle \cos(\alpha +\beta )$ oraz $\displaystyle \sin(\alpha +\beta )$.

Rozwiązanie

Korzystając z definicji mnożenia macierzy i operacji transponowania otrzymujemy prostszy wzór na wartość $\displaystyle f$ na wektorze $\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$:

$\displaystyle f((x,y))=((\cos \alpha )x-(\sin \alpha )y,(\sin \alpha )x+(\cos \alpha )y)\in \mathbb {R} ^{2}.$

Liniowość odwzorowania $\displaystyle f$ wynika teraz z zadań 4.1 oraz 4.3.

Korzystając ponownie z powyższego wzoru oraz ze znanych tożsamości trygonometrycznych obliczamy też wartość $\displaystyle f$ na wektorze $\displaystyle (\cos \varphi ,\sin \varphi )$:

$\displaystyle {\begin{aligned}f((\cos \varphi ,\sin \varphi ))=(&(\cos \alpha )\cos \varphi -(\sin \alpha )\sin \varphi ,\\&(\sin \alpha )\cos \varphi +(\cos \alpha )\sin \varphi )&=(\cos(\varphi +\alpha ),\sin(\varphi +\alpha )).\end{aligned}}$

Zauważmy, że nasze odwzorowanie działa na wektorze $\displaystyle (\cos \varphi ,\sin \varphi )$ jak obrót o kąt $\displaystyle \alpha$.

Zadanie 6.6

Wiedząc, że

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rr}1&2\\1&-1\\3&1\end{array}}\right]$

jest macierzą odwzorowania liniowego $\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ w bazach kanonicznych, wyznaczyć odwzorowanie dualne $\displaystyle f^{*}$ oraz jego macierz w bazach dualnych do kanonicznych.

Wskazówka

Skorzystać z faktu, że macierz dualna do $\displaystyle A$ będzie macierzą odwzorowania $\displaystyle f^{*}$ w bazach dualnych do baz kanonicznych.

Znając macierz $\displaystyle A^{*}$ łatwo można wyznaczyć wzór na odwzorowanie $\displaystyle f^{*}$ w oparciu o zadanie 6.2.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $\displaystyle e_{1}^{*}$, $\displaystyle e_{2}^{*}$, $\displaystyle e_{3}^{*}$ bazę dualną do bazy kanonicznej w $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$, a przez $\displaystyle E_{1}^{*}$, $\displaystyle E_{2}^{*}$ bazę dualną do bazy kanonicznej w $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$. Z twierdzenia podanego na wykładzie wynika, że macierzą odwzorowania $\displaystyle f^{*}$ w bazach dualnych do baz kanonicznych jest macierz $\displaystyle A^{*}$, czyli

$\displaystyle A^{*}=\left[{\begin{array}{rrr}1&1&3\\2&-1&1\end{array}}\right].$

Odczytujemy stąd, że wartością odwzorowania $\displaystyle f^{*}$ na formie

$\displaystyle \varphi =\alpha _{1}e_{1}^{*}+\alpha _{2}e_{2}^{*}+\alpha _{3}e_{3}^{*},$

czyli formie przyjmującej na wektorze $\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3})\in \mathbb {R} ^{3}$ wartość

$\displaystyle \varphi (y_{1},y_{2},y_{3})=\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\alpha _{3}x_{3},$

jest forma $\displaystyle \psi =f^{*}(\varphi )$ przyjmująca na wektorze $\displaystyle (x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ wartość

$\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x_{1},x_{2})=&(\alpha _{1}+\alpha _{2}+3\alpha _{3})x_{1}+(2\alpha _{1}-\alpha _{2}+\alpha _{3})x_{2},\end{aligned}}$

innymi słowy:

$\displaystyle {\psi =(\alpha _{1}+\alpha _{2}+3\alpha _{3})E_{1}^{*}+(2\alpha _{1}-\alpha _{2}+\alpha _{3})E_{2}^{*}.}$

Zadanie 6.7

Niech $\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\ni (x,y)\to (2x+3y,x+y)\in \mathbb {R} ^{2}$. Wyznaczyć macierz endomorfizmu $\displaystyle f^{*}$ w bazie złożonej z form

$\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\ni (x,y)&\to x+2y\in \mathbb {R} \\\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\ni (x,y)&\to x+3y\in \mathbb {R} .\end{aligned}}$

Znaleźć taką bazę przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$, żeby baza złożona z form $\displaystyle \varphi$, $\displaystyle \psi$ była do niej dualna.

Wskazówka

Gdyby nasze zadanie polegało tylko na znalezieniu macierzy odwzorowania $\displaystyle f^{*}$ w podanej bazie moglibyśmy po prostu obliczyć $\displaystyle f^{*}(\varphi )$ oraz $\displaystyle f^{*}(\psi )$ i przedstawić każdą z otrzymanych form jako kombinację liniową form $\displaystyle \varphi$ i $\displaystyle \psi$. Ponieważ mamy jeszcze znaleźć bazę, do której podana baza przestrzeni form liniowych jest dualna możemy najpierw wyznaczyć tę bazę, a potem macierz $\displaystyle f$ w tej bazie. Aby znaleźć macierz $\displaystyle f^{*}$ wystarczy postępować jak w zadaniu 6.6.

Rozwiązanie

Załóżmy, że znamy bazę przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ złożoną z wektorów $\displaystyle v_{1}$ oraz $\displaystyle v_{2}$ i taką, że baza do niej dualna składa się z form $\displaystyle \varphi$ oraz $\displaystyle \psi$. Wówczas zgodnie z twierdzeniem znanym z wykładu szukana przez nas macierz odwzorowania $\displaystyle f^{*}$ jest równa $\displaystyle A^{*}$, gdzie $\displaystyle A$ jest macierzą $\displaystyle f$ w bazie złożonej z wektorów $\displaystyle v_{1}$ oraz $\displaystyle v_{2}$.

Poszukiwane przez nas wektory $\displaystyle v_{1}$ i $\displaystyle v_{2}$ spełniają zależności

$\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (v_{1})&=1\qquad \varphi (v_{2})&=0\\\psi (v_{1})&=0\qquad \psi (v_{2})&=1.\end{aligned}}$

Oznacza to, że $\displaystyle v_{1}$ oraz $\displaystyle v_{2}$ są rozwiązaniami dwóch układów równań, których lewe strony są identyczne i składają się z równań wyznaczonych przez wzory na $\displaystyle \varphi$ i $\displaystyle \psi$, natomiast za prawe strony podstawiamy odpowiednio wektory $\displaystyle (1,0)$ oraz $\displaystyle (0,1)$.

$\displaystyle \left\{{\begin{array}{cccc|cc}x&+&2y&=1&0\\x&+&3y&=0&1\end{array}}\right.$

Rozwiązaniami tych układów są wektory $\displaystyle v_{1}=(3,-1)$ oraz $\displaystyle v_{2}=(-2,1)$. Baza złożona z form $\displaystyle \varphi$, $\displaystyle \psi$ jest dualna do bazy złożonej z wektorów $\displaystyle v_{1}$, $\displaystyle v_{2}$.

W celu znalezienia macierzy $\displaystyle f$ w podanej bazie znajdujemy $\displaystyle f(v_{1})=(3,2)$ oraz $\displaystyle f(v_{2})=(-1,-1)$. Następnie wyznaczamy współczynniki wektorów $\displaystyle f(v_{1})=(3,2)$ oraz $\displaystyle f(v_{2})=(-1,-1)$ w bazie $\displaystyle v_{1}$ oraz $\displaystyle v_{2}$.

W tym celu rozwiązujemy układy

$\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrc|cc}3x&-&2y&={3}&{-1}\\-x&+&y&={2}&{-1}\end{array}}\right.$

Znajdujemy, że $\displaystyle f(v_{1})=(3,2)=7v_{1}+9v_{2}$ oraz $\displaystyle f(v_{2})=(-1,-1)=-3v_{1}-4v_{2}$. Oznacza to, że macierzą $\displaystyle f$ w bazie złożonej z wektorów $\displaystyle v_{1}$ oraz $\displaystyle v_{2}$ jest

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{cc}7&-3\\9&-4\end{array}}\right].$

Wobec powyższych obliczeń szukaną macierzą jest macierz:

$\displaystyle A^{*}=\left[{\begin{array}{rr}7&9\\-3&-4\end{array}}\right].$

Zadanie 6.8

Niech $\displaystyle A$ będzie ustaloną rzeczywistą macierzą kwadratową wymiaru $\displaystyle n$. Definiujemy odwzorowanie

$\displaystyle T_{A}\colon M(n,n;\mathbb {R} )\mapsto M(n,n;\mathbb {R} )$

kładąc dla macierzy $\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{n\times n}$

$\displaystyle T_{A}(X)=AX-XA.$

Udowodnić, że $\displaystyle T$ jest odwzorowaniem liniowym. Czy istnieje taka macierz $\displaystyle A$, aby zdefiniowane przy jej pomocy odwzorowanie $\displaystyle T_{A}$ było epimorfizmem?

Wskazówka

Badając liniowość odwzorowania $\displaystyle T_{A}$ wystarczy skorzystać z podstawowych własności działań na macierzach. W drugiej części zadania skorzystajmy z faktu, że $\displaystyle T_{A}$ jest endomorfizmem przestrzeni wymiaru skończonego, a zatem $\displaystyle T_{A}$ jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest monomorfizmem.

Rozwiązanie

Ustalmy macierz $\displaystyle A\in M(n,n;\mathbb {R} )$. Dla dowolnych macierzy $\displaystyle X,Y\in M(n,n;\mathbb {R} )$ oraz skalarów $\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ mamy:

$\displaystyle {\begin{aligned}T_{A}(\alpha X+\beta Y)&=A(\alpha X+\beta Y)-(\alpha X+\beta Y)A\\&=A(\alpha X)+A(\beta Y)-(\alpha X)A-(\beta Y)A\\&=A(\alpha X)-(\alpha X)A+A(\beta Y)-(\beta Y)A\\&=\alpha (AX)-\alpha (XA)+\beta (AY)-\beta (YA)\\&=\alpha (AX-XA)+\beta (AY-YA)\\&=\alpha T_{A}(X)+\beta T_{A}(Y),\end{aligned}}$

co oznacza, że nasze odwzorowanie jest liniowe. Wiemy, że $\displaystyle T_{A}$ jako endomorfizmem przestrzeni wymiaru skończonego, jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest monomorfizmem. Zatem, gdyby istniała taka macierz $\displaystyle A$, że zadane przez nią odwzorowanie $\displaystyle T_{A}$ byłoby epimorfizmem, to takie $\displaystyle T_{A}$ byłoby też monomorfizmem. Ale nie istnieje taka macierz $\displaystyle A$ dla której odwzorowanie $\displaystyle T_{A}$ jest monomorfizmem, bo zawsze

$\displaystyle T_{A}(I)=AI-IA=A-A=0,$

zatem macierz jednostkowa $\displaystyle I$ jest niezerowym elementem jądra odwzorowania $\displaystyle T_{A}$ i $\displaystyle T_{A}$ nie jest monomorfizmem. Oznacza to, że $\displaystyle T_{A}$ nie jest też epimorfizmem.