Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 4: Odwzorowania liniowe

Z Studia Informatyczne
< Algebra liniowa z geometrią analityczną
Wersja z dnia 20:03, 25 wrz 2020 autorstwa Luki (dyskusja | edycje) (→‎{{kotwica|zad 4.5|Zadanie 4.5}})
(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Zadanie 4.1

Dane jest odwzorowanie . Wykazać, że  jest odwzorowaniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie liczby rzeczywiste , że dla dowolnego wektora zachodzi równość


     (4.1)


Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.2

Niech oraz będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem . Wykazać, że odwzorowania



są liniowe.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.3

Niech , oraz będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem i niech dane bedą odwzorowania



Definiujemy odwzorowanie



Wykazać, że jest odwzorowaniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy  i  są odwzorowaniami liniowymi.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.4

Niech



Wykazać, że odwzorowanie  jest liniowe. Znaleźć dowolną bazę podprzestrzeni . Wyznaczyć oraz .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.5

Wyznaczyć odwzorowanie liniowe takie, żeby



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.6

Sprawdzić, czy istnieje odwzorowanie liniowe

a) takie, że
b) takie, że
c) takie, że


Odpowiedź uzasadnić. W przypadku odpowiedzi pozytywnej wyznaczyć chociaż jedno takie odwzorowanie.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.7

Znaleźć endomorfizm taki, żeby



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.8

Znaleźć odwzorowanie liniowe takie, żeby



oraz



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.9

Niech



będą dwoma wektorami przestrzeni i niech  oznacza podprzestrzeń generowaną przez wektory  oraz . Niech ponadto . Znaleźć odwzorowanie liniowe takie, żeby oraz .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.10

Niech  i  będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem  i niech będzie odwzorowaniem liniowym. Wykazać, że



jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.11

Niech oraz będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem . Niech będzie monomorfizmem. Wykazać, że istnieje takie odwzorowanie liniowe , że .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.12

Niech oraz będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem . Niech będzie epimorfizmem. Wykazać, że istnieje takie odwzorowanie liniowe , że .

Wskazówka
Rozwiązanie