Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 2: Przestrzenie wektorowe

Zadanie 2.1

Niech $\displaystyle V=(0,\infty )$. Definiujemy odwzorowania:

$\boxplus :V\times V\ni (a,b)\to a\boxplus b:=ab\in V,$

$\odot :\mathbb {R} \times V\ni (\lambda ,a)\to \lambda \odot a:=a^{\lambda }\in V,$

Wykazać, że czwórka $\displaystyle (V,\mathbb {R} ,\boxplus ,\odot )$ jest przestrzenią wektorową.

Wskazówka

Trzeba sprawdzić wszystkie warunki definicji przestrzeni wektorowej.

Rozwiązanie

Wiemy już (zadanie 1.1), że $\displaystyle (V,\boxplus )$ jest grupą przemienną. Wystarczy zatem sprawdzić warunki V2) - V5) z definicji przestrzeni wektorowej. W tym celu ustalmy dowolne $\displaystyle u,v\in V$ oraz $\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R}$.

i) Warunek V2)

$\displaystyle {\begin{aligned}\odot (\beta \odot v)=&\alpha \odot \left(v^{\beta }\right)\\=&\left(v^{\beta }\right)^{\alpha }\\=&v^{\alpha \beta }\\=&(\alpha \beta )\odot v.\end{aligned}}$

Uzyskana równość oznacza, że warunek V1) jest spełniony.

ii) Warunek V3)

$\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha +\beta )\odot v=&v^{(\alpha +\beta )}\\=&v^{\alpha }v^{\beta }\\=&v^{\alpha }\boxplus v^{\beta }\\=&\alpha \odot v\boxplus \beta \odot v.\end{aligned}}$

iii) Warunek V4)

$\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \odot (u\boxplus v)=&\alpha \odot (uv)\\=&(uv)^{\alpha }\\=&u^{\alpha }v^{\alpha }\\=&(\alpha \odot u)(\alpha \odot v)\\=&(\alpha \odot u)\boxplus (\alpha \odot v).\end{aligned}}$

iv) Warunek V5)

$\displaystyle 1\odot v=v^{1}=v.$

Zadanie 2.2

W zbiorze $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ określamy następujące działania:

$\displaystyle {\begin{aligned}\boxplus \colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\ni \left((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\right)&\to (x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2})\in \mathbb {R} ^{2},\\\odot \colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\ni (\lambda ,(x_{1},x_{2}))&\to (\lambda x_{1},\lambda x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}.\end{aligned}}$

Sprawdzić, czy czwórka $\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ,\boxplus ,\odot )$ jest przestrzenią wektorową. Sprawdzić, czy jej podprzestrzenią jest

a) $\displaystyle A=\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:x_{1}\geq 0,\ x_{2}\geq 0\}$,

b) $\displaystyle B=\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:x_{1}x_{2}\geq 0\}$,

c) $\displaystyle C=\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:x_{1}+x_{2}=0\}$.

Wskazówka

Możemy skorzystać z zadania 1.5 i badać tylko warunki dotyczące mnożenia wektorów przez skalary.

Rozwiązanie

Wiemy już (zadanie 1.5), że $\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},\boxplus )$ jest grupą przemienną. Wystarczy sprawdzić warunki V2) - V5) z definicji przestrzeni wektorowej. Ustalmy dowolne $\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{2}$ oraz $\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R}$. Niech $\displaystyle x=(x_{1},x_{2}),y=(y_{1},y_{2})$.

i) Warunek V2)

$\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \odot (\beta \odot x)&=\alpha \odot (\beta x_{1},\beta x_{2})\\&=(\alpha (\beta x_{1}),\alpha (\beta x_{2}))\\&=((\alpha \beta )x_{1},(\alpha \beta )x_{2})\\&=(\alpha \beta )\odot (x_{1},x_{2})\\&=(\alpha \beta )\odot x.\end{aligned}}$

ii) Warunek V3)

$\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha +\beta )\odot x&=((\alpha +\beta )x_{1},(\alpha +\beta )x_{2})\\&=(\alpha x_{1}+\beta x_{1},\alpha x_{2}+\beta x_{2})\\&=(\alpha x_{1},\alpha x_{2})\boxplus (\beta x_{1},\beta x_{2})\\&=\alpha \odot (x_{1},x_{2})\boxplus \beta \odot (x_{1},x_{2})\\&=\alpha \odot x\boxplus \beta \odot x.\end{aligned}}$

iii) Warunek V4)

$\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \odot (x\boxplus y)&=\alpha \odot ((x_{1},x_{2})\boxplus (y_{1},y_{2}))\\&=\alpha \odot (x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2})\\&=(\alpha (x_{1}+y_{1}),\alpha (x_{2}+y_{2}))\\&=(\alpha x_{1}+\alpha y_{1},\alpha x_{2}+\alpha y_{2})\\&=(\alpha x_{1},\alpha x_{2})\boxplus (\alpha y_{1},\alpha y_{2})\\&=\alpha \odot (x_{1},x_{2})+\alpha \odot (y_{1},y_{2})\\&=\alpha \odot x\boxplus \alpha \odot y.\end{aligned}}$

iv) Warunek V3)

$\displaystyle {\begin{aligned}1\odot x&=1\odot (x_{1},x_{2})\\&=(1x_{1},1x_{2})\\&=(x_{1},x_{2})\\&=x.\end{aligned}}$

Czwórka $\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ,\boxplus ,\odot )$ jest przestrzenią wektorową. $\displaystyle A$ nie jest podprzestrzenią wektorową, gdyż na przykład $\displaystyle (1,1)\in A$, natomiast $\displaystyle (-1)\odot (1,1)\notin A$. Zauważmy, że suma dwóch wektorów ze zbioru $\displaystyle A$ należy do $\displaystyle A$. $\displaystyle B$ nie jest podprzestrzenią wektorową, gdyż na przykład $\displaystyle (2,1),(-1,-2)\in B$, ale $\displaystyle (2,1)\boxplus (-1,-2)=(1,-1)\notin B$. Zauważmy, że iloczyn dowolnego wektora ze zbioru $\displaystyle B$ przez dowolną liczbę rzeczywistą znowu należy do $\displaystyle B$. W końcu dla dowolnych wektorów $\displaystyle (x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\in C$ mamy $\displaystyle x_{1}+x_{2}=0$ i $\displaystyle y_{1}+y_{2}=0$. Stąd dla dowolnych liczb rzeczywistych $\displaystyle \alpha$ i $\displaystyle \beta$ otrzymujemy $\displaystyle \alpha x_{1}+\alpha x_{2}=0$ oraz $\displaystyle \beta y_{1}+\beta y_{2}=0$ i po dodaniu stronami $\displaystyle (\alpha x_{1}+\beta y_{1})+(\alpha x_{2}+\beta y_{2})=0$, co oznacza, że $\displaystyle \alpha \odot (x_{1},x_{2})\boxplus \beta \odot (y_{1},y_{2})\in C$, czyli $\displaystyle C$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ,\boxplus ,\odot )$.

Zadanie 2.3

W zbiorze $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ określamy następujące działania:

$\displaystyle {\begin{aligned}\boxplus \colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\ni \left((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\right)&\to (x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2})\in \mathbb {R} ^{2},\\\odot \colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\ni (\lambda ,(x_{1},x_{2}))&\to (\lambda x_{1},-\lambda x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}.\end{aligned}}$

Sprawdzić, czy czwórka $\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ,\boxplus ,\odot )$ jest przestrzenią wektorową.

Wskazówka

Możemy skorzystać z zadania 1.5 i badać tylko warunki dotyczące mnożenia wektorów przez skalary.

Rozwiązanie

Zauważmy, że $\displaystyle 1\odot (1,1)=(1,-1)$, czyli nie jest spełniony warunek V4) z definicji przestrzeni wektorowej. A to oznacza, że czwórka $\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ,\boxplus ,\odot )$ nie jest przestrzenią wektorową.

Zadanie 2.4

Niech $\displaystyle +$ oraz $\displaystyle \cdot$ oznaczają zwykłe dodawanie i mnożenie w ciele liczb zespolonych. Definiujemy działanie:

$\displaystyle \odot \colon \mathbb {C} \times \mathbb {C} \ni (\lambda ,z)\to (\lambda )\cdot z\in \mathbb {C} .$

Sprawdzić, czy czwórka $\displaystyle (\mathbb {C} ,\mathbb {C} ,+,\odot )$ jest przestrzenią wektorową.

Wskazówka

Ponieważ $\displaystyle (\mathbb {C} ,+)$ jest grupą przemienną pozostaje tylko zbadać warunki dotyczące mnożenia wektorów przez skalary.

Rozwiązanie

Weźmy

$\displaystyle {\begin{aligned}\lambda =&2+\mathbf {i} ,\qquad \mu =&1-\mathbf {i} .\end{aligned}}$

Wtedy

$\displaystyle \lambda \mu =3-\mathbf {i} .$

Dla $\displaystyle z=\mathbf {i}$ mamy

$\displaystyle \lambda \odot (\mu \odot z)=(2+\mathbf {i} )\odot ((1-\mathbf {i} )\odot \mathbf {i} )=2(1\mathbf {i} )=2\mathbf {i} ,$

natomiast $\displaystyle (\lambda \mu )\odot z=3\mathbf {i}$. Tak więc warunek V2) z definicji przestrzeni wektorowej nie jest spełniony, zatem czwórka $\displaystyle (\mathbb {C} ,\mathbb {C} ,+,\odot )$ nie jest przestrzenią wektorową.

Zadanie 2.5

Niech $\displaystyle (V,\mathbb {K} ,+,\cdot )$ będzie dowolną przestrzenią wektorową i niech $\displaystyle \Theta \in V$ oznacza wektor zerowy. Wykazać, że dla dowolnego wektora $\displaystyle v\in V$ i dla dowolnego skalara $\displaystyle \lambda \in \mathbb {K}$ mamy

a) $\displaystyle 0\cdot v=\Theta$,

b) $\displaystyle \lambda \cdot \Theta =\Theta$,

c) $\displaystyle (-1)\cdot v=-v$.

Wskazówka

a) Skorzystajmy z faktu, że $\displaystyle 0+0=0$ i z rozdzielności mnożenia względem dodawania skalarów.

b) Skorzystajmy z faktu, że $\displaystyle \Theta +\Theta =\Theta$ i z rozdzielności mnożenia względem dodawania wektorów.

c) Skorzystajmy z rozdzielności mnożenia względem dodawania skalarów oraz z punktu a).

Rozwiązanie

a) $\displaystyle (0+0)\cdot v=0\cdot v$, zatem (dzięki rozdzielności mnożenia względem dodawania skalarów) mamy

$\displaystyle 0\cdot v+0\cdot v=0\cdot v,$

skąd po dodaniu stronami wektora przeciwnego do $\displaystyle 0\cdot v$ otrzymujemy $\displaystyle 0\cdot v=\Theta$.

b) Tu postępujemy podobnie jak w podpunkcie a), tylko tym razem korzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania wektorów. Mamy wtedy

$\displaystyle \lambda \cdot (\Theta +\Theta )=\lambda \cdot \Theta ,$

czyli

$\displaystyle \lambda \cdot \Theta +\lambda \cdot \Theta =\lambda \cdot \Theta ,$

a stąd

$\displaystyle \lambda \cdot \Theta =\Theta .$

c) Mamy

$\displaystyle (-1)\cdot v+v=(-1)\cdot v+1\cdot v=(-1+1)\cdot v=0\cdot v=\Theta .$

Stąd wnioskujemy, że $\displaystyle (-1)\cdot v$ jest wektorem przeciwnym do $\displaystyle v$.

Zadanie 2.6

Niech $\displaystyle V$ będzie dowolną przestrzenią wektorową i niech $\displaystyle U$ oraz $\displaystyle W$ będą jej podprzestrzeniami. Wykazać, że

$\displaystyle U+W=\{u+w:u\in U{\text{ i }}w\in W\}$

też jest podprzestrzenią przestrzeni $\displaystyle V$. Wykazać, że jest to najmniejsza (ze względu na zawieranie) podprzestrzeń przestrzeni $\displaystyle V$ zawierająca $\displaystyle U$ i $\displaystyle W$.

Wskazówka

Trzeba sprawdzić wszystkie warunki definicji podprzestrzeni. Aby dowieść, że jest to najmniejsza (ze względu na zawieranie) podprzestrzeń przestrzeni $\displaystyle V$ zawierająca $\displaystyle U$ i $\displaystyle W$ trzeba pokazać, że każda podprzestrzeń zawierająca $\displaystyle U$ i $\displaystyle W$ zawiera również $\displaystyle U+W$.

Rozwiązanie

Najpierw wykażemy, że $\displaystyle U+W$ jest podprzestrzenią przestrzeni $\displaystyle V$. Zauważmy, że $\displaystyle U+W$ musi być zbiorem niepustym, ponieważ $\displaystyle 0\in U$ oraz $\displaystyle 0\in W$, zatem $\displaystyle 0=0+0\in U+W$. Weźmy dowolne dwa elementy $\displaystyle x,y\in U+W$ oraz skalar $\displaystyle \lambda$. Z definicji zbioru $\displaystyle U+W$ znajdziemy takie $\displaystyle u_{x},u_{y}\in U$ oraz $\displaystyle w_{x},w_{y}\in W$, że $\displaystyle x=u_{x}+w_{x}$ oraz $\displaystyle y=u_{y}+w_{y}$. Stąd

$\displaystyle x+y=(u_{x}+w_{x})+(u_{y}+w_{y})=(u_{x}+u_{y})+(w_{x}+w_{y}).$

Dzięki temu, że zarówno $\displaystyle U$ jak i $\displaystyle W$ jest podprzestrzenią, a zatem zbiorem zamkniętym ze względu na dodawanie wektorów otrzymujemy, że

$\displaystyle u_{x}+u_{y}\in U{\text{ oraz }}w_{x}+w_{y}\in W,$

co oznacza, że $\displaystyle x+y\in U+W$. Podobnie

$\displaystyle \lambda x=\lambda (u_{x}+w_{x})=\lambda u_{x}+\lambda w_{x}$

i dzięki temu, że $\displaystyle \lambda u_{x}\in U$ oraz $\displaystyle \lambda w_{x}\in W$ mamy $\displaystyle \lambda x\in U+W$.

Niech teraz $\displaystyle Z$ będzie dowolną podprzestrzenią przestrzeni $\displaystyle V$ zawierającą $\displaystyle U$ i $\displaystyle W$. Wtedy dla dowolnych wektorów $\displaystyle u\in U,\ w\in W$ mamy $\displaystyle u,w\in Z$, a więc także $\displaystyle u+w\in Z$, a stąd $\displaystyle U+W\subset Z$.

Zadanie 2.7

Niech $\displaystyle V$ będzie dowolną przestrzenią wektorową i niech $\displaystyle U$ oraz $\displaystyle W$ będą jej podprzestrzeniami. Wykazać, że zbiór $\displaystyle U\cup W$ jest podprzestrzenią przestrzeni $\displaystyle V$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle U\subset W$ lub $\displaystyle W\subset U.$

Wskazówka

W dowodzie implikacji

$\displaystyle U\cup W\$ jest podprzestrzenią przestrzeni $\displaystyle \ V\ \Longrightarrow \ U\subset W\$ lub $\displaystyle W\subset U$

spróbujmy rozumowania nie wprost.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że $\displaystyle U\cup W$ jest podprzestrzenią przestrzeni $\displaystyle V$ i że $\displaystyle U\not \subset W$ oraz $\displaystyle W\not \subset U$. Weźmy $\displaystyle u\in UminusW$ oraz $\displaystyle w\in WminusU$. Wtedy, na mocy założenia, $\displaystyle u+w\in U\cup W$. Oznacza to, że $\displaystyle u+w\in U$ lub $\displaystyle u+w\in W$. Przypuśćmy, że zachodzi pierwsza z tych możliwości. Wtedy

$\displaystyle w=(u+w)-u\in U,$

co pozostaje w sprzeczności z wyborem $\displaystyle w$. Jeśli natomiast $\displaystyle u+w\in W$, to otrzymujemy

$\displaystyle u=(u+w)-w\in W$

i znów mamy sprzeczność z wyborem wektora $\displaystyle u$. Dowód implikacji w jedną stronę jest zakończony.

Załóżmy, że $\displaystyle U\subset W$. Wtedy $\displaystyle U\cup W=W$ jest podprzestrzenią przestrzeni $\displaystyle V$. Jeżeli $\displaystyle W\subset U$, to $\displaystyle U\cup W=U$ jest także podprzestrzenią przestrzeni $\displaystyle V$.

Zadanie 2.8

Niech $\displaystyle (V,\mathbb {K} ,+,\cdot )$ będzie dowolną przestrzenią wektorową oraz niech $\displaystyle X$ będzie zbiorem niepustym. W zbiorze

$\displaystyle V^{X}:=\{f\ |\ f:X\to V\}$

wprowadzamy działanie wewnętrzne $\displaystyle \boxplus$ oraz mnożenie przez skalary $\displaystyle \odot$ w następujący sposób:

$\displaystyle {\begin{aligned}f\boxplus g\colon X\ni x\to f(x)+g(x)\in V,\quad f,g\in V^{X}.\\(\lambda \odot f)\colon X\ni x\to \lambda \cdot f(x)\in V,\quad \lambda \in \mathbb {K} ,\quad f\in V^{X}.\end{aligned}}$

Wykazać, że $\displaystyle (V^{X},\mathbb {K} ,\boxplus ,\odot )$ jest przestrzenią wektorową.

Dowód Komentarz

W szczególności, jeśli $\displaystyle V=\mathbb {K}$, to okaże się, że przestrzenią wektorową jest czwórka $\displaystyle (\mathbb {K} ^{X},\mathbb {K} ,\boxplus ,\odot )$, a jeśli dodatkowo jako $\displaystyle X$ weźmiemy zbiór $\displaystyle I_{n}=\{1,2,\ldots ,n\}$, gdzie $\displaystyle n$ jest liczbą naturalną dodatnią, to natychmiast otrzymamy, że przestrzenią wektorową jest $\displaystyle (\mathbb {K} ^{n},\mathbb {K} ,+,\cdot )$ z działaniami określonymi następująco:

$\displaystyle {\begin{aligned}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})+(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})&=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n}),\\\lambda \cdot (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n}).\end{aligned}}$

Wskazówka

Możemy skorzystać z zadania 1.6 i badać tylko warunki dotyczące mnożenia wektorów przez skalary.

Rozwiązanie

Na podstawie rozwiązania zadania 1.6 stwierdzamy, że jest spełniony warunek V1) z definicji przestrzeni wektorowej. Pozostaje nam wykazać, że są spełnione warunki V2) - V5). Oto dowody poszczególnych warunków:

i) Warunek V2)

Weźmy dowolne $\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {K}$ oraz dowolne odwzorowanie $\displaystyle f\in V^{X}$. Wystarczy pokazać, że dla każdego $\displaystyle x\in X$ zachodzi równość

$\displaystyle ((\alpha \odot (\beta \odot f))(x)=((\alpha \beta )\odot f)(x).$

Weźmy zatem dowolny element $\displaystyle x\in X$. Wychodząc od lewej strony mamy

$\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \odot (\beta \odot f))(x)&=\alpha \cdot (\beta \odot f)(x)\\&=\alpha \cdot (\beta \cdot f(x))\\&=(\alpha \beta )\cdot f(x)\\&=((\alpha \beta )\odot f)(x),\end{aligned}}$

co, wobec dowolności wyboru elementu $\displaystyle x$, kończy dowód.

ii) Warunek V3)

Weźmy dowolne $\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {K}$ oraz dowolne odwzorowanie $\displaystyle f\in V^{X}$. Wystarczy pokazać, że dla każdego $\displaystyle x\in X$ zachodzi równość

$\displaystyle ((\alpha +\beta )\odot f)(x)=((\alpha \odot f)\boxplus (\beta \odot f))(x).$

Weźmy zatem dowolny element $\displaystyle x\in X$. Wychodząc od lewej strony mamy

$\displaystyle {\begin{aligned}((\alpha +\beta )\odot f)(x)&=(\alpha +\beta )\cdot f(x)\\&=(\alpha \cdot f(x))+(\beta \cdot f(x))\\&=(\alpha \odot f)(x)+(\beta \odot f)(x)\\&=((\alpha \odot f)\boxplus (\beta \odot f))(x),\end{aligned}}$

co kończy dowód.

iii) Warunek V4)

Weźmy dowolne $\displaystyle \alpha \in \mathbb {K}$ oraz dowolne odwzorowania $\displaystyle f,g\in V^{X}$. Trzeba pokazać, że dla dowolnego $\displaystyle x\in X$

$\displaystyle (\alpha \odot (f\boxplus g))(x)=((\alpha \odot f)\boxplus (\alpha \odot g))(x).$

Po ustaleniu dowolnego elementu $\displaystyle x\in X$ postępujemy podobnie jak dotychczas i otrzymujemy

$\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha \odot (f\boxplus g))(x)&=\alpha \cdot ((f\boxplus g))(x)\\&=\alpha \cdot (f(x)+g(x))\\&=(\alpha \cdot f(x))+(\alpha \cdot g(x))\\&=(\alpha \odot f)(x)+(\alpha \odot g)(x)\\&=((\alpha \odot f)\boxplus (\alpha \odot g))(x).\end{aligned}}$

iv) Warunek V5)

Weźmy dowolne odwzorowanie $\displaystyle f\in V^{X}$ i dowolny element $\displaystyle x\in X$. Wtedy

$\displaystyle (1\odot f)(x)=1\cdot f(x)=f(x),$

co należało wykazać.

Zadanie 2.9

Niech $\displaystyle V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych i niech $\displaystyle +$ oznacza standardowe dodawanie w grupie addytywnej $\displaystyle V\times V$. Dla liczby zespolonej $\displaystyle \zeta =\alpha +\mathbf {i} \beta$ oraz elementu $\displaystyle (u,v)\in V\times V$ definiujemy iloczyn

$\displaystyle \zeta \odot (u,v):=(\alpha u-\beta v,\alpha v+\beta u).$

Wykazać, że $\displaystyle (V\times V,\mathbb {C} ,+,\odot )$ jest przestrzenią wektorową.

Wskazówka

Można skorzystać z zadania 1.5 i wówczas wystarczy sprawdzić warunki V2)-V5) z definicji przestrzeni wektorowej.

Rozwiązanie

Na mocy zadania 1.5 wiemy, że jeżeli $\displaystyle (V,+)$ jest grupą przemienną, to $\displaystyle V\times V$ ze standardowo wprowadzonym dodawaniem w iloczynie kartezjańskim jest także grupą przemienną.

Aby wykazać, że $\displaystyle (V\times V,\mathbb {C} ,+,\odot )$ jest przestrzenią wektorową pozostaje zatem sprawdzić, że spełnione są warunki V2) - V5) z definicji przestrzeni wektorowej.

Ustalmy dowolne dwie liczby zespolone

$\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=\alpha +\mathbf {i} \beta ,\qquad \vartheta &=\gamma +\mathbf {i} \delta \end{aligned}}$

oraz dwa wektory $\displaystyle (u,v)$, $\displaystyle (w,z)$ należące do przestrzeni $\displaystyle V\times V$.

i) Warunek V2)

Zauważmy, że z definicji mnożenia liczb zespolonych wynika, że

$\displaystyle {\begin{aligned}(\zeta \vartheta )&=(\alpha \gamma -\beta \delta )+(\alpha \delta +\beta \gamma )\mathbf {i} ,\end{aligned}}$

zatem

$\displaystyle {\begin{aligned}(\zeta \vartheta )\odot (u,v)&=((\alpha \gamma -\beta \delta )u-(\alpha \delta +\beta \gamma )v,(\alpha \gamma -\beta \delta )v+(\alpha \delta +\beta \gamma )u).\end{aligned}}$

Z drugiej strony

$\displaystyle {\begin{aligned}\zeta \odot (\vartheta \odot (u,v))&=\zeta \odot (\gamma u-\delta v,\gamma v+\delta u)\\&=(\alpha (\gamma u-\delta v)-\beta (\gamma v+\delta u),\alpha (\gamma v+\delta u)+\beta (\gamma u-\delta v))\\&=((\alpha \gamma -\beta \delta )u-(\alpha \delta +\beta \gamma )v,(\alpha \gamma -\beta \delta )v+(\alpha \delta +\beta \gamma )u).\end{aligned}}$

ii) Warunek V3)

$\displaystyle {\begin{aligned}(\zeta +\vartheta )\odot (u,v)&=((\alpha +\gamma )+\mathbf {i} (\beta +\delta ))\odot (u,v)\\&=((\alpha +\gamma )u-(\beta +\delta )v,(\alpha +\gamma )v+(\beta +\delta )u)\\&=(\alpha u-\beta v,\alpha v+\beta u)+(\gamma u-\delta v,\gamma v+\delta u)\\&=(\zeta \odot (u,v))+(\vartheta \odot (u,v)).\end{aligned}}$

iii) Warunek V4)

$\displaystyle {\begin{aligned}\zeta \odot ((u,v)+(w,z))&=\zeta \odot (u+w,v+z)\\&=(\alpha (u+w)-\beta (v+z),\alpha (v+z)+\beta (u+w))\\&=(\alpha u-\beta v,\alpha v+\beta u)+(\alpha w-\beta z,\alpha z+\beta w)\\&=(\zeta \odot (u,v))+(\zeta \odot (w,z)).\end{aligned}}$

iv) Warunek V5)

Korzystając z tego, że $\displaystyle 1\cdot w=w$ oraz $\displaystyle 0\cdot w=0$ dla każdego wektora w przestrzeni wektorowej $\displaystyle V$ widzimy, że

$\displaystyle {\begin{aligned}1\odot (u,v)&=(1\cdot u-0\cdot v,1\cdot v+0\cdot u)\\&=(u,v).\end{aligned}}$

Zadanie 2.10

Niech $\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}$ i niech

  $P=\{f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }:f$  jest wielomianem $\},$
  $U_{n}=\{f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }:f$  jest wielomianem stopnia  $n\},$
  $W_{n}=\{f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }:f$  jest wielomianem stopnia nie większego niż  $n\}.$

Wykazać, że $\displaystyle P$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ z działaniami określonymi w zadaniu 2.8. Sprawdzić czy dla dowolnego $\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}$

a) $\displaystyle U_{n}$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $\displaystyle P$,

b) $\displaystyle W_{n}$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $\displaystyle P$.

Wskazówka

Wystarczy sprawdzić, czy dla dowolnych $\displaystyle f,g\in P\ (U_{n},\ W_{n})$ i $\displaystyle \alpha \in \mathbb {R}$ suma $\displaystyle f+g$ oraz iloczyn $\displaystyle \alpha f$ należą do $\displaystyle P\ (U_{n},\ W_{n})$. Zastanówmy się też jaki może być stopień wielomianu będącego sumą dwóch wielomianów tego samego stopnia.

Rozwiązanie

Zauważmy, że suma dwóch wielomianów jest wielomianem, podobnie iloczyn wielomianu przez liczbę. Elementami $\displaystyle U_{0}$ są wszystkie funkcje stałe i tylko takie, a więc $\displaystyle U_{0}$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $\displaystyle P$. Natomiast dla ustalonego $\displaystyle n\geq 1$ weźmy wielomiany $\displaystyle f$ i $\displaystyle g$ dane wzorami:

$\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=x^{n}+1,\qquad g(x)&=-x^{n}.\end{aligned}}$

Wtedy $\displaystyle (f+g)(x)=1$ dla wszystkich $\displaystyle x\in \mathbb {R}$, a zatem $\displaystyle f+g$ nie jest wielomianem stopnia $\displaystyle n$, czyli dla żadnego $\displaystyle n\geq 1$ zbiór $\displaystyle U_{n}$ nie jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $\displaystyle P$. Łatwo widać, że $\displaystyle W_{n}$ jest zamknięta ze względu na dodawanie i mnożenie przez skalary. Jest tak, ponieważ przy ustalonym $\displaystyle n\geq 0$ każdy wielomian stopnia co najwyżej $\displaystyle n$ można jednoznacznie zapisać (dopisując w razie potrzeby jednomiany z zerowymi współczynnikami) w postaci:

$\displaystyle w(x)=\alpha _{n}x^{n}+\alpha _{n-1}x^{n-1}+\ldots +\alpha _{1}x+\alpha _{0},$

gdzie $\displaystyle \alpha _{0},\ldots ,\alpha _{n}$ są liczbami rzeczywistymi, przy czym $\displaystyle \alpha _{0}=\ldots =\alpha _{n}=0$ dla wielomianu zerowego a jeżeli stopień $\displaystyle w$ wynosi $\displaystyle m$ i $\displaystyle m<n$, to

$\displaystyle \alpha _{m+1}=\ldots =\alpha _{n}=0.$

Z drugiej strony każdy wielomian, który daje się przedstawić w powyższej postaci jest stopnia co najwyżej $\displaystyle n$. Teraz jeżeli $\displaystyle f$ i $\displaystyle g$ są wielomianami należącymi do zbioru $\displaystyle W_{n}$, to

$\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0},\\g(x)&=b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\ldots +b_{1}x+b_{0}\end{aligned}}$

i wówczas

$\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\&=(a_{n}+b_{n})x^{n}+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+\ldots +(a_{1}+b_{1})x+a_{0}+b_{0}\end{aligned}}$

jest wielomianem stopnia nie większego niż $\displaystyle n$. Weźmy teraz $\displaystyle \alpha \in \mathbb {R}$. Mamy

$\displaystyle (\alpha f)(x)=\alpha a_{n}x^{n}+\ldots +\alpha a_{0}$

i znów otrzymujemy wielomian stopnia nie większego niż $\displaystyle n$.