Tekst źródłowy strony Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 13: Przestrzenie afiniczne I

==={{kotwica|zad 13.1|Zadanie 13.1}}===
Niech


<center><math>X = \{ (x_1 , x_2 , x_3 ) \in \mathbb{R}^3 : x_1 - 3x_2 = 3,\, x_3 + x_2 =
5 \}</math></center>


Niech


<center><math>\omega : X \times X \ni ((x_1 , x_2 , x_3 ), (y_1 , y_2 , y_3 ))
\to y_2 - x_2 \in \mathbb{R};</math></center>


<center><math>\delta \colon X \times \mathbb{R}  \ni ((x_1 , x_2 , x_3 ),\alpha ) \to  (x_1 + 3\alpha ,
x_2 + \alpha , x_3 - \alpha) \in \mathbb{R}^3</math>.</center>


Wykazać, że <math>\delta</math> jest odwzorowaniem przeprowadzającym zbiór
<math>X\times \mathbb{R}</math> w&nbsp;zbiór <math>X</math>.&nbsp;Wykazać, że <math>( X, \mathbb{R},\omega,\delta )</math>
jest przestrzenią afiniczną.

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> <math>\mathbb{R}</math> traktujemy jako przestrzeń wektorową nad ciałem <math>\mathbb{R}</math>. Oznaczenie <math>\omega (x,y)</math> stosujemy zamiast oznaczenia <math>\overrightarrow{xy}</math>, a&nbsp;<math>\delta(x,v)</math> zamiast oznaczenia <math>x+v</math> z wykładu XIII.
</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Sprawdzimy najpierw, czy <math>\delta</math>&nbsp;jest odwzorowaniem przeprowadzającym zbiór <math>X\times\mathbb{R}</math> w&nbsp;zbiór <math>X</math>.&nbsp;W&nbsp;tym celu ustalmy dowolną liczbę rzeczywistą <math>\alpha</math>&nbsp;oraz dowolny punkt <math>\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\in X</math>. Musimy wykazać, że współrzędne punktu


<center><math>\delta(\mathbf{x},\alpha)=(x_1 + 3\alpha \,
x_2 + \alpha \, x_3 - \alpha)
</math></center>


spełniają układ równań opisujący zbiór <math>X</math>,&nbsp;czyli


<center><math>\left\{
\begin{array} {ccrcc}
x_1 &-& 3x_2 &= 3\\
x_3 &+& x_2 &= 5
\end{array} 
\right.</math></center>


Zauważmy, że rozwiązania tego równania są postaci


<center><math>(3,0,5)+s(3,1,-1)
</math></center>


Wstawiając współrzędne punktu <math>\delta(\mathbf{x},\alpha)</math> do
pierwszego równania powyższego układu otrzymujemy:


<center><math>x_1 + 3\alpha  - 3(x_2 + \alpha) = x_1 -3x_2 =3
</math></center>


Wstawiając współrzędne punktu <math>\delta(\mathbf{x},\alpha)</math> do
drugiego równania powyższego układu otrzymujemy:


<center><math>x_3 - \alpha + x_2 + \alpha = x_3 +  x_2 = 5
</math></center>


Wykazaliśmy zatem, że <math>\delta(\mathbf{x},\alpha)\in X</math> dla
wszystkich <math>\alpha\in\mathbb{R}</math>&nbsp;oraz <math>\mathbf{x}\in X</math>. Aby udowodnić, że
<math>X</math>&nbsp;jest przestrzenią afiniczną o&nbsp;kierunku <math>\mathbb{R}</math>&nbsp;musimy uzasadnić,
że spełnione są następujące warunki:
; i) dla dowolnego <math>\mathbf{x}\in X</math> oraz <math>\alpha\in\mathbb{R}</math> równość

<center><math>\delta(\mathbf{x},\alpha)=\mathbf{y}
</math></center>


zachodzi wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy


<center><math>\omega(\mathbf{x}\,\mathbf{y})=\alpha
</math></center>


;ii) dla dowolnych <math>\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in X</math>

<center><math>\omega(\mathbf{x},\mathbf{y})+\omega(\mathbf{y},\mathbf{z})=\omega(\mathbf{x},\mathbf{z})
</math></center>


W&nbsp;celu sprawdzenia pierwszego z&nbsp;tych warunków ustalmy dowolny
<math>\mathbf{x}\in X</math> oraz <math>\alpha\in\mathbb{R}</math>. Mamy wówczas


<center><math>\delta(\mathbf{x},\alpha)=(x_1 + 3\alpha \,
x_2 + \alpha , x_3 - \alpha)=\mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)
</math></center>


wtedy i&nbsp;tylko wtedy


{{wzor|wzor1|*|
<math>\begin{align} x_1 + 3\alpha &=y_1,&
x_2 + \alpha&=y_2,&  x_3 - \alpha&=y_3
\end{align}</math>}}


Z&nbsp;definicji przestrzeni <math>X</math>&nbsp;wynika, że współrzędne punktu
<math>\mathbf{y}</math> są jednoznacznie wyznaczone przez jedną z&nbsp;nich, np.
drugą i&nbsp;wówczas


<center><math>\mathbf{y}=(3+3y_2,y_2,5-y_2)
</math></center>


Wynika stąd, że trzy równości oznaczone&nbsp;([[#wzor1|*]]) są równoważne
jednej


<center><math>x_2+\alpha=y_2
</math></center>


czyli


<center><math>y_2-x_2=\alpha
</math></center>


Ta ostatnia równość zachodzi wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy


<center><math>\omega(\mathbf{x},\mathbf{y})=\alpha
</math></center>


co kończy dowód pierwszego z&nbsp;warunków występujących w&nbsp;definicji
przestrzeni afinicznej. Dla dowodu drugiego warunku ustalmy
<math>\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in X</math>, gdzie


<center><math>\begin{align} \mathbf{x}&=(x_1,x_2,x_3),&\mathbf{y}&=(y_1,y_2,y_3),&\mathbf{z}&=(z_1,z_2,z_3)
\end{align}</math></center>


Wówczas


<center><math>\begin{align} \omega(\mathbf{x},\mathbf{y})+\omega(\mathbf{y},\mathbf{z})&=(y_2-x_2)+(z_2-y_2)=z_2-x_2 \\
&=\omega(\mathbf{x},\mathbf{z})
\end{align}</math></center>


co było do okazania. Udowodniliśmy, że <math>( X, \mathbb{R},\omega,\delta )</math> jest przestrzenią afiniczną.
</div></div>

==={{kotwica|zad 13.2|Zadanie 13.2}}===
Niech


<center><math>X = \{ (x_1 , x_2 , x_3 ) \in \mathbb{R}^3 : x_1 - 2x_2 + x_3 =
1 \}</math></center>


Niech


<center><math>\omega : X \times X \ni ((x_1 , x_2 , x_3 ), (y_1 , y_2 , y_3
)) \to (x_3 - y_3, y_2 - x_2) \in \mathbb{R}^2;</math></center>


<center><math>\delta\colon  X \times \mathbb{R}^2  \ni ((\alpha,\beta), (x_1 , x_2 , x_3 )) \to
(x_1 + \alpha + 2 \beta,
x_2 + \beta , x_3 - \alpha) \in \mathbb{R}^3</math>.</center>


Wykazać, że <math>\delta\colon X \times \mathbb{R}^2
\to X</math>.  Wykazać, że <math>( X, \mathbb{R}^2, \omega ,\delta)</math> jest
przestrzenią afiniczną.

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  
Oznaczenie <math>\omega (x,y)</math> stosujemy zamiast <math>\overrightarrow{xy}</math>,
a <math>\delta(x,v)</math> zamiast oznaczenia <math>x+v</math> z wykładu XIII.
</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  
Zauważmy najpierw, że


<center><math>\begin{align} X &= \{ (x_1 , x_2 , x_3 ) \in \mathbb{R}^3 : x_1 - 2x_2 + x_3 =1\}\\
&=(1,0,0)+\text{ lin }\{(2,1,0),(-1,0,1)\},
\end{align}</math></center>


zatem współrzędne punktu <math>\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\in X</math> są
jednoznacznie wyznaczone przez drugą i&nbsp;trzecią współrzędną wzorem


<center><math>x_1=1+2x_2-x_3</math></center>


Sprawdzimy, czy <math>\delta</math>&nbsp;jest odwzorowaniem przeprowadzającym zbiór
<math>X\times\mathbb{R}^2</math> w&nbsp;zbiór <math>X</math>.&nbsp;W&nbsp;tym celu ustalmy dowolne liczby
rzeczywiste <math>\alpha</math>&nbsp;i&nbsp;<math>\beta</math>&nbsp;oraz dowolny punkt
<math>\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\in X</math>. Wykażemy, że współrzędne punktu


<center><math>\delta(\mathbf{x},(\alpha,\beta))=(x_1 + \alpha + 2 \beta,
x_2 + \beta , x_3 - \alpha)
</math></center>


spełniają równanie opisujące zbiór <math>X</math>,&nbsp;czyli


<center><math>x_1 + \alpha + 2 \beta-2( x_2 + \beta)+  x_3 -
\alpha=x_1-2x_2+x_3=1</math></center>


Zatem <math>\delta(\mathbf{x},(\alpha,\beta))\in X</math> dla
wszystkich <math>(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2</math>&nbsp;oraz <math>\mathbf{x}\in X</math>. Aby
udowodnić, że <math>X</math>&nbsp;jest przestrzenią afiniczną o&nbsp;kierunku
<math>\mathbb{R}^2</math>&nbsp;musimy uzasadnić, że spełnione są następujące warunki:
; i) dla dowolnego <math>\mathbf{x}\in X</math> oraz <math>(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2</math> równość


<center><math>\delta(\mathbf{x},(\alpha,\beta))=\mathbf{y}
</math></center>


zachodzi wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy


<center><math>\omega(\mathbf{x},\mathbf{y})=(\alpha,\beta)</math></center>


; ii) dla dowolnych <math>\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in X</math>


<center><math>\omega(\mathbf{x},\mathbf{y})+\omega(\mathbf{y},\mathbf{z})=\omega(\mathbf{x},\mathbf{z})
</math></center>


Aby sprawdzić, że zachodzi pierwszy z&nbsp;powyższych warunków ustalmy
dowolny punkt <math>\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\in X</math> oraz
<math>(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2</math>. Z&nbsp;definicji odwzorowania <math>\delta</math>&nbsp;mamy


<center><math>\delta(\mathbf{x},(\alpha,\beta))=(x_1 + \alpha + 2 \beta,
x_2 + \beta , x_3 - \alpha)=\mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)</math></center>


Na mocy&nbsp;naszej obserwacji na temat zbioru <math>X</math>&nbsp;wnosimy, że powyższa
równość zachodzi wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy


<center><math>\begin{align} x_2 + \beta &=y_2,&  x_3 - \alpha&=y_3.
\end{align}</math></center>


Przekształcając powyższe równości otrzymujemy


<center><math>\begin{align} y_2-x_2 &=\beta,&  x_3 - y_3&=\alpha,
\end{align}</math></center>


co zachodzi wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy


<center><math>\omega(\mathbf{x},\mathbf{y})=(\alpha,\beta)</math></center>


Dowód pierwszego z&nbsp;warunków występujących w&nbsp;definicji przestrzeni
afinicznej jest zakończony. Dla dowodu drugiego warunku ustalmy
<math>\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in X</math>, gdzie


<center><math>\begin{align} \mathbf{x}&=(x_1,x_2,x_3),&\mathbf{y}&=(y_1,y_2,y_3),&\mathbf{z}&=(z_1,z_2,z_3).
\end{align}</math></center>


Wówczas


<center><math>\begin{align} \omega(\mathbf{x},\mathbf{y})+\omega(\mathbf{y},\mathbf{z})&=((x_3-y_3),(y_2-x_2))+((y_3-z_3),(z_2-y_2))\\
&=((x_3-z_3),(z_2-x_2))\\
&=\omega(\mathbf{x},\mathbf{z}),
\end{align}</math></center>


co było do okazania. Udowodniliśmy, że <math>( X, \mathbb{R}^2,\omega,\delta )
</math> jest przestrzenią afiniczną.
</div></div>

==={{kotwica|zad 13.3|Zadanie 13.3}}===
W przestrzeni afinicznej <math>\mathbb{R}^3</math> ( o kierunku <math>\mathbb{R}^3</math>) dane są
punkty


<center><math>\begin{align} a&=(1,0,-3),&b&=(2,1,-3),&c&=(1,1,-2),&d&=(2,0,-2 ).
\end{align}</math></center>


Wykazać, że są one afinicznie niezależne. Znaleźć współrzędne punktu


<center><math>x= (2,-4,-4)</math></center>


w&nbsp;układzie bazowym <math>( a; \overrightarrow{ab},
\overrightarrow{ac}, \overrightarrow{ad})</math>.

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  
Zbadać liniową niezależność wektorów <math>\overrightarrow{ab},
\overrightarrow{ac}, \overrightarrow{ad}</math>.
</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Z&nbsp;twierdzenia podanego na wykładzie wynika, że punkty <math>a,b,c,d</math> są afinicznie niezależne wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy utworzonej poprzez dopisanie pierwszego wiersza złożonego z&nbsp;samych jedynek do macierzy, w&nbsp;której
kolumnach wpisano współrzędne punktów <math>a</math>,&nbsp;<math>b</math>,&nbsp;<math>c</math>&nbsp;i&nbsp;<math>d</math>&nbsp;jest różny od zera, czyli


<center><math>\det\left[\begin{array} {rrrr}
1& 1& 1& 1 \\
1& 2& 1& 2 \\
0& 1& 1& 0 \\
-3&-3&-2&-2
\end{array} 
\right]\neq 0</math></center>


Ponieważ wyznacznik powyższej macierzy jest równy <math>2</math>,&nbsp;zatem punkty
<math>a</math>,&nbsp;<math>b</math>,&nbsp;<math>c</math>&nbsp;i&nbsp;<math>d</math>&nbsp;są afinicznie niezależne. Aby znaleźć
współrzędne <math>(\alpha,\beta,\gamma)</math> punktu <math>x= (2,-4,-4)</math>
w&nbsp;układzie bazowym <math>( a; \overrightarrow{ab}, \overrightarrow{ac},
\overrightarrow{ad})</math> musimy wyznaczyć liczby rzeczywiste
<math>\alpha</math>,&nbsp;<math>\beta</math>&nbsp;i&nbsp;<math>\gamma</math>&nbsp;takie, że


<center><math>x=a+\alpha\overrightarrow{ab}+\beta\overrightarrow{ac}+\gamma
\overrightarrow{ad})</math>,</center>


czyli


<center><math>(2,-4,-4)=(1,0,-3)+\alpha (1,1,0)+\beta(0,1,1)+\gamma(1,0,1)</math></center>


Oznacza to, że liczby <math>\alpha</math>,&nbsp;<math>\beta</math>&nbsp;i&nbsp;<math>\gamma</math>&nbsp;są rozwiązaniami
układu równań:


<center><math>\left\{
\begin{array} {rcrcccc}
\alpha & &     &+&\gamma &=  1\\
\alpha &+&\beta& &       &= -4\\
&+&\beta&+&\gamma &= -1
\end{array} 
\right.</math></center>


Rozwiązując powyższy układ otrzymujemy


<center><math>\begin{align} \alpha&= -1,&\beta &=-3,& \gamma&=2.
\end{align}</math></center>


</div></div>

==={{kotwica|zad 13.4|Zadanie 13.4}}===
W przestrzeni afinicznej  <math>\mathbb{R}^4</math> (o&nbsp;kierunku <math>\mathbb{R}^4</math>) zbadać
afiniczną niezależność punktów
; a) <math>(-1,1,0,1)</math>, <math>(0,0,2,0)</math>, <math>(3,1,-5,-4)</math>, <math>(-2,-2,3,3)</math>;
; b) <math>(1,1,1,0)</math>, <math>(0,0,6,-6)</math>, <math>(2,3,6,-6)</math>, <math>(3,4,1,0)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  
Przydatne twierdzenie, z&nbsp;którego można skorzystać znajduje się
w&nbsp;wykładzie XIII.
</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Aby zbadać afiniczną niezależność punktów <math>u_0,u_1,u_2,u_3</math> tworzymy macierz <math>V</math>, której kolumnami są wektory <math>v_1=\overrightarrow{u_0u_1}</math>, <math>v_2=\overrightarrow{u_0u_2}</math>, <math>v_3=\overrightarrow{u_0u_3}</math>, a&nbsp;następnie badamy jej rząd.
; a) Niech

<center><math>\begin{align} u_0&= (-1,1,0,1),&u_1&=(0,0,2,0),\\
u_2&=(3,1,-5,-4),&u_3&=(-2,-2,3,3).
\end{align}</math></center>


Wówczas


<center><math>\begin{align} v_1&= (1,-1,2,-1),&v_2&=(4,0,-5,-5),&v_3&=(-1,-3,3,2).
\end{align}</math></center>


Rząd macierzy


<center><math>\left[
\begin{array} {rrr}
1 &  4 & -1\\
-1 &  0 & -3\\
2 & -5 &  3\\
-1 & -5 &  2
\end{array} \right]
</math></center>


jest równy <math>3</math> zatem nasze punkty są afinicznie niezależne.
; b) Niech

<center><math>\begin{align} u_0&= (1,1,1,0),&u_1&=(0,0,6,-6),\\
u_2&=(2,3,6,-6),&u_3&=(3,4,1,0).
\end{align}</math></center>


Wówczas


<center><math>\begin{align} v_1&= (-1,-1,5,-6),&v_2&=(1,2,5,-6),&v_3&=(2,3,0,0).
\end{align}</math></center>


Rząd macierzy


<center><math>\left[
\begin{array} {rrr}
-1 &  1 & 2\\
-1 &  2 & 3\\
5 &  5 & 0\\
-6 & -6 & 0
\end{array} \right]
</math></center>


jest równy <math>2</math> zatem nasze punkty nie są afinicznie
niezależne.

</div></div>

==={{kotwica|zad 13.5|Zadanie 13.5}}===
W przestrzeni afinicznej <math>{\mathbb{R}}^3</math> dany jest układ bazowy


<center><math>( (1,-1,2);\ (3,1,0),\ (0,1,-1), \ (3,2,1))</math>.</center>


Znaleźć punkt <math>a</math>, którego współrzędne w powyższym układzie bazowym
wynoszą 1,3,-2.

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   Wystarczy skorzystać z definicji współrzędnych względem układu bazowego.
</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Niech <math>a=(x,y,z)</math>. Wówczas


<center><math>\begin{align} (x,y,z)&=(1,-1,2)+1\cdot (3,1,0)+3\cdot (0,1,-1)-2\cdot (3,2,1)\\
&=(1,-1,2)+ (3,1,0)+(0,3,-3)-(6,4,2)\\
&=(-2,-1,-3).
\end{align}</math></center>


</div></div>

==={{kotwica|zad 13.6|Zadanie 13.6}}===
Niech <math>U</math> i <math>W</math> będą przestrzeniami wektorowym nad ciałem
<math>\mathbb{K}</math> i niech <math>f\colon U \to W</math> będzie odwzorowaniem
liniowym. Wykazać, że dla każdego <math>b \in W</math> jeżeli zbiór


<center><math>f^{-1}(\{b\})= \{ x \in U\ ; \ f(x) = b \}
</math></center>


jest niepusty, to jest
przestrzenią afiniczną o&nbsp;kierunku <math>\ker f</math>.

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Jako <math>x+v</math> przyjąć zwykłą sumę wektorów w przestrzeni <math>U</math>,a jako <math>\overrightarrow{xy}</math> różnicę <math>y-x</math>.
</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Niech <math>u_0\in U</math> będzie wektorem takim, że <math>f(u_0)=b</math>. Wystarczy wykazać, że


<center><math>f^{-1}(\{b\})= u_0+\ker f</math></center>


Zauważmy, że jeżeli <math>u\in (u_0+\ker f)</math>, to <math>u=u_0+v</math>, gdzie
<math>v\in\ker f</math> i&nbsp;wówczas


<center><math>f(u)=f(u_0+v)=f(u_0)+f(v)=f(u_0)+0=b</math>,</center>


zatem


<center><math>u_0+\ker f\subset f^{-1}(\{b\})</math></center>


Z&nbsp;drugiej strony jeżeli <math>u\in f^{-1}(\{b\})</math>, to <math>u=u_0+(u-u_0)</math>
i&nbsp;<math>u-u_0\in ker f</math>, bo


<center><math>f(u-u_0)=f(u)-f(u_0)=b-b=0</math>,</center>


zatem


<center><math>f^{-1}(\{b\})\subset u_0+\ker f</math></center>


Na podstawie udowodnionych wyżej inkluzji wnioskujemy, że


<center><math>f^{-1}(\{b\})= u_0+\ker f</math>,</center>


co było do okazania.
</div></div>