Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 11: Formy kwadratowe

Zadanie 11.1

Niech $\displaystyle U,V,W$ będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem $\displaystyle \mathbb {K}$ i niech

$\displaystyle \Phi \colon U\times V\to W$

będzie odwzorowaniem dwuliniowym. Niech

$\displaystyle F\colon U\ni u\to f_{u}\in {\mathcal {L}}(V,W),$

gdzie $\displaystyle f_{u}(v):=\Phi (u,v)$. Wykazać, że $\displaystyle F$ jest odwzorowaniem liniowym.

Wskazówka

Trzeba skorzystać z definicji odwzorowania liniowego.

Rozwiązanie

Ustalmy dowolne wektory $\displaystyle u_{1}$, $\displaystyle u_{2}$ należące do

przestrzeni wektorowej $\displaystyle U$ oraz dowolne skalary $\displaystyle \alpha _{1}$, $\displaystyle \alpha _{2}$ z ciała $\displaystyle \mathbb {K}$. Mamy wykazać, że

$\displaystyle F(\alpha _{1}u_{1}+\alpha _{2}u_{2})=\alpha _{1}F(u_{1})+\alpha _{2}F(u_{2}),$

co oznacza, że mamy sprawdzić, czy odwzorowania

$\displaystyle f_{\alpha _{1}u_{1}+\alpha _{2}u_{2}}\quad {\text{i}}\quad \alpha _{1}f_{u_{1}}+\alpha _{2}f_{u_{2}}$

są równe. W tym celu wybierzmy dowolny wektor $\displaystyle v\in V$ i policzmy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f_{\alpha_1u_1+\alpha_2u_2}(v)&=\Phi({\alpha_1u_1+\alpha_2u_2},v)\\ &=\alpha_1\Phi(u_1,v)+\alpha_2\Phi(u_2,v)\\ &=\alpha_1f_{u_1}(v)+\alpha_2f_{u_2}(v). \endaligned}

Oznacza to, że zachodzi wymagana równość odwzorowań

$\displaystyle f_{\alpha _{1}u_{1}+\alpha _{2}u_{2}}=\alpha _{1}f_{u_{1}}+\alpha _{2}f_{u_{2}}$

i dowód liniowości odwzorowania $\displaystyle F$ jest zakończony.

Zadanie 11.2

Niech $\displaystyle V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $\displaystyle \mathbb {R}$ i niech $\displaystyle f\colon V\to \mathbb {R}$ będzie formą kwadratową. Definiujemy

$\displaystyle \varphi \colon V\times V\ni (v,w)\to {\frac {1}{4}}(f(v+w)-f(v-w))\in \mathbb {R} .$

Wykazać, że $\displaystyle \varphi$ jest formą dwuliniową symetryczną, skojarzoną z $\displaystyle f$.

Wskazówka

Trzeba wziąć dowolne dwuliniowe odwzorowanie $\displaystyle \Phi$ indukujące $\displaystyle f$ i skorzystać z tego, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(v+w) &= \Phi (v+w,v+w)& i&& f(v-w) &= \Phi (v-w,v-w).\qedhere \endaligned}

Rozwiązanie

Niech $\displaystyle \Phi \colon V\times V\to V$ będzie odwzorowaniem dwuliniowym

indukującym formę $\displaystyle f$. Oznacza to, że dla dowolnego wektora $\displaystyle u\in V$ zachodzi

$\displaystyle f(u)=\Phi (u,u),$

w szczególności dla dowolnych wektorów $\displaystyle v,w\in V$ mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(v+w) &= \Phi (v+w,v+w),&f(v-w) &= \Phi (v-w,v-w). \endaligned}

co oznacza, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \varphi(v,w)&=\frac {1}{4}(f(v+w) - f(v-w) )\\ &=\frac {1}{4}(\Phi(v+w,v+w)- \Phi (v-w,v-w))\\ &=\frac {1}{4}(\Phi(v,v+w)+\Phi(w,v+w)- \Phi(v,v-w)+\Phi(w,v-w))\\ &=\frac {1}{4}(\Phi(v,v)+\Phi(v,w)+\Phi(w,v)+\Phi(w,w)+\\ &-\Phi(v,v)+\Phi(v,w)+\Phi(w,v)-\Phi(w,w))\\ &=\frac{1}{4}(2\Phi(v,w)+2\Phi(w,v))\\ &=\frac{1}{2}(\Phi(v,w)+\Phi(w,v))\\ &=\frac{1}{2}(\Phi(w,v)+\Phi(v,w))\\ &=\varphi(w,v). \endaligned}

Wynika stąd, że $\displaystyle \varphi$ jako kombinacja liniowa odwzorowań dwuliniowych jest odwzorowaniem dwuliniowym, a ponadto $\displaystyle \varphi$ jest odwzorowaniem symetrycznym, co było do okazania.

Zadanie 11.3

Dana jest forma kwadratowa

$\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\ni (x_{1},x_{2})\to x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}\in \mathbb {R} .$

Znaleźć odwzorowanie dwuliniowe symetryczne skojarzone z $\displaystyle f$.

Wskazówka

Można skorzystać ze wzoru podanego w zadaniu 11.2.

Rozwiązanie

Z zadania 11.2 wynika, że odwzorowanie dwuliniowe symetryczne

$\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ skojarzone z $\displaystyle f$ jest dane wzorem

$\displaystyle \varphi (v,w)={\frac {1}{4}}(f(v+w)-f(v-w)),\quad u,v\in \mathbb {R} ^{2}.$

Podstawiając $\displaystyle v=(x_{1},x_{2})$ oraz $\displaystyle w=(y_{1},y_{2})$ otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(v+w)&=(x_1+y_1)^2 + 3(x_2+y_2)^2 -2(x_1+y_1)(x_2+y_2)\\ &=x_1^2+2x_1y_1+y_1^2+\\ &+3x_2^2+6x_2y_2+3y_2^2+\\ &-2x_1x_2-2x_1y_2-2y_1x_2-2y_1y_2\\ f(v-w)&=(x_1-y_1)^2 + 3(x_2-y_2)^2 -2(x_1-y_1)(x_2-y_2)\\ &=x_1^2-2x_1y_1+y_1^2+\\ &+3x_2^2-6x_2y_2+3y_2^2+\\ &-2x_1x_2+2x_1y_2+2y_1x_2-2y_1y_2. \endaligned}

Odejmując od siebie powyższe równości stronami otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(v+w)-f(v-w)&= 4x_1y_1+12x_2y_2-4x_1y_2-4y_1x_2, \endaligned}

co na mocy zadania 11.2 oznacza, że odwzorowanie dwuliniowe symetryczne $\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ skojarzone z $\displaystyle f$ jest dane wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\qedhere”): {\displaystyle \displaystyle \varphi ((x_1,x_2),(y_1,y_2)) =x_1y_1+3x_2y_2-x_1y_2-y_1x_2. \qedhere }

Zadanie 11.4

Dana jest forma kwadratowa

$\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\ni (x_{1},x_{2},x_{3})\to 2x_{1}^{2}-x_{2}x_{3}+3x_{3}^{2}\in \mathbb {R} .$

Wyznaczyć macierz $\displaystyle f$ w bazie kanonicznej oraz rząd $\displaystyle f$.

Wskazówka

Trzeba znaleźć macierz odwzorowania dwuliniowego skojarzonego z $\displaystyle f$. Rząd tej macierzy będzie równocześnie rzędem formy $\displaystyle f$.

Rozwiązanie

Z zadania 11.2 wynika, że odwzorowanie dwuliniowe symetryczne $\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ skojarzone z $\displaystyle f$ jest dane wzorem

$\displaystyle \varphi (v,w)={\frac {1}{4}}(f(v+w)-f(v-w)),\quad u,v\in \mathbb {R} ^{3}.$

Podstawiając $\displaystyle v=(x_{1},x_{2},x_{3})$ oraz $\displaystyle w=(y_{1},y_{2},y_{3})$ otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(v+w)&=2(x_1+y_1)^2 -(x_2+y_2)(x_3+y_3) +3(x_3+y_3)^2\\ &=2x_1^2+4x_1y_1+2y_1^2-x_2x_3-x_2y_3-y_2x_3-y_2y_3+\\&+3x_3^2+6x_3y_3+3y_3^2,\\ f(v-w)&=2(x_1-y_1)^2 -(x_2-y_2)(x_3-y_3) +3(x_3-y_3)^2\\ &=2x_1^2-4x_1y_1+2y_1^2-x_2x_3+x_2y_3+y_2x_3-y_2y_3+\\&+3x_3^2-6x_3y_3+3y_3^2.\\ \endaligned}

Odejmując od siebie powyższe równości stronami otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(v+w)-f(v-w)&= 8x_1y_1-2x_2y_3-2x_3y_2+12x_3y_3, \endaligned}

co na mocy zadania 11.2 oznacza, że odwzorowanie dwuliniowe symetryczne $\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ skojarzone z $\displaystyle f$ jest dane wzorem

$\displaystyle \varphi ((x_{1},x_{2},x_{3}),(y_{1},y_{2},y_{3}))=2x_{1}y_{1}-{\frac {1}{2}}x_{2}y_{3}-{\frac {1}{2}}x_{3}y_{2}+3x_{3}y_{3}.$

Zgodnie z definicją macierz $\displaystyle A$ jest macierzą odwzorowania dwuliniowego $\displaystyle \varphi$ w bazie kanonicznej jeżeli jest dana wzorem

$\displaystyle [a_{ij}]_{n\times n}=[\varphi (e_{i},e_{j})]_{n\times n}.$

Po wykonaniu odpowiednich obliczeń widzimy, że

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}2&0&0\\0&0&-{\frac {1}{2}}\\0&-{\frac {1}{2}}&3\end{array}}\right].$

Widać też, że rząd macierzy $\displaystyle A$ jest równy $\displaystyle 3$.

Zadanie 11.5

Niech $\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\ni (x_{1},x_{2})\to x_{1}x_{2}\in \mathbb {R}$. Wykazać, że $\displaystyle f$ jest formą kwadratową. Wyznaczyć macierz $\displaystyle f$ przy bazie kanonicznej. Znaleźć bazę $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$, przy której macierz $\displaystyle f$ ma postać blokową występującą w tezie twierdzenia Sylvestera. Wyznaczyć sygnaturę $\displaystyle f$.

Wskazówka

Trzeba zacząć od znalezienia odwzorowania dwuliniowego symetrycznego

indukującego $\displaystyle f$, a następnie spróbować sprowadzić $\displaystyle f$ do postaci kanonicznej. Związki między współrzędnymi względem szukanej bazy a współrzędnymi względem bazy kanonicznej pozwolą wyliczyć potrzebne nam wektory bazowe.

Rozwiązanie

Można zauważyć (lub obliczyć korzystając z metody podanej w zadaniu 11.2),

że jeżeli

$\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$

jest symetryczną formą dwuliniową daną wzorem

$\displaystyle \varphi ((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))={\frac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}),$

to dla dowolnego $\displaystyle (x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ zachodzi

$\displaystyle f(x_{1},x_{2})=\varphi ((x_{1},x_{2}),(x_{1},x_{2})),$

co oznacza, że $\displaystyle f$ jest formą kwadratową, a $\displaystyle \varphi$ jest symetryczną formą dwuliniową skojarzoną z $\displaystyle f$. Co więcej, macierzą $\displaystyle f$ w bazie kanonicznej jest macierz

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}0&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&0\end{array}}\right].$

Aby wyznaczyć bazę $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$, przy której macierz $\displaystyle f$ ma postać blokową występującą w tezie twierdzenia Sylvestera zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(x_1,x_2)&=x_1x_2\\ &=\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2-\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2 \endaligned}

Wprowadzając teraz nowe zmienne

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \xi &=\frac{x_1+x_2}{2}\\ \eta &=\frac{x_1-x_2}{2}, \endaligned}

lub równoważnie

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned x_1 &=\xi+\eta\\ x_2 &=\xi-\eta, \endaligned}

widzimy, że w nowych zmiennych wzór na $\displaystyle f$ przyjmuje postać

$\displaystyle \xi ^{2}-\eta ^{2}.$

Naszej zmianie zmiennych odpowiada macierz przejścia

$\displaystyle P=\left[{\begin{array}{rrr}1&1\\1&-1\end{array}}\right],$

która z kolei oznacza zmianę bazy z kanonicznej na bazę złożoną z wektorów $\displaystyle (1,1)$ oraz $\displaystyle (1,-1)$. Macierzą $\displaystyle f$ w tej bazie jest macierz

$\displaystyle P^{*}AP,$

czyli

$\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr}1&0\\0&-1\end{array}}\right],$

w szczególności otrzymaliśmy, że sygnaturą formy $\displaystyle f$ jest para $\displaystyle (1,1)$.

Zadanie 11.6

Sprowadzić do postaci kanonicznej następujące formy kwadratowe:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(x_1,x_2,x_3) &= x_1^2 + 3 x_1x_2 + 2x_2^2 +4x_2x_3 +x_3^2,\\ g (x_1,x_2,x_3)&= 2x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_3 +4x_2x_3 +3x_3^2. \endaligned}

Wskazówka

Można skorzystać z metody Lagrange'a lub metody Jacobiego ( literatura: H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej). Korzystając z metody Jacobiego należy wyznaczyć macierz formy kwadratowej w dowolnej bazie np. w bazie kanonicznej. Niech tą macierzą będzie $\displaystyle A=[a_{ij}]_{n\times n}$. Teraz, jeżeli wyznaczniki

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \Delta_1&=\det[a_{11}],&\Delta_2&=\det\left[\begin{array} {cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right],&\ldots&,&\Delta_m&=\det\left[\begin{array} {ccc} a_{11} & \ldots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mm} \end{array} \right] \endaligned}

są różne od zera i $\displaystyle m=n$ lub (gdy $\displaystyle m<n$) $\displaystyle \Delta _{m+1}=0$, to istnieje baza, w której forma kwadratowa przyjmuje postać kanoniczną

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\qedhere”): {\displaystyle \displaystyle f(x_1,\ldots,x_n)=\frac{1}{\Delta_1}x_1^2+ \frac{\Delta_1}{\Delta_2}x_2^2+\ldots+\frac{\Delta_{m-1}}{\Delta_m}x_m^2.\qedhere }

Rozwiązanie

1. Niech

$\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+3x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}+4x_{2}x_{3}+x_{3}^{2}.$

Macierzą formy $\displaystyle f$ w bazie kanonicznej jest, jak łatwo sprawdzić, macierz

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{ccc}1&{\frac {3}{2}}&0\\{\frac {3}{2}}&2&2\\0&2&1\end{array}}\right].$

Obliczamy wyznaczniki

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \Delta_1&=\det[1]=1,&\Delta_2&=\det\left[\begin{array} {cc} 1 & \frac{3}{2}\\ \frac{3}{2} & 2 \end{array} \right]=-\frac{1}{4},&\Delta_3&=\det A =-\frac{17}{4}, \endaligned}

które podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną naszej formy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(\xi_1,\xi_2,\xi_3)&=\frac{1}{\Delta_1}\xi_1^2+ \frac{\Delta_1}{\Delta_2}\xi_2^2+\frac{\Delta_{2}}{\Delta_2}\xi_3^2\\ &=\xi_1^2-4\xi_2^2+17\xi_3^2. \endaligned}

1. Niech

$\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}+3x_{3}^{2}.$

Macierzą formy $\displaystyle g$ w bazie kanonicznej jest, jak łatwo sprawdzić, macierz

$\displaystyle B=\left[{\begin{array}{ccc}2&0&1\\0&1&2\\1&2&3\end{array}}\right].$

Obliczamy wyznaczniki

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \Delta_1&=\det[2]=2,&\Delta_2&=\det\left[\begin{array} {cc} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]=2,&\Delta_3&=\det B = -3, \endaligned}

które podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną naszej formy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned g(\xi_1,\xi_2,\xi_3)&=\frac{1}{\Delta_1}\xi_1^2+ \frac{\Delta_1}{\Delta_2}\xi_2^2+\frac{\Delta_{2}}{\Delta_2}\xi_3^2\\ &=\frac{1}{2}\xi_1^2+\xi_2^2-\frac{2}{3}\xi_3^2.\qedhere \endaligned}

Zadanie 11.7

Dane jest odwzorowanie liniowe

$\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\ni (x_{1},x_{2},x_{3})\to (x_{1}-x_{2}+2x_{3},-x_{1}+3x_{2},2x_{1}-x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}.$

Zbadać, czy $\displaystyle f$ jest odwzorowaniem symetrycznym.

Wskazówka

Wystarczy sprawdzić warunek z definicji odwzorowania symetrycznego.

Rozwiązanie

Będziemy utożsamiać przestrzeń $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ z przestrzenią

macierzy o trzech wierszach i jednej kolumnie. Wówczas działaniu odwzorowania $\displaystyle f$ odpowiada mnożenie takiego wektora kolumnowego $\displaystyle \mathbf {x}$ przez macierz odwzorowania $\displaystyle f$ w bazach kanonicznych, którą oznaczamy dalej przez $\displaystyle A$, to jest $\displaystyle f(\mathbf {x} )$ możemy utożsamiać z $\displaystyle A\mathbf {x}$. Przy tych oznaczeniach standardowy iloczyn skalarny dla wektorów

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \mathbf{x}&=\left[\begin{array} {c} x_1\\x_2\\x_3 \end{array} \right],&\mathbf{y}&=\left[\begin{array} {c} y_1\\y_2\\y_3 \end{array} \right] \endaligned}

dany jest wzorem

$\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\mathbf {x} ^{*}\mathbf {y} =\left[{\begin{array}{ccc}x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{array}}\right].$

Zgodnie z definicją odwzorowania symetrycznego musimy sprawdzić, czy

$\displaystyle (A\mathbf {x} )^{*}\mathbf {y} =\mathbf {x} ^{*}(A\mathbf {y} ).$

Zauważmy jeszcze, że

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&2\\-1&3&0\\2&0&-1\end{array}}\right],$

zatem $\displaystyle A$ jest macierzą symetryczną ($\displaystyle A=A^{*}$). Wynika stąd, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned (A\mathbf{x})^*\mathbf{y} &=(\mathbf{x}^*A^*)\mathbf{y}\\ &=(\mathbf{x}^*A)\mathbf{y}\\ &=\mathbf{x}^*(A\mathbf{y}), \endaligned}

co było do okazania.