Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 11: Formy kwadratowe

Z Studia Informatyczne
< Algebra liniowa z geometrią analityczną
Wersja z dnia 22:22, 25 sie 2006 autorstwa Pitab (dyskusja | edycje)
(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Zadanie 11.1

Niech będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem  i niech



będzie odwzorowaniem dwuliniowym. Niech



gdzie . Wykazać, że jest odwzorowaniem liniowym.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.2

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech będzie formą kwadratową. Definiujemy



Wykazać, że jest formą dwuliniową symetryczną, skojarzoną z .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.3

Dana jest forma kwadratowa



Znaleźć odwzorowanie dwuliniowe symetryczne skojarzone z .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.4

Dana jest forma kwadratowa



Wyznaczyć macierz w bazie kanonicznej oraz rząd .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.5

Niech . Wykazać, że jest formą kwadratową. Wyznaczyć macierz przy bazie kanonicznej. Znaleźć bazę , przy której macierz  ma postać blokową występującą w tezie twierdzenia Sylvestera. Wyznaczyć sygnaturę .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.6

Sprowadzić do postaci kanonicznej następujące formy kwadratowe:


Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(x_1,x_2,x_3) &= x_1^2 + 3 x_1x_2 + 2x_2^2 +4x_2x_3 +x_3^2,\\ g (x_1,x_2,x_3)&= 2x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_3 +4x_2x_3 +3x_3^2. \endaligned}


Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.7

Dane jest odwzorowanie liniowe



Zbadać, czy jest odwzorowaniem symetrycznym.

Wskazówka
Rozwiązanie