Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 11: Formy kwadratowe: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m (Zastępowanie tekstu - "\aligned" na "\begin{align}")
m (Zastępowanie tekstu - "\qedhere" na "")
 
Linia 70: Linia 70:
  
  
<center><math>\displaystyle \begin{align} f(v+w) &= \Phi (v+w,v+w)& i&&  f(v-w) &= \Phi (v-w,v-w).\qedhere
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} f(v+w) &= \Phi (v+w,v+w)& i&&  f(v-w) &= \Phi (v-w,v-w).
 
\end{align}</math></center>
 
\end{align}</math></center>
  
Linia 157: Linia 157:
  
  
<center><math>\displaystyle \varphi ((x_1,x_2),(y_1,y_2)) =x_1y_1+3x_2y_2-x_1y_2-y_1x_2. \qedhere
+
<center><math>\displaystyle \varphi ((x_1,x_2),(y_1,y_2)) =x_1y_1+3x_2y_2-x_1y_2-y_1x_2.  
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 388: Linia 388:
  
 
<center><math>\displaystyle f(x_1,\ldots,x_n)=\frac{1}{\Delta_1}x_1^2+
 
<center><math>\displaystyle f(x_1,\ldots,x_n)=\frac{1}{\Delta_1}x_1^2+
\frac{\Delta_1}{\Delta_2}x_2^2+\ldots+\frac{\Delta_{m-1}}{\Delta_m}x_m^2.\qedhere
+
\frac{\Delta_1}{\Delta_2}x_2^2+\ldots+\frac{\Delta_{m-1}}{\Delta_m}x_m^2.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 467: Linia 467:
 
<center><math>\displaystyle \begin{align} g(\xi_1,\xi_2,\xi_3)&=\frac{1}{\Delta_1}\xi_1^2+
 
<center><math>\displaystyle \begin{align} g(\xi_1,\xi_2,\xi_3)&=\frac{1}{\Delta_1}\xi_1^2+
 
\frac{\Delta_1}{\Delta_2}\xi_2^2+\frac{\Delta_{2}}{\Delta_3}\xi_3^2\\
 
\frac{\Delta_1}{\Delta_2}\xi_2^2+\frac{\Delta_{2}}{\Delta_3}\xi_3^2\\
&=\frac{1}{2}\xi_1^2+\xi_2^2-\frac{2}{3}\xi_3^2.\qedhere
+
&=\frac{1}{2}\xi_1^2+\xi_2^2-\frac{2}{3}\xi_3^2.
 
\end{align}</math></center>
 
\end{align}</math></center>
  

Aktualna wersja na dzień 13:27, 9 cze 2020

Zadanie 11.1

Niech będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem  i niech



będzie odwzorowaniem dwuliniowym. Niech



gdzie . Wykazać, że jest odwzorowaniem liniowym.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.2

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech będzie formą kwadratową. Definiujemy



Wykazać, że jest formą dwuliniową symetryczną, skojarzoną z .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.3

Dana jest forma kwadratowa



Znaleźć odwzorowanie dwuliniowe symetryczne skojarzone z .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.4

Dana jest forma kwadratowa



Wyznaczyć macierz w bazie kanonicznej oraz rząd .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.5

Niech . Wykazać, że jest formą kwadratową. Wyznaczyć macierz przy bazie kanonicznej. Znaleźć bazę , przy której macierz  ma postać blokową występującą w tezie twierdzenia Sylvestera. Wyznaczyć sygnaturę .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.6

Sprowadzić do postaci kanonicznej następujące formy kwadratowe:



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.7

Dane jest odwzorowanie liniowe



Zbadać, czy jest odwzorowaniem symetrycznym.

Wskazówka
Rozwiązanie