Zaawansowane algorytmy i struktury danych/Wykład 14

From Studia Informatyczne

Algorytmy równoległe II

Spis treści


W module tym zajmiemy się obliczaniem wyrażeń arytmetycznych i równoległymi obliczeniami na drzewach związanymi z tzw. kontrakcją drzew. W dużym stopniu w module tym możemy zapomnieć o maszynie PRAM i przyjąć, że naszym modelem obliczeń równoległych jest drzewo (lub graf acykliczny). Czas równoległy to wysokość drzewa, a liczba procesorów to liczba węzłów. Węzły odpowiadają akcjom do wykonania, a drzewo (lub ogólniej graf acykliczny) odpowiada wymuszaniu pewnej kolejności wykonywania akcji. W jednym równoległym kroku możemy wykonać jednocześnie wszystkie te akcje, dla których akcje poprzedzające je w drzewie (grafie) są już wykonane.

Czasami dana akcja nie musi czekac na zakonczenie wszystkich poprzedzających ja akcji, a może wykonywać jakąś pożyteczną pracę wcześniej, jeśli tylko część informacji potrzebnej do wykonania tej akcji jest obliczona. Ta część informacji to na przykład obliczona wartość jednego z poprzedników danego węzła. Pomimo, że drugi poprzednik się jeszcze liczy możemy zacząc liczyć częsciowe wyniki związane z tym węzłem.

Zasadniczy problem to jak przekształcić (spłaszczyć) drzewo chude (o dużej wysokości) w semantycznie równoważne drzewo o małej wysokości nie zmieniając istotnie rzędu liczby węzłów drzewa.

Obliczanie wyrażeń arytmetycznych: algorytm jednoczesnych podstawień

Zakładamy, że wyrażenie zadane jest przez program sekwencyjny (w skrócie PS). Program taki jest "sztywną" sekwencją operacji, bez instrukcji warunkowych. PS jest bardzo prostym modelem obliczeń sekwencyjnych. Bardziej precyzyjnie, definiujemy program sekwencyjny jako ciąg instrukcji przypisań postaci x_i := W_i, gdzie W_i jest wyrażeniem arytmetycznym zawierającym O(1) operacji. W przypadku gdy operacje są logiczne, PS nazywamy obwodem logicznym (ang. boolean circuit). Ogólnie problem obliczenia wartości obwodu logiczngo jest P-zupełny, podobnie jest dla arytmetycznych programów sekwencyjnych.

Problemy te są się w klasie NC, gdy graf związany z programem sekwencyjnym jest drzewem, a sam program odpowiada obliczaniu wyrażenia arytmetycznego, co będziemy dalej zakładać.

Zmienne w programie sekwencyjnym są ponumerowane. Jeśli po lewej stronie instrukcji przypisania jest zmienna x_i a po prawej zmienna x_j, to wymagamy, aby j<i. Zakładamy, że struktura obliczeń jest drzewem oraz operacje są ze zbioru \{+,-,*,/\}.

Obserwacja Program sekwencyjny odpowiada układowi arytmetycznemu w sensie poprzedniego modułu, jednakże motywacją zmiany terminologii ‘’układ arytmetyczny’’ na ‘’PS’’ jest sekwencyjny zapis. . W przypadku układu arytmetycznego, liczba węzłów odpowiada czasowi sekwencyjnemu, a wysokość czasowi równoległemu.


W module tym zajmiemy się, w sensie układu arytmetycznego, transformacją jednego układu na równoważny mu drugi układ, który ma małą (logarytmiczną) wysokość.


Sekwencyjna pojedyncza operacja podstawiania polega na zastąpieniu zmiennej x_j w danym wyrażeniu W_i, gdzie i>j, przez W_j oraz redukcji wyrażenia po podstawieniu. \myskip Mówimy, że zmienna x_j jest "bezpieczna", gdy jej prawa strona w programie sekwencyjnym (wyrażenie W_j) zawiera co najwyżej jedną zmienną. W przykładzie poniżej 5 pierwszych zmiennych jest bezpiecznych.

Przykład

Rozważmy następujący program sekwencyjny P:

x1 = 1, x2 = 2, x3  = 6, x4 = 4, x5 = x3 + 2,

x6 = x2 + x1, x7 = 3*x6 + 2*x5, x8 = 2*x7 + x4.

Przykładowo, po wykonaniu wszystkich bezpiecznych podstawień (w tym wypadku tylko zastąpienie x5 przez x3+2) do prawej strony dla x7 otrzymujemy

x7 = 3*x6 + 2*x3 + 4.

Operacja Reduce polega na wykonaniu jednocześnie wszystkich bezpiecznych podstawień we wszystkich wyrażeniach W_i. W programie rozważamy tylko te zmienne, które są istotne z punktu widzenia liczenia ostatecznego wyniku x_n. Zmienne te nazywamy istotnymi. Są one osiągalne ze zmiennej x_n w grafie programu. Oznaczmy przez Reduce(P) nowy program sekwencyjny, bez zmiennych nieistotnych.

Algorytm JP


(Algorytm Jednoczesnych-Podstawien)

repeat {Operacja Reduce}

for each x_i do in parallel

   wykonaj jednoczesnie wszystkie bezpieczne podstawienia w W_i.

until x_n obliczone;


Historia algorytmu dla przykładowego programu P danego powyżej wygląda następująco, gdzie P=P_0, P_{i+1}= \textsl{Reduce}(P_i).

P_1:
   x3 = 6; x6=  3;
   x7 = 3*x6 + 2*x3 + 4;
   x8 = 2*x7 + 4.

P_2:
   x7  =25, x8 = 2*x7 + 4.

P_3:
   x8 =54.

Pokażemy, że algorytm wykonuje O(\log n) iteracji. Udowodnimy bardzo precyjne oszacowanie: rozmiar najmniejszego programu sekwencyjnego, który wmaga k iteracji jest równy k-tej liczbie Fibonacciego. Jest to zaskakująco podobne do analogicznego faktu dla drzew AVL, czas równoległy odpowiada tutaj wysokości drzewa.

Równoległa kontrakcja drzew

Grafem obliczeń T=\cal{G}(P) programu sekwencyjnego P jest skierowany graf acykliczny, którego węzły odpowiadają zmiennym biorącym aktualnie udział w obliczeniu x_n. Synami węzła x_i (zmiennej) są zmienne występujące w danym momencie w W_i. Graf T zawiera tylko węzły osiągalne z korzenia x_n. Przez rozmiar rozumiemy liczbę węzłów grafu (liczbę zmiennych w przypadku PS).

Zauważmy, że w danej iteracji algorytmu JP rozmiar grafu T może być znacznie mniejszy niż n, ponieważ wiele zmiennych może być nieosiągalnych z korzenia.

Jedna iteracja Reduce (P_{i}\rightarrow P_{i+1}) odpowiada następującej operacji Contract({\cal{G}}(P_i)), patrz rysunek.

Grafika:Parallel2-1.png
Rysunek 1. Składowe operacje jednej iteracji Contract(T): Compress oraz Rake.


W rzeczywistości możemy zapomnieć o algorytmie JP i maszynie PRAM. Obliczanie na drzewie jest samo w sobie sensownym modelem obliczeń równoległych. Czas równoległy jest liczbą iteracji, która przekształca początkowe drzewo w drzewo jednoelementowe.

Z każdą krawędzią e=(x_i,x_j) grafu \cal{G}(P) jest związana pewna funkcja f_e(x) postaci:

f_e(x)\ =\ \frac{ax+b}{cx+d},

gdzie a,b,c,d są pewnymi stałymi.

Początkowo funkcja ta jest identycznościowa. Jeśli w danym momencie następnikami węzła x_ix_j,\ x_k oraz e1=(x_i,x_j), e2=(x_i,x_k), to wartością zmiennej x_i jest: f_{e1}(x_j) \otimes f_{e2}(x_k), gdzie \otimes jest operacją arytmetyczną odpowiadającą węzłowi x_i</math.    Podstawianie wyrażeń za zmienne odbywa się na  funkcjach związanych z krawędziami. Jeśli wartości <math>x_j,x_k są obliczone (zmienne te odpowiadają aktualnie liściom), to wartość f_{e1}(x_j) \otimesf_{e2}(x_k) jest konkretną końcową wartością zmiennej x_i.

Rozważamy też "spłaszczoną" wersję T'=squash(T) drzewa T, odpowiadającą algorytmowi kontrakcji. W drzewie T' wewnętrzne węzły odpowiadają zmiennym programu sekwencyjnego lub krawędziom między zmiennymi. Wartością krawędzie jest funkcja f_e, reprezentowana przez cztery stałe a,b,c,d. Jeśli krawędź e1=(x,z) jest kompozycją dwóch krawędzi e1=(x,y), e2=(y,z), to wartością f_e jest kompozycja funkcji f_{e1},  f_{e2}. Kompozycja ta polega na wykonaniu operacji na czterch stałych odpowiadających funkcjom. Jeśli zależność jest tylko od jednej krawędzi, to automatycznie rozumiemy, że funkcja odpowiadająca pominiętej krawędzi jest identycznościowa (a takie są początkowo wszystkie funkcje w początkowym grafie \cal{G}(P)). Na następującym przykładzie pokażemy, jak działa operacja Contract i w jaki sposób związana jest ona z algorytmem JP.


Grafika:Parallel2-2.png
Rysunek 2. Przykładowe drzewo T wyrażenia. Początkowe wartości w liściach są podane w kwadracikach, numery węzłów są w podane w nawiasach. <center>


<center>Grafika:Parallel2-3.png
Rysunek 3. Drzewo T_1=Contract(T) razem z dodatkowymi funkcjami na krawędziach. Brak funkcji oznacza funkcję identycznościową.


Grafika:Parallel2-4.png
Rysunek 4. Kolejne drzewa T_3,T_4,T_5. Algorytm wykonuje 4 kontrakcje.


Grafika:Parallel2-5.png
Rysunek 5. "Spłaszczone" drzewo T'=squash(T) liczące to samo, co drzewo T, ale mające mniejszą wysokość (ogólnie logarytmiczną). Drzewo to można jeszcze bardziej spłaszczyć, kompresując łańcuchy dwukrawędziowe (eliminując węzły wewnętrzne mające dokładnie jednego syna.

Oszacowanie liczby kontrakcji

Załóżmy, że graf \cal{G}(P) programu sekwencyjnego P jest drzewem T. Wtedy liczba iteracji algorytmu JP jest równa liczbie kontrakcji drzewa T, po której korzeń T staje się liściem. Przez TIME(n) oznaczmy maksymalną liczbę kontrakcji potrzebnych do zredukowania do jednego węzła drzewa o n węzłach. Niech Fib_n będziem n-tą liczbą Fibonacciego, gdzie Fib_0=1, Fib_1=2. Udowodnimy:

Twierdzenie

(a) TIME(Fib_n)=n.

(b) Fib_k \le n < Fib_{k+1'''\ \Rightarrow \ TIME(n)=k.

Jako bezpośredni wniosek otrzymujemy:

\log_{\phi}+c \le TIME(n) \le \log_{\phi}+c,\ \textrm{dla pewnej stałej c},

gdzie \Phi\ =\ \frac{1+\sqrt{5}}{2} jest liczbą tzw. złotego podziału (w przybliżeniu \Phi \approx 1.6).

Udowodnimy najpierw, że TIME(Fib_k)\ge k. Niech T_k będzie k-tym drzewem Fibonacciego, zdefiniowanym na rysunku. Drzewo T_{k+2} powstaje przez utożsamienie korzeni dwóch początkowo rozłącznych wierzchołkowo drzew T_k i T_{k+1} oraz dodanie nowego korzenia.

Grafika:Parallel2-6.png
Rysunek 6. Drzewa Fibonacciego.

Pozostawiamy jako ćwiczenie uzasadnienie tego, że |T_k|=Fib_k oraz Contract(T_k)=T_{k-1}.

Wynika stąd, że TIME(Fib_k)\ge k.

Przejdziemy teraz do dowodu następującego faktu.

Lemat o kontrakcji

n\le Fib_k \ \Rightarrow\ TIME(n)\le k.

Wprowadzamy pojęcie statycznego węzła jako liścia, który nigdy nie może być "odcięty", nie możemy usunąć krawędzi prowadzącej do niego. Poza tym operacja kontrakcji działa tak jak poprzednio. Na rysunkach statyczny węzeł jest zaznaczony jako kwadracik. Jeśli drzewo ma dokładnie jeden statyczny węzeł, to po pewnej liczbie kontrakcji otrzymujemy drzewo składające się tylko z korzenia i tego węzła. Oznaczmy przez TIME'(n) maksymalną liczbę kontrakcji dla drzewa mającego n węzłów, które doprowadzają do takiej sytuacji. W liczbę n nie wliczamy węzła statycznego.

Pozostawiamy jako ćwiczenie dowód tego, że TIME'(Fib_k+1)>k.

Następujący dosyć oczywisty fakt jest użyteczny w dalszym dowodzie lematu o kontrakcji.

Fakt. Niech x\in T oraz T',\ T_x będą takie, jak pokazane na Rysunku 7. Jeśli t kontrakcji redukuje T' do drzewa rozmiaru jeden (nie licząc węzła statycznego), to po t kontrakcjach drzewo T redukuje się do pojedyńczego węzła staje się drzewem złożonym tylko z korzenia, którego jedynem następnikiem jest liść lub element drzewa T_x.

Grafika:Parallel2-7.png
Rysunek 7. Graficzna definicja drzew T', T_x.

Udowodnimy lemat, który będzie rozszerzeniem lematu o kontrakcji. Celowo wzmacniamy tezę, aby ułatwić dowód przez indukcję.

Lemat Wzmocniony lemat o kontrakcji

(a) n < FIB_k\ \Rightarrow\ TIME(n) < k-1;

(b)n \le FIB_k\ \Rightarrow\  TIME'(n) <k.


Dowód przeprowadzamy przez indukcję ze względu na k. Dla k=1, k=2 łatwo sprawdzić, że teza zachodzi. Załóżmy teraz, że teza zachodzi dla wszystich k' mniejszych niż danek > 2.


Dowód punktu (a)

Rozważmy drzewo T takie, że |T| < FIB_k. Niech x będzie najniższym (o najmniejszej wysokości) węzłem, takim że |T_x| \ge FIB_{k-1}. Niech p, q będą następnikami x, patrz Rysunek 8. (Jeślix ma tylko jednego następnika, nazwijmy go p). Zatem

|T_ p|, |T_q| < FIB_{k-1}

Udowodnimy, że po k-1-szej kontrakcji korzeń T staje się liściem. Możliwe są dwa przypadki:

Przypadek I: Po kontrakcji (k-2)-giej węzeł x jest liściem.
Z założenia indukcyjnego wynika, że drzewo T1 jest zredukowane do korzenia z jednym następnikiem, który jest wewnątrz T_x. Ponieważ wszystkie węzły w T_x stały się liśćmi (gdyż korzeń T_x stał się liściem), to w następnej kontrakcji wykonujemy operację Rake i korzeń całego drzewa staje się liściem.

Grafika:Parallel2-8.png
Rysunek 8. Drzewo T i jego dekompozycja: |T|<FIB_k,|T1|\le FIB_{k-2}, |T_x|\ge FIB_{k-1}, |T_p|<FIB_{k-1}.

Przypadek II: Korzeń drzewa T_x wymaga co najmniej k-1 kontrakcji by stał się liściem.
Dla drzewa T niech v\notin R będzie dodatkowym węzłem, a R \otimes v będzie nowym drzewem o korzeniu </math>vmającym jednego następnika - korzeń R. Łatwo zauważyć, że co najmniej jedno z drzewT_p\otimesx</math> lub T_q\otimes x wymaga co najmniej k-1 kontrakcji, aby korzeń stał się liściem. Przyjmijmy, bez straty ogólności, że jest to pierwsze z nich.

Z założenia indukcyjnego wynika, że |T_p\otimes x| \ge FIB_{k-1} (zatem |T_p|=FIB_{k-1}-1). Wynika stąd, że drzewo T2 z węzłem statycznym (patrz Rysunek 8) jest "małe": |T2| \le  FIB_{k-2]].

W tej sytuacji z założenia indukcyjnego (b) wynika, że drzewo T2 jest zredukowane do korzenia z jednym liściem po k-2 kontrakcjach. Wszystkie węzły T_p stają się liścmi po k-2 kontrakcjach na mocy założenia indukcyjnego (a). Zatem podobnie jak w przypadku I, korzeń całego drzewa staje się liściem po k-1 kontrakcjach.

Dowód punktu (b)

Przypadek ten rozpatruje się podobnie jak punkt (a), stosując odpowiednią dekompozycję drzewa T. Dowód ten pozostawiamy jako ćwiczenie.

Obserwacja.Możliwe są różne inne definicje kontrakcji drzew. Na przykład moglibyśmy rozważać, że w jednej iteracji kontrakcji najpierw wykonujemy Rake (usuń liście), a dopiero potem Compress. My wykonywaliśmy to w jednym kroku równocześnie, co wydaje się bardziej naturalne.