Układy elektroniczne i technika pomiarowa/Moduł 5

From Studia Informatyczne

Enlarge

Enlarge
W niniejszym wykładzie będą zaprezentowane podstawowe rodzaje filtrów stosowanych w układach elektronicznych. Omówione zostaną właściwości prostych filtry pasywne typu RC, RL i RLC oraz niektórych rodzajów filtrów aktywnych, które w swojej strukturze zawierają wzmacniacze operacyjne.

Podstawowym zadaniem filtrów jest wytłumienie, z punktu widzenia zastosowania danego układu elektronicznego, niepożądanych częstotliwości występujących w sygnale sterującym. Układy filtrów dzieli się, przyjmując odpowiednie kryteria, na różne grupy. Jednym z najistotniejszych jest podział ze względu na pasmo częstotliwości, które jest tłumione przez filtr. Wyróżniamy tu filtry:

  • dolnoprzepustowe,
  • górnoprzepustowe,
  • pasmowoprzepustowe, w tym szerokopasmowe i wąskopasmowe (selektywne)
  • pasmowo zaporowe, które tłumią sygnały w określonym paśmie częstotliwości.

Inne kryteria jakie bierze się pod uwagę w klasyfikacji filtrów to np. kształt charakterystyk częstotliwościowych: amplitudowej i fazowej, rodzaj zastosowanych elementów, technologia wykonania. Ważną cechą filtru jest jego rząd. Stosuje się filtry I, II i wyższych rzędów. Im wyższy rząd filtru tym bardziej strome zbocza na krańcach pasma przenoszenia i tym bardziej idealna (prostokątna) charakterystyka częstotliwościowa (amplitudowa). Ważnym kryterium podziału filtrów wynika z rodzaju sygnałów jakie są przetwarzane. Wyróżnia my tu filtry analogowe, które są przedmiotem niniejszego wykładu i filtry cyfrowe.


Enlarge
Układy pasywne

Filtry pasywne to układy, które w swojej strukturze zawierają elementy pasywne: rezystory, kondensatory i dławiki indukcyjne. Zaleta takich układów jest to, że mogą przenosić duże moce, a zatem mogą być stosowane w urządzeniach energoelektronicznych (np. w układach prostowników, falowników itp.). ponadto mają prostą konstrukcję i nie wymagają dodatkowych źródeł zasilania. W technice sygnałowej dla wielkich częstotliwości wymiary geometryczne oraz indukcyjności dławików są bardzo małe i dlatego często w tej sytuacji wykorzystuje się do konstrukcji filtru istniejące w układzie rzeczywistym indukcyjności montażowe


Enlarge
Filtr dolnoprzepustowy

Dwie wersje filtru RC i RL przedstawiono na slajdzie. Właściwości obu układów w dziedzinie częstotliwości i czasu są identyczne. Opis w dziedzinie częstotliwości Załóżmy, że w filtrze RC iloczyn RC, a w filtrze RL iloraz L/R jest równy \tau = T. Stałą τ nazywamy stałą czasową obwodu RC lub RL. Transmitancję widmową filtru można opisać zależnością:

\frac{u_2(j\omega)}{u_1(j\omega)}=T(j\omega)\frac{1}{1+j\omega T}

Moduł transmitancji widmowej i faza sygnału wyjściowego względem wejściowego po znormalizowaniu pulsacji przebiegu względem pulsacji granicznej \omega_g jest równy:


|T(jx)|=\frac{1}{\sqrt{1+x^2\omega^2_gT^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}

\varphi=arctg(x\omega_gT)=arctg

gdzie:

x=\frac{\omega}{\omega_g} (0<x<\infty)


Enlarge
Charakterystyki częstotliwościowe modułu (amplitudową) i przesunięcia fazowego (fazową) przedstawiono na rysunku. Pulsacja graniczna \omega_g lub częstotliwość graniczna fg filtru to taka wartość \omega lub f, przy której moduł zmniejsza się w stosunku do tego jaki jest przy niskich częstotliwościach o 3dB, tzn. jest równy \frac{1}{\sqrt{2}} .

Z zależności 5.2 wynika, że

\omega_g=\frac{1}{T}

lub

f_g=\frac{1}{2\pi T}

Przesunięcie fazowe dla tej częstotliwości jest równe \varpi=-\frac{\pi}{4} Charakterystyka amplitudowa opada z prędkością 20 dB / dekadę. Jeżeli wymagana jest większa prędkość opadania charakterystyki można połączyć kaskadowo n filtrów dolnoprzepustowych. Wypadkowa transmitancja widmowa będzie w tym wypadku równa iloczynowi transmitancji poszczególnych filtrów, a liczba n będzie mówiła o rzędzie filtru.



Enlarge
Opis w dziedzinie czasu

Opis w dziedzinie czasu polega na badaniu odpowiedzi układu na wymuszenie standardowe. Najczęściej stosuje się wymuszenie w postaci skoku jednostkowego. Na slajdzie przedstawiono odpowiedź układów RC i RL przy załączeniu i wyłączeniu napięcia wejściowego. W przypadku złączenia napięcie wyjściowe zmienia się wykładniczo zgodnie z zależnością:

u_2(t)=U_M\Bigg(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\Bigg)


Enlarge
Właściwości filtru dolnoprzepustowego

Jeżeli sygnał sterujący u_1 nie zawiera składowej stałej, a jego pulsacja spełnia warunek \omega>>\omega_g to filtr dolnoprzepustowy działa jak układ całkujący. Jeżeli sygnał sterujący u_1 oprócz składowej przemiennej zawiera składową stałą,

u_1(t)\frac{1}{\tau}\int^t_0 u_p(\delta)d\delta+U_0


Pierwszy składnik sumy reprezentuje tętnienia, a drugi składową stałą. Jeżeli stała czasowa jest bardzo duża składnik reprezentujący tętnienia można pominąć i napięcie wyjściowe jest równe w tym wypadku składowej stałej. Jedną z wielkości charakteryzujących filtr dolnoprzepustowy jest czas narastania t_r. Podaje on, w jakim czasie napięcie wyjściowe filtru wzrośnie od 10% do 90% wartości ustalonej po zadaniu na wejściu układu skoku jednostkowego.

t_r=t_{90%}-t_{10%}=\tau(ln0,9-ln0,1)=\tauln9\approx2,2\tau

Przy częstotliwości granicznej czas t_r jest równy w przybliżeniu:

t_r\approx\frac{1}{3f_g}

Związek ten obowiązuje także dla filtrów dolnoprzepustowych wyższych rzędów. Jeżeli czasy narastania poszczególnych filtrów składowych są różne to wypadkowy czas narastania jest średnią geometryczną poszczególnych czasów.

t_r\approx\sqrt{\sum_{i=0}^n}t_r_i^2

Częstotliwość graniczna takiego filtru jest równa

f_g\approx \frac{1}{\sum{_{i=1}^n\frac{1}{f_{gi}^2}}}

Kiedy połączymy kaskadowo n jednakowych filtrów

f_g\frac{f_{gi}}{n}


Enlarge
Filtr górnoprzepustowy

Opis w dziedzinie częstotliwości

Transmitancja widmowa układu ma postać:


\frac{u_2(j\omega)}{u_1(j\omega)}=T(j\omega)=\frac{j\omega T}{1+j\omega T}

Moduł transmitancji widmowej i faza sygnału wyjściowego względem wejściowego po znormalizowaniu pulsacji przebiegu względem pulsacji granicznej \omega d jest równy:

|T(jx)|=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2\omega^2_dT^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}

\varphi=arctg\frac{1}{x\omega_dT}=arctg\frac{1}{x}

gdzie

x=\frac{\omega}{\omega_d} (0<x<\infty)



Enlarge
Charakterystyki częstotliwościowe przedstawiono na rysunku.

Pulsacja i częstotliwość graniczna są równe:


\omega_d=\frac{1}{T}

f_d=frac{1}{2\piT}

Przesunięcie fazowe przy tej częstotliwości jest równe frac{\pi}{4} . Szybkość wznoszenia się charakterystyki 20 dB / dekadę.


Enlarge
Opis w dziedzinie czasu

Na slajdzie przedstawiono odpowiedź układów RC i RL przy załączeniu i wyłączeniu napięcia wejściowego. W przypadku złączenia napięcie wyjściowe zmienia się wykładniczo zgodnie z zależnością:

u_2(t)U_Me^{-\frac{t}{\tau}}a przy wyłączeniu

u_2(t)U_Me^{-\frac{t}{\tau}}

Podobnie jak w układzie filtru dolnoprzepustowego wartość ustalona u2 = 0 V jest osiągana asymptotycznie. Miarą czasu dojścia do stanu ustalonego jest stała czasowa \tau. Często zakładamy, że po czasie 5\tau jest już stan ustalony. W tym wypadku różnica pomiędzy wartością ustaloną i rzeczywista stanowi mniej niż 1% wartości ustalonej.



Enlarge
Właściwości filtru górnoprzepustowego

Jeżeli na wejście jest zadany sygnał prostokątny o pulsacji \omega >>\omega_d to po czasie równym połowie okresu na wyjściu układu filtru nie będzie wartości ustalonej napięcia i przebieg będzie podobny do przebiegu sygnału wejściowego, ale nie będzie zawierał składowej stałej. Dlatego filtr górnoprzepustowy, a szczególnie układ RC jest stosowany jako układ sprzęgający (np. w sprzężeniach międzystopniowych wzmacniaczy mcz.). Jeżeli sygnał wejściowy ma pulsację \omega<<\omega_d to można przyjąć, że u_2 << u_1. W tym wypadku układ ma właściwości różniczkujące.

u_2=\tau\frac{du_1}{dt}

Częstotliwość graniczna filtru górnoprzepustowego n-tego rzędu jest równa:

f_d=\sqrt{\sum_{i=1}^n}f^2_{di}

lub dla kaskadowego połączenia n identycznych filtrów I rzędu

f_d=f_{di}\sqrt{n}


Enlarge
Filtr pasmowoprzepustowy RC

Łącząc kaskadowo filtr górnoprzepustowy i dolnoprzepustowy otrzymuje się filtr pasmowoprzepustowy. Przykład takiego filtru przedstawiono na rysunku. Transmitancja widmowa takiego układu jest równa:

\frac{u_2(j\omega)}{u_1(j\omega)}=T(j\omega)=\frac{j\omega T}{1+3j\omega T-\omega^2 T^2}

gdzie

T=\tau=RC

Moduł transmitancji widmowej i faza sygnału wyjściowego względem wejściowego, po znormalizowaniu pulsacji przebiegu względem pulsacji rezonansowej \omega_0, jest równy


|T(jx)|=\frac{1}{\sqrt{9+\Bigg(\frac{1}{x\omega_0T}-x\omega_0T\Bigg)^2}}=\frac{1}{\sqrt{9+( frac{1}{x}-x)^2}}

\varphi=arctg\frac{1-x^2\omega_0^2T^2}{3x\omega_0T}=arctg\frac{1-x^2}{3x}

gdzie

x=\frac{\omega}{\omega_0}

Pulsacja i częstotliwość rezonansowa są równe:

\omega_0=\frac{1}{RC}

f_0=\frac{1}{2\pi RC}


Enlarge
Charakterystyki amplitudowa i fazowa filtru pasmowoprzepustowego są przedstawione na slajdzie.

Dla częstotliwości rezonansowej moduł transmitancji jest największy i równy \frac{1}{3} , a przesunięcie fazowe jest równe zeru.


Enlarge
Filtr pasmowozaporowy z mostkiem Wiena –Robinsona. W ogólnym przypadku transmitancja widmowa tego układu jest równa:

\frac{u_2(j\omega)}{u_1(j\omega)}=T(j\omega)=\frac{\eta (1-\omega^2T^2)+j\omegaT(3\eta -1)}{1+3j\omega T-\omega^2T^2}

gdzie

T=\tau=RC

\eta=\frac{R_2}{R_1+R_2}



Enlarge
Przy założeniu, że współczynnik podziału dzielnika napięcia jest równy \eta=\frac{1}{3}

moduł transmitancji widmowej i faza sygnału wyjściowego względem wejściowego, po znormalizowaniu pulsacji przebiegu względem pulsacji rezonansowej \omega_0, jest równy:

|T(jx)|=\frac{|1-x^2\omega^2_0T^2|}{3\sqrt{9x^2\omega^2_0T^2+(1-x^2\omega^2_0T^2)^2}}=\frac{|1-x^2|}{3\sqrt{9x^2+(1-x^2)^2}}

\varphi=arctg\frac{3x\omega_0T}{x^2\omega^2_0T^2-1}=arctg\frac{3x}{x^2-1}, x\ne 1

gdzie

x=\frac{\omega}{\omega_0} (0<x<\infty)

Pulsacja i częstotliwość rezonansowa są równe:

\omega_0=\frac{1}{RC}

f_0\frac{1}{2\pi RC}


Enlarge
Charakterystyki amplitudowa i fazowa filtru pasmowozaporowego z mostkiem Wiena-Robinsona są przedstawione na slajdzie. Dla częstotliwości rezonansowej moduł amplitudy jest najmniejszy i równy zeru, a faza jest nie określona

Enlarge
Filtr pasmowozaporowy w układzie TT.

Charakterystyki częstotliwościowe można wyznaczyć stosując prawo Kirchhoffa dla węzłów A, B i C przy nieobciążonym układzie. Dla węzła A jest


\frac{U_1-U_A}{R}+\frac{U_C-U_A}{R}-U_A\cdot 2j\omegaC=0

Dla węzła B jest

(U_1-U_B)\cdot j\omegaC+(U_C-U_B)\cdot j\omega C-\frac{2U_B}{R}=0

Dla węzła C jest

(U_B-U_C)\cdot j\omega C+\frac{U_A-U_C}{R}=0



Enlarge
Eliminując z tego układu równań napięcia U_A i U_B oraz przyjmując, że U_2=U_C transmitancja widmowa układu jest opisana zależnością:

\frac{u_2(j\omega)}{u_1(j\omega)}=T(j\omega)=\frac{1-\omega^2T^2}{1+4j\omega T-\omega^2T^2}

Moduł transmitancji widmowej i faza sygnału wyjściowego względem wejściowego, po znormalizowaniu pulsacji przebiegu względem pulsacji rezonansowej \omega_0, jest równy:

|T(jx)|=\frac{|1-x^2\omega^2_0T^2|}{\sqrt{16x@\omega^2_0T^2+(1-x^2\omega^2_0T^2)^2}}=\frac{|1-x^2|}{\sqrt{16x^2+(1-x^2)^2}}

\varphi=arctg\frac{4x\omega_0T}{x^2\omega^2_0T^2-1}=arctg\frac{4x}{x^2-1}, x/ne 1

gdzie


x=\frac{\omega}{\omega_0} (0<x<\infty)

Pulsacja i częstotliwość rezonansowa są równe:

\omega_0=\frac{1}{RC}

f_0=\frac{1}{2\pi RC}



Enlarge
Charakterystyki amplitudowa i fazowa filtru pasmowozaporowego z układem TT są podobne do charakterystyk filtru z mostkiem Wiena-Robinsona. Dla częstotliwości rezonansowej moduł amplitudy jest najmniejszy i równy zeru, a faza jest nieokreślona.

Enlarge
Filtry pasywne II rzędu zawierają w swojej strukturze elementy RLC, które w zależności od konfiguracji połączeń tworzą filtr:

• dolnoprzepustowy

• pasmowoprzepustowy

• zaporowy

• górnoprzepustowy

Tego typu filtry nazywamy filtrami rezonansowymi.


Enlarge
Odpowiednie schematy ideowe filtru dolnoprzepustowego i filtru górnoprzepustowego przedstawiono na slajdzie 21. Transmitancje widmowe tych filtrów są opisane zależnościami:

- filtr dolnoprzepustowy

\frac{u_2(j\omega)}{u_1(j\omega)}=T(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega RC-\omega^2 LC}

- filtr górnoprzepustowy

\frac{u_2(j\omega)}{u_1(j\omega)}=T(j\omega)=\frac{-\omega^2 LC}{1+j\omega RC-\omega^2 LC}

Ponieważ w mianownikach obu wyrażeń operator j\omega występuje w drugiej potędze, (j\omega\cdot j \omega=-\omega^2) mówimy, że filtry są II rzędu. Znormalizowany moduł transmitancji widmowej są odpowiednio równe

- filtr dolnoprzepustowy

|T(jx)|=\frac{1}{\sqrt {x^2\omega^2_g R^2C^2+(1-x^2\omega_g^2 LC)^2}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+(1-x^2)^2}}

- filtr górnoprzepustowy

|T(jx)|=\frac{x^2\omega_d^2 LC}{\sqrt { x^2\omega^2_g R^2C^2+(1-x^2\omega_g^2 LC)^2}}=\frac{x^2}{\sqrt{x^2+(1-x^2)^2}}



Enlarge
Odpowiednie schematy ideowe filtru zaporowego i filtru pasmowoprzepustowego przedstawiono na slajdzie 22. W tym wypadku znormalizowany moduł transmitancji widmowej i przesunięcie fazowe są odpowiednio równe:

- filtr pasmowoprzepustowy

|T(jx)|=\frac{x\omega_0 RC}{\sqrt { x^2\omega^2_g R^2C^2+(1-x^2\omega_g^2 LC)^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+(1-x^2)^2}}

- filtr pasmowozaporowy

|T(jx)|=\frac{|1-x^2\omega_0^2LC|}{\sqrt { x^2\omega^2_g R^2C^2+(1-x^2\omega_g^2 LC)^2}}=\frac{|1-x^2|}{\sqrt{x^2+(1-x^2)^2}}

Charakterystycznym parametrem filtrów pasmowych i rezonansowych jest pasmo przenoszenia B i dobroć filtru Q, definiowana jako: Q=\frac{f_0}{B} , gdzie f0 częstotliwość rezonansowa lub częstotliwość środkowa filtru. Pasmo przenoszenia wyznacza się przyjmując, że na krańcach pasma, dla częstotliwości dolnej i częstotliwości górnej, moduł transmitancji widmowej różni się od wartości jaką ma przy częstotliwości środkowej lub rezonansowej o ±3 dB.


Enlarge
Filtry aktywne

W zakresie małych częstotliwości realizacja filtrów rezonansowych stwarza wiele trudności. Ponieważ wartości indukcyjności dławików w obwodach filtrów są duże, zatem ich wykonanie jest trudne, a to w efekcie prowadzi do tego, że ich właściwości elektryczne nie są zadawalające. Dlatego, aby uniknąć tej sytuacji do typowych układów pasywnych z elementami RC dołącza się dodatkowy element aktywny. Takie układy nazywamy filtrami aktywnymi. Tego typu układy, w których rolę elementu aktywnego obecnie najczęściej pełni wzmacniacz operacyjny, są produkowane także w postaci gotowych układów scalonych. Filtry aktywne są filtrami sygnałowymi. Celem ich stosowania jest wydzielenie z sygnału roboczego sygnału użytecznego przy jednoczesnym stłumieniu zakłóceń. Podobnie jak w układach pasywnych filtr aktywny jest opisany transmitancją widmowa, z której można wyznaczyć charakterystyki częstotliwościowe układu oraz odpowiednie pulsacje lub częstotliwości (graniczne: dolną i górną, środkową lub rezonansową) oraz dla filtrów pasmowych pasmo częstotliwości przepuszczanych lub tłumionych i dobroć filtru. Cechy filtrów aktywnych

• możliwość wzmacniania sygnałów użytecznych

• możliwość realizacji filtrów selektywnych o częstotliwości środkowej (rezonansowej) rzędu 0,01 Hz i bardzo dużych dobrociach Q

• brak wpływu obciążenia na charakterystyki filtru

• łatwe i niezależne strojenie parametrów filtru (częstotliwość, wzmocnienie, dobroć)

• możliwość budowy filtrów uniwersalnych.


Enlarge
Filtry dolnoprzepustowe i górnoprzepustowe I rzędu

Schemat filtrów dolnoprzepustowych przedstawiono na slajdzie. Transmitancja widmowa układu powtarzającego ma postać

\frac{u_2(j\omega)}{u_1(j\omega)}=T(j\omega)\frac{R_1+R_2}{R_2}\cdot \frac{1}{1+j\omega T}

gdzie

T=\tau=RC

a układu odwracającego

\frac{u_2(j\omega)}{u_1(j\omega)}=T(j\omega)\frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{1+j\omega T}

gdzie

T=\tau=R_2C

Pulsacja i częstotliwość graniczna są równe

\omega_g=\frac{1}{T}

f_g=\frac{1}{2\pi T}


Charakterystyki częstotliwościowe są takie jak dla filtru pasywnego, przy czym charakterystyka amplitudowa jest przesunięta w pionie o wartość odpowiadającą ustawionemu w układzie wzmocnieniu (w skali dB).


Enlarge
Filtr górnoprzepustowy

Transmitancja widmowa jest opisana zależnością:

\frac{u_2(j\omega)}{u_1(j\omega)}=T(j\omega)\frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{j\omega T}{1+j\omega T}

gdzie

T=\tau=R_1C_1

Jak wynika z zależności 5.62 zmiana rezystora R2 powoduje zmianę wzmocnienia układu przy czym zmiana ta nie ma wpływu na częstotliwość graniczną filtru, która zależy wyłącznie od wartości elementów R1 i C1. Odpowiednio pulsacja i częstotliwość graniczna dolna opisane są wzorami:

\omega_g=\frac{1}{T}

f_g=\frac{1}{2\pi T}


Enlarge
Filtry dolnoprzepustowy i górnoprzepustowy II rzędu

Aktywny filtr dolnoprzepustowy z wielokrotnym ujemnym sprzężeniem zwrotnym. Schemat ideowy filtru przedstawiono na rysunku. Znormalizowana względem ωg transmitancja widmowa tego układu opisana jest zależnością:

T(jx)=\frac{-\frac{R_2}{R_1}}{1+jx\omega_g C_1(R_2+R_3+\frac{R_2R_3}{R_1})-x^2\omega^2_gC_1C_2R_2R_3}

gdzie

x=\frac{\omega}{\omega_g} (0<x<\infty)

Podana transmitancja widmowa układu jest prawdziwa, jeżeli założymy, że wzmacniacz operacyjny jest idealny. Warunek ten może być spełniony kiedy zastosujemy do realizacji układu szybki wzmacniacz operacyjny. Przy projektowaniu najczęściej zakłada się, że znane są wartości pojemności kondensatorów, a oblicza się rezystancje. W przypadku ogólnym transmitancję widmową dla dowolnego filtru dolnoprzepustowego II rzędu można zapisać w postaci:

T(jx)=\frac{k_u_0}{1+jxa_1-x^2b_1}

Współczynniki k_u_0 ustala wzmocnienie układu dla składowej stałej i jest przyjmowany dowolnie w zależności od potrzeb. Współczynniki a_1 oraz b_1 są dodatnie i mają określone stałe wartości, które zostały stabelaryzowane w zależności od rodzaju realizowanego filtru. Do najpopularniejszych należą filtry:

• z tłumieniem krytycznym

• Bessela

• Butterwortha

• Czejbyszewa

W zależności od rodzaju filtru odpowiednio wybrane wartości współczynników a1, b1 umożliwiają realizację odpowiedniego kształtu charakterystyki amplitudowej filtru. Np. realizując filtr z tłumieniem krytycznym należy przyjąć następujące wartości współczynników: a_1 = 1,2872, b_1 = 0,4142 Omawiany tutaj filtr dolnoprzepustowy z wielokrotnym ujemnym sprzężeniem zwrotnym dla składowej stałej odwraca fazę sygnału (ku0 < 0), a zatem można wnioskować, że podobnie dzieje się dla sygnałów w zakresie małych częstotliwości. Obliczone rezystancje R_1, R_2, R_3 przy zadanych wartościach pojemności kondensatorów są rzeczywiste (dodatnie), gdy jest spełniony warunek

\frac{C_2}{C_1}>\frac{4b_1(1-k_u_0)}{a_1^2}


Enlarge
Aktywny filtr dolnoprzepustowy można r\'{o}wnież zrealizować obejmując

wzmacniacz operacyjny, w kt\'{o}rym dokładnie ustalono wzmocnienie napięciowe za pomocą ujemnego sprzężenia zwrotnego, pętlą dodatniego sprzężenia zwrotnego. \newline W układzie jak na rysunku sprzężenie dodatnie jest realizowane przez elementy R$_{1}$, R$_{2}$, C$_{1}$, C$_{2}$, a sprzężenie ujemne przez elementy (k$_{u0}$ -- 1)R$_{3}$ oraz R$_{3}$.



Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge