Układy elektroniczne i technika pomiarowa/Moduł 2

From Studia Informatyczne

wersja beta


UKŁADY ELEKTRONICZNE I TECHNIKA POMIAROWA

Moduł 2 - Sprzężenie zwrotne

Enlarge
Wykład 2. Sprzężenie zwrotne

Enlarge
Wstęp

Koncepcję sprzężenia zwrotnego, w latach trzydziestych dwudziestego wieku, opublikował H. S. Black i obecnie jest ono (sprzężenie zwrotne) powszechnie stosowne w analogowych układach elektronicznych.

W niniejszym module opisano podstawowe elementy teorii sprzężenia zwrotnego. Wprowadzono klasyfikację sprzężeń zwrotnych oraz omówiono podstawowe pojęcia związane z opisem sygnałów i ich transmisją w analogowych układach elektronicznych. Przedstawiono także wpływ sprzężenia zwrotnego na podstawowe parametry układu elektronicznego, takie jak: wzmocnienie, impedancję wejściową i wyjściową, charakterystyki częstotliwościowe, zakłócenia i szumy oraz stabilność i liniowość.


Enlarge
Słowniczek

sprzężenie zwrotne – transmisja całego lub części sygnału wyjściowego w układzie elektronicznym i po zsumowaniu z sygnałem sterującym ponowne zadanie go na wejście układu

stopień sprzężenia zwrotnego lub współczynnik redukcji wzmocnienia – wyrażenie, jeden minus wzmocnienie pętli sprzężenia zwrotnego, występujące w mianowniku transmitancji układu zamkniętego


Enlarge
sygnał sprzężenia zwrotnego – sygnał wyjściowy czwórnika sprzężenia zwrotnego, który jest sumowany z sygnałem sterującym układ elektroniczny

transmitancja czwórnika sprzężenia zwrotnego – transmitancja widmowa układu liniowego, szczególny przypadek transmitancji operatorowej układu liniowego. Jest to stosunek sygnałów harmonicznych wyjściowego do wejściowego czwórnika sprzężenia zwrotnego zapisanych w postaci liczb zespolonych

transmitancja układu otwartego - transmitancja widmowa układu liniowego, szczególny przypadek transmitancji operatorowej układu liniowego. Jest to stosunek sygnałów harmonicznych wyjściowego do wejściowego układu elektronicznego ( np. wzmacniacza) zapisanych w postaci liczb zespolonych


Enlarge
układ regulacji automatycznej – układ sterowania, w którym zastosowano sprzężenie zwrotne, układ zamknięty

układ zamknięty – układ ze sprzężeniem zwrotnym

wzmocnienie pętli sprzężenia zwrotnego – moduł iloczynu transmitancji widmowej układu otwartego i transmitancji widmowej czwórnika sprzężenia zwrotnego


Enlarge
Pojęcia podstawowe

Termin sprzężenie zwrotne jest związany z teorią transmisji sygnałów i oznacza, że napięcie wyjściowe dowolnego liniowego układu analogowego, np. wzmacniacza akustycznego, w odpowiedniej proporcji oraz w miarę potrzeby odpowiednio odfiltrowane ponownie jest kierowane do wejścia wzmacniacza i dodaje się lub odejmuje się od sygnału sterującego. Kiedy sygnał sprzężenia zwrotnego odejmuje się od sygnału sterującego wzmacniacz, występuje sprzężenie zwrotne ujemne.

Jeżeli sygnały sterujący i sprzężenia zwrotnego dodają się, występuje sprzężenie zwrotne dodatnie.


Enlarge
Podobnie jak w układach regulacji automatycznej gdzie bloki są opisane transmitancją widmową tak i poszczególne fragmenty lub całe układy elektroniczne można traktować jak czwórniki i także można je opisać odpowiednią transmitancją widmową np. K(j\omega),\, \beta(j\omega)\,.

Enlarge

Enlarge
Weźmy pod uwagę schemat blokowy układu przedstawiony na rysunku. Układ składa się

z dwóch czwórników o transmitancjach:

K(j\omega)\, – dla czwórnika wzmacniacza,

\beta(j\omega)\, – dla czwórnika sprzężenia zwrotnego.

Ponieważ w ogólnym wypadku transmitancje widmowe obu czwórników zależą od częstotliwości dlatego są funkcjami zmiennych zespolonych.

Transmitancję widmową K(j\omega)\, nazywamy transmitancją układu otwartego, a transmitancję widmową \beta(j\omega)\, transmitancją czwórnika sprzężenia zwrotnego.

Przyjmując oznaczenia:

X(j\omega)\, – sygnał sterujący,

X_s(j\omega)\, – sygnał wyjściowy czwórnika sprzężenia zwrotnego,

X_i(j\omega)\, – sygnał wejściowy czwórnika wzmacniacza,

Y(j\omega)\, – sygnał wyjściowy, który jest jednocześnie sygnałem wejściowym czwórnika sprzężenia zwrotnego, przedstawiony na rysunku schemat można opisać równaniami:

\displaystyle K(j\omega)=\frac{Y(j\omega)}{X_i(j\omega)} 2.1
\displaystyle \beta(j\omega)=\frac{X_s(j\omega)}{Y(j\omega)} 2.2

Łatwo zauważyć, że dla sprzężenia zwrotnego ujemnego

\displaystyle X(j\omega)-X_s(j\omega)= X_i(j\omega) 2.3

a dla sprzężenia zwrotnego dodatniego

\displaystyle X(j\omega)+X_s(j\omega)= X_i(j\omega) 2.4

Enlarge
Transmitancja układu ze sprzężeniem zwrotnym K_z(j\omega)\,, zwanego krótko układem zamkniętym, uwzględniając zależności 2.1, 2.2, oraz 2.3. lub 2.4, jest opisana zależnością:
\displaystyle K_z(j\omega)= \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}=\frac{K(j\omega)}{1-K(j\omega)\cdot \beta(j\omega)}} 2.5

Ponieważ czwórnik sprzężenia zwrotnego najczęściej spełnia zależność \beta(j\omega)>0\, (sprzężenie nie odwraca fazy sygnału), aby zrealizować ujemne sprzężenie zwrotne, czwórnik wzmacniacza powinien spełnić zależność K(j\omega)<0\, (odwraca fazę), a dla sprzężenia zwrotnego dodatniego K(j\omega)>0\, (nie odwraca fazy).


Enlarge
Iloczyn |K(j\omega)\cdot \beta(j\omega)|\, jest nazywany wzmocnieniem pętli sprzężenia zwrotnego. Jeżeli wzmocnienie pętli jest duże mówimy, że w układzie zastosowano silne sprzężenie zwrotne.

Dołączenie czwórnika sprzężenia zwrotnego zmienia wzmocnienie układu otwartego.

W zależności od warunku jaki spełnia wyrażenie 1-K(j\omega)\cdot \beta(j\omega)\, można wyróżnić trzy podstawowe skutki działania sprzężenia zwrotnego:


Enlarge
\begin{matrix} Przypadek 1. & \displaystyle |1-K(j\omega)\cdot \beta(j\omega)|>1; & \displaystyle |K_z(j\omega)|<|K(j\omega)| \end{matrix} 2.6

W układzie występuje ujemne sprzężenie zwrotne. Wzmocnienia w układzie zamkniętym w stosunku do wzmocnienia jakie było w układzie otwartym zmniejsza się.


Enlarge
\begin{matrix} Przypadek 2. & \displaystyle |1-K(j\omega)\cdot \beta(j\omega)|>1; & \displaystyle |K_z(j\omega)|>|K(j\omega)| \end{matrix} 2.7

W układzie występuje dodatnie sprzężenie zwrotne, które powoduje w układzie zamkniętym zwiększenie wzmocnienia w stosunku do wzmocnienia jakie było w układzie otwartym.


Enlarge
\begin{matrix} Przypadek 3. & \displaystyle |1-K(j\omega)\cdot \beta(j\omega)|=0; & \displaystyle |K_z(j\omega)|\to \infty \end{matrix} 2.8

Dodatnie sprzężenie zwrotne jest tak silne, że możliwa jest praca układu zamkniętego bez zewnętrznego sygnału sterującego.

W układach elektronicznych wykorzystuje się wszystkie trzy wyżej wymienione przypadki. Pierwszy jest stosowany we wzmacniaczach głównie w celu poprawy ich parametrów eksploatacyjnych. W przypadku układów ze wzmacniaczami operacyjnymi wzmocnieniem pętli sprzężenia zwrotnego jest bardzo duże. Oznacza to, że oddziaływanie pętli sprzężenia zwrotnego jest tak silne, że o właściwościach statycznych i dynamicznych układu zamkniętego decydują wyłącznie elementy z jakich jest zbudowana pętla sprzężenia zwrotnego. Do budowy tej pętli stosuje się elementy pasywne (np. kondensator i rezystory) o stabilnych parametrach nie wrażliwych np. na zmianę temperatury.


Drugi przypadek jest powszechnie stosowany w układach przełączających, głównie w technice cyfrowej, w których pętla sprzężenia zwrotnego działa forsująco, powodując szybką zmianę stanu łączników elektronicznych. Umożliwia to uzyskanie sygnałów impulsowych o dużej stromości narastania i opadania.

Trzeci przypadek występuje w układach generatorów drgań sinusoidalnych z pętlą sprzężenia zwrotnego.


Enlarge
Klasyfikacja sprzężeń zwrotnych

Podstawowy podział sprzężeń zwrotnych to podział na sprzężenie zwrotne dodatnie i sprzężenie zwrotne ujemne. Tę cechę należy bezwzględnie podać, aby ocenić właściwości układu z punktu widzenia transmisji i przetwarzania sygnałów.

Ponad to sprzężenia zwrotne dzielimy:

  • ze względu na sposób wprowadzenia sygnału sprzężenia zwrotnego na wejście wzmacniacza na sprzężenie zwrotne szeregowe i sprzężenie zwrotne równoległe,
  • ze względu na sposób próbkowania (pomiaru) sygnału sprzężenia zwrotnego na wyjściu wzmacniacza na sprzężenie zwrotne prądowe i sprzężenie zwrotne napięciowe,
  • ze względu na kształt charakterystyki częstotliwościowej czwórnika sprzężenia zwrotnego na sprzężenie zwrotne selektywne i sprzężenie zwrotne liniowe (nieselektywne).
  • ze względu na liczbę czwórników (stopni wzmacniających) w torze wzmacniacza na sprzężenie zwrotne jednostopniowe i sprzężenie zwrotne wielostopniowe,
  • ze względu na rodzaj zastosowanych do budowy pętli sprzężenia zwrotnego elementów na sprzężenie zwrotne pasywne i sprzężenie zwrotne aktywne.

Enlarge
Sprzężenie zwrotne: a) szeregowe, b) równoległe c) napięciowe, d) prądowe

Te cechy sprzężenia zwrotnego (szeregowe czy równoległe, napięciowe czy prądowe) należy bezwzględnie podać, jeżeli chcemy dokładnie określić, z punktu widzenia transmisji sygnałów, rodzaj zastosowanego w układzie sprzężenia zwrotnego i jednoznacznie opisać skutki jego zastosowania.


Enlarge
Przykłady realizacji rzeczywistych układów ze sprzężeniem zwrotnym.

Proste przykłady zastosowania ujemnego sprzężenia zwrotnego: a) sprzężenie napięciowe-równoległe, b) sprzężenie prądowe-szeregowe.


Enlarge
W zależności od rodzaju zastosowanego sprzężenia zwrotnego poszczególne transmitancje widmowe K(j\omega)\, i \beta(j\omega)\, maja różną postać, stosownie do tego, jakie sygnały są rozważane na wejściu i na wyjściu układu.

Dla sprzężenia napięciowego-szeregowego

\begin{matrix} \displaystyle K(j\omega)=\frac{U(j\omega)}{U_i(j\omega)}=K_u(j\omega); & \displaystyle \beta(j\omega)=\frac{U_s(j\omega)}{U(j\omega)}=\beta_u(j\omega) \end{matrix} 2.9

Dla sprzężenia napięciowego-równoległego

\begin{matrix} \displaystyle K(j\omega)=\frac{U(j\omega)}{I_i(j\omega)}=K_{ui}(j\omega); & \displaystyle \beta(j\omega)=\frac{I_s(j\omega)}{U(j\omega)}=\beta_{iu}(j\omega) \end{matrix} 2.10

Dla sprzężenia prądowego-szeregowego

\begin{matrix} \displaystyle K(j\omega)=\frac{I(j\omega)}{U_i(j\omega)}=K_{iu}(j\omega); & \displaystyle \beta(j\omega)=\frac{U_s(j\omega)}{I(j\omega)}=\beta_{ui}(j\omega) \end{matrix} 2.11

Dla sprzężenia prądowego-równoległego

\begin{matrix} \displaystyle K(j\omega)=\frac{I(j\omega)}{I_i(j\omega)}=K_i(j\omega); & \displaystyle \beta(j\omega)=\frac{I_s(j\omega)}{I(j\omega)}=\beta_i(j\omega) \end{matrix} 2.12

Enlarge
Topologie idealnych czwórników stosowanych w pętli sprzężenia zwrotnego:
a) dla sprzężenia napięciowego-szeregowego,
b) dla sprzężenia napięciowego-równoległego
c) dla sprzężenia prądowego-szeregowego,
d) dla sprzężenia prądowego-równoległego.

Zależność opisująca transmitancję układu zamkniętego jest prawdziwa tylko dla tych transmitancji, które odpowiadają kombinacji sygnałów wejściowych i wyjściowych konkretnego rodzaju sprzężenia zwrotnego. Jeżeli np. sprzężenie jest prądowe-szeregowe to transmitancje widmowe K(j\omega)\, i K_z(j\omega)\, są transmitancjami prądowo-napięciowymi K_{iu}(j\omega)\, i K_{ziu}(j\omega)\, i nie można wnioskować na ich podstawie jakie są wzmocnienia napięciowe K_u(j\omega)\, i K_{zu}(j\omega)\, lub prądowe K_i(j\omega)\, i K_{zi}(j\omega)\,.


Enlarge
Wpływ ujemnego sprzężenia zwrotnego na właściwości wzmacniacza

Wzmocnienie

W układzie z ujemnym sprzężeniem zwrotnym zawsze odpowiednie wzmocnienie układu zamkniętego K_{zu}(j\omega),\, K_{ziu}(j\omega),\, K_{zui}(j\omega),\, K_{zi}(j\omega)\, jest mniejsze od wzmocnienia w układzie otwartym K_u(j\omega),\, K_{iu}(j\omega),\, K_{ui}(j\omega),\, K_i(j\omega)\, .

Impedancja wejściowa

Jeżeli zastosowane sprzężenie zwrotne jest szeregowe to impedancja wejściowa układu zamkniętego rośnie, jeśli równoległe zmniejsza się. Odpowiednie zmiany wynikają z połączenia impedancji wejściowej wzmacniacza i impedancji wyjściowej czwórnika sprzężenia zwrotnego. W przypadku sprzężenia szeregowego impedancje dodają się. Przy sprzężeniu równoległym są połączone równolegle.

Impedancja wyjściowa

Jeżeli zastosowane sprzężenie zwrotne jest prądowe to impedancja wyjściowa układu zamkniętego rośnie, a jeśli napięciowe zmniejsza się. W przypadku sprzężenia prądowego impedancja wyjściowa układu zamkniętego jest sumą impedancji wyjściowej wzmacniacza i wejściowej czwórnika sprzężenia zwrotnego. Przy sprzężeniu napięciowym obie impedancje są połączone równolegle.

W tabeli przedstawiono wpływ ujemnego sprzężenia zwrotnego na parametry robocze wzmacniacza.

We wszystkich przypadkach zmiany są proporcjonalne do współczynnika k = |1 - K(j\omega)\cdot \beta(j\omega)| zwanego stopniem sprzężenia zwrotnego lub współczynnikiem redukcji wzmocnienia.


Enlarge
Liniowość układu

Z zasady działania ujemnego sprzężenia zwrotnego wynika, że dzięki porównaniu sygnału sterującego wzmacniacz X(j\omega)\, z próbką sygnału wyjściowego X_s(j\omega)\, powstaje mały sygnał uchybu X_i(j\omega)\, sterujący wejściem wzmacniacza, który jest tym mniejszy im większe wzmocnienie pętli sprzężenia zwrotnego. Zatem, jeżeli wzmacniacz bez sprzężenia zwrotnego jest nieliniowy to w wyniku działania ujemnego sprzężenia zwrotnego w znacznym stopniu ograniczony zostaje zakres zmian sygnału X_i(j\omega)\,, i dzięki temu powstałe zniekształcenia sygnału wyjściowego będą częściowo skompensowane. Zatem w przypadku bardzo silnego sprzężenia zwrotnego linearyzacja charakterystyki przenoszenia układu będzie bardzo skuteczna. Działanie linearyzujące ujemnego sprzężenia zwrotnego w układzie wzmacniacza przedstawiono na rysunku.


Enlarge
Zakłócenia i szumy

Na slajdzie 22 przedstawiono schemat blokowy układu ze sprzężeniem zwrotnym, w którym uwzględniono sygnały zakłócające.

Sygnały zakłócające X_{z1}(j\omega)\,, w tym także szumy, które są zawarte w sygnale wejściowym dodają się do sygnału użytecznego X(j\omega)\, i są identycznie jak ten sygnał i są identycznie wzmacniane. Zatem zastosowanie sprzężenia zwrotnego nie poprawi w tym wypadku stosunku sygnału do szumów. Co więcej, ponieważ obwód sprzężenia zwrotnego jest zbudowany z elementów, które z natury są źródłem dodatkowych szumów (zwykle rezystorów), wartość współczynnika szumów układu ze sprzężeniem zwrotnym będzie zazwyczaj większa niż w układzie otwartym. W praktyce w prawidłowo zrealizowanej pętli sprzężenia zwrotnego przyrost ten powinien być niewielki.

Jeżeli sygnały zakłóceń X_{z2}(j\omega),\, X_{z3}(j\omega),\, X_{z4}(j\omega), są wprowadzane na wejścia dalszych stopni wzmacniacza układ ze sprzężeniem zwrotnym tłumi je tym bardziej im bliżej wyjścia znajduje się ich źródło. Wynika to z analizy zależności opisującej sygnał wyjściowy w układzie ze slajdu 22:

\displaystyle Y(j\omega)=\frac{[X(j\omega)+X_{z1}(j\omega)+X_{z2}(j\omega)]\cdot K_1(j\omega)\cdot K_2(j\omega)}{1-\beta(j\omega)\cdot K_1(j\omega)\cdot K_2(j\omega)}+
\displaystyle +\frac{X_{z3}(j\omega)\cdot K_2(j\omega)}{1-\beta(j\omega)\cdot K_1(j\omega)\cdot K_2(j\omega)}+\frac{X_{z4}(j\omega)}{1-\beta(j\omega)\cdot K_1(j\omega)\cdot K_2(j\omega)}
2.13

Sygnał zakłócający X_{z4}(j\omega)\, działający na stopień wyjściowy jest najbardziej tłumiony. Jest to szczególnie korzystne w układach wzmacniaczy mocy, w których stopnie końcowe zasila się z niestabilizowanego źródła napięcia stałego o dość dużej zawartości tętnień.


Enlarge
Charakterystyki częstotliwościowe

Wpływ sprzężenia zwrotnego na charakterystyki częstotliwościowe układu zamkniętego zależy od przebiegu tych charakterystyk w układzie bez sprzężenia.

W najprostszym przypadku zakłada się, że wzmacniacz jest opisany transmitancją widmową układu dolnoprzepustowego pierwszego rzędu:

 :\displaystyle K(j\omega)=\frac{K_0}{\displaystyle 1+j\frac{\omega}{\omega_g}} 2.14

gdzie K_0\, (K_0 < 0)\, wzmocnienie wzmacniacza odwracającego fazę dla niskich częstotliwości, a ω_g\, górna graniczna pulsacja wzmacniacza oraz transmitancja widmowa pętli sprzężenia zwrotnego nie zależy od częstotliwości i jest opisana zależnością:

\displaystyle \beta(j\omega)=\beta_0\,(\beta_0>0) 2.15

Transmitancja widmowa układu zamkniętego ma postać:

 :\displaystyle K_z(j\omega)=\frac{K_{z0}}{\displaystyle 1+j\frac{\omega}{\omega_{gz}}} 2.16

gdzie \displaystyle K_{z0}=\frac{K_0}{1-\beta_0 K_0} wzmocnienie układu w zakresie niskich częstotliwości, a \displaystyle \omega_{gz}=\omega_g{(1-\beta_0 K_0)} górna graniczna pulsacja wzmacniacza objętego sprzężeniem zwrotnym.

Ujemne sprzężenie zwrotne powoduje zwiększenie górnej częstotliwości granicznej wzmacniacza proporcjonalnie do współczynnika redukcji wzmocnienia dla niskich częstotliwości. Iloczyn wzmocnienia │K_0│\, i częstotliwości f_g\, nazywamy polem wzmocnienia i jest dla układów o transmitancji widmowej opisanej zależnością 2.14 stała:

\displaystyle |K_0|\cdot f_g =|K_{z0}|\cdot f_{gz}=const

Do podobnych wniosków prowadzi analiza wzmacniacza, który jest opisany transmitancją widmową układu górnoprzepustowego pierwszego rzędu:

 :\displaystyle K(j\omega)=\frac{K_0}{\displaystyle 1+\frac{\omega_d}{j\omega}} 2.17

gdzie K_0\, (K_0 < 0)\, wzmocnienie wzmacniacza dla wysokich częstotliwości, a \omega_d\, dolna graniczna pulsacja wzmacniacza. Przyjmując, że transmitancja widmowa pętli sprzężenia zwrotnego nie zależy od częstotliwości, transmitancja widmowa układu zamkniętego ma postać:

 :\displaystyle K_{z0}(j\omega)=\frac{K_{z0}}{\displaystyle 1+\frac{\omega_{dz}}{j\omega}} 2.18

gdzie \displaystyle K_{z0}=\frac{K_0}{1-\beta_0 K_0} wzmocnienie układu w zakresie wysokich częstotliwości, a \displaystyle \omega{dz}=\frac{\omega_d}{1-\beta_0 K_0} dolna graniczna pulsacja wzmacniacza objętego sprzężeniem zwrotnym.

W zakresie niskich częstotliwości pasmo przenoszenia rozszerza się proporcjonalnie do współczynnika redukcji wzmocnienia.


Enlarge
Stabilność

Wraz ze wzrostem liczby stopni wzmacniacza objętych pętlą sprzężenia zwrotnego może w pętli sprzężenia zwrotnego wystąpić tak duże przesunięcie fazy, że zmieni się charakter sprzężenia z ujemnego na dodatnie, a to w konsekwencji spowoduje generację drgań i uniemożliwi prawidłową pracę wzmacniacza.


Enlarge
Podsumowanie

Ujemne sprzężenie zwrotne powoduje w układzie elektronicznym:

  • poprawę liniowości charakterystyki przenoszenia,
  • poszerzenie pasma przenoszenia,
  • modyfikację impedancji wejściowej i wyjściowej,
  • zmniejszenie wrażliwość układu na zakłócenia, np. pochodzące z sieci zasilającej (przydźwięk),
  • zmniejszenie wpływu zmian parametrów zasilania i elementów układu, głównie parametrów tranzystorów na wzmocnienie,
  • stabilizację punkty pracy tranzystorów,
  • zwiększenie stabilność pracy, oraz umożliwia kształtowanie charakterystyki częstotliwościowej układu.

Bibliografia

  1. Black H. S.: Stabilized feedback amplifiers. Electrical Engineering, Vol. 53,

January 1934, s. 114-120.

  1. Kaźmierkowski M. P., Matysik J. T.: Wprowadzenie do elektroniki i energoelektroniki, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2005
  2. Baranowski J., Nosal Z.: Układy elektroniczne cz. I. Układy analogowe liniowe, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1998