Teoria kategorii dla informatyków/Test 5: Funktory i transformacje naturalne

From Studia Informatyczne

Funktory tego samego typu wraz z ich transformacjami naturalnymi tworzą kategorię.

Prawda

Fałsz


\displaystyle \mathbf{Top} jest konkretna.

Prawda

Fałsz


\displaystyle \mathbf{Rel} jest konkretna.

Prawda

Fałsz


Funktor \displaystyle \mathrm{List}\colon \mathbf{Set}\to\mathbf{Mon} zachowuje koprodukty.

Prawda

Fałsz


Funktor \displaystyle \mathrm{List}\colon \mathbf{Set}\to\mathbf{Mon} zachowuje obiekt końcowy.

Prawda

Fałsz


Funktor \displaystyle \mathrm{List}\colon \mathbf{Set}\to\mathbf{Mon} zachowuje obiekt początkowy.

Prawda

Fałsz


Funktor zapominania \displaystyle \mathbf{Top}\to\mathbf{Set} jest pełny.

Prawda

Fałsz


Kontrawariantny funktor potęgowy jest pełny.

Prawda

Fałsz


Każda rama jest algebrą Heytinga.

Prawda

Fałsz


Operacja przypisująca danej przestrzeni topologicznej jej zbiory otwarte może być rozszerzona do funktora kontrawariantnego.

Prawda

Fałsz


Kontrawariantny funktor potęgowy jest zawsze wierny.

Prawda

Fałsz


Transformacja naturalna dwóch funktorów, której komponentami są izomorfizmy jest izomorfizmem w pewnej kategorii funktorów.

Prawda

Fałsz


Istnieją dwa funktory, których złożenie jest transformacją identycznościową w \displaystyle \mathbf{Set}, ale które nie są izomorficzne.

Prawda

Fałsz


Operacja, która przestrzeni wektorowej \displaystyle V przypisuje jej przestrzeń podwójnie dualną \displaystyle V^{**} jest naturalnym izomorfizmem.

Prawda

Fałsz


Operacja, która przestrzeni wektorowej \displaystyle V przypisuje jej przestrzeń podwójnie dualną \displaystyle V^{**} jest naturalnym izomorfizmem, o ile \displaystyle V jest skończenie wymiarowa.

Prawda

Fałsz


Kowariantny homfunktor zachowuje produkty dowolnej mocy.

Prawda

Fałsz


Dla dowolonych zbiorów \displaystyle X,Y istnieje następująca bijekcja:
\displaystyle \mathcal{P}(X\times Y)\cong \mathcal{P}(X)\times \mathcal{P}(Y).

Prawda

Fałsz


Operacja \displaystyle F\colon \mathbf{C}\times \mathbf{D}\to \mathbf{E} jest bifunktorem wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych obiektów \displaystyle C\in \mathbf{C}_0, \displaystyle D\in \mathbf{D}_0 operacje \displaystyle F(C,-)\colon \mathbf{D}\to \mathbf{E} oraz \displaystyle F(-,D)\colon \mathbf{C}\to\mathbf{E} są funktorami.

Prawda

Fałsz


Inkluzja \displaystyle \mathbf{Grp}\to\mathbf{Cat} zachowuje eksponenty.

Prawda

Fałsz