Teoria kategorii dla informatyków/Test 15: Algebry i koalgebry endofunktorów

From Studia Informatyczne

Koalgebrą funktora \displaystyle T\colon \mathbf{Set}\to\mathbf{Set} jest każda para \displaystyle (X,a\colon TX\to X).

Prawda

Fałsz


Algebry początkowe endofunktorów w \displaystyle \mathbf{Set} są jedyne z dokładnością do izomrfizmu.

Prawda

Fałsz


Istnieje kategoria, w której para \displaystyle (\mathbb{N},[0,s]\colon \mathbf{1}+\mathbb{N}\to\mathbb{N}) jest obiektem końcowym.

Prawda

Fałsz


Nieskończone listy nad alfabetem \displaystyle A są koalgebrą końcową pewnego endofunktora na \displaystyle \mathbf{Set}.

Prawda

Fałsz


Nieskończone listy nad alfabetem \displaystyle A są koalgebrą początkową pewnego endofunktora na \displaystyle \mathbf{Set}.

Prawda

Fałsz


Każda bisymulacja jest bipodobieństwem, ale nie odwrotnie.

Prawda

Fałsz


Dwie nieskończone listy będące w relacji bisymulacji muszą być sobie równe.

Prawda

Fałsz


Dwie bipodobne nieskończone listy są sobie równe.

Prawda

Fałsz


Istnieje bipodobieństwo, które nie jest bisymulacją.

Prawda

Fałsz


Koindukcja jest metodą dowodzenia własności list nieskończonych.

Prawda

Fałsz


Metoda dowodzenia przez koindukcję opiera się na własności uniwersalnej algebr początkowych endofunktorów w \displaystyle \mathbf{Set}.

Prawda

Fałsz


Relacja odwrotna do bisymulacji jest bipodobieństwem.

Prawda

Fałsz


\displaystyle T-koalgebry dla ustalonego funktora \displaystyle T\colon \mathbf{Set}\to\mathbf{Set} wraz z homomorfizmami tworzą kategorię małą.

Prawda

Fałsz


Graf homomorfizmu dwóch dowolnych koalgebr jest bipodobieństwem.

Prawda

Fałsz


Graf homomorfizmu dwóch dowolnych koalgebr jest bisymulacją.

Prawda

Fałsz


Istnieją endofunktory w \displaystyle \mathbf{Set}, dla których kategoria algebr nie posiada obiektu początkowego.

Prawda

Fałsz


Dla każdego endofunktora \displaystyle T w \displaystyle \mathbf{Set} kategoria \displaystyle T-koalgebr posiada obiekt końcowy.

Prawda

Fałsz


Zasada indukcji matematycznej na liczabch naturalnych jest równoważna faktowi, że liczby naturalne wraz z elementem zero i funkcją następnika tworzą algebrę początkową endofunktora \displaystyle \mathbf{1}+(-) w \displaystyle \mathbf{Set}.

Prawda

Fałsz


Każda \displaystyle T-algebra początkowa jest izomorfizmem.

Prawda

Fałsz


Każda \displaystyle T-koalgebra końcowa jest izomorfizmem.

Prawda

Fałsz