TTS Moduł 3

From Studia Informatyczne

Spis treści

Wykład

Enlarge
W poprzednim module zajmowaliśmy się falą płaską rozchodzącą się w nieograniczonej przestrzeni, która jest ważnym rodzajem fali elektromagnetycznej w zastosowaniach telekomunikacyjnych bo występuje pomiędzy antenami nadawczą i odbiorczą.

Niemniej istotne jest rozchodzenie się fal elektromagnetycznych we wszelkiego rodzaju liniach transmisyjnych, w których fale prowadzone są w określonym kierunku. Linie te nazywamy prowadnicami falowymi.

W module 3 poznamy fale elektromagnetyczne w podstawowych prowadnicach falowych stosowanych w technice pasm radiowych i mikrofalowych. Przedstawimy własności i parametry tych fal podkreślając różnice z falą płaską. Wprowadzimy podstawowe parametry obwodowe prowadnicy falowej (napięcie, prąd, impedancję charakterystyczną), które będą przydatne w szeregu zagadnieniach omawianych w kolejnych wykładach.



Enlarge
Rozpoczniemy od klasyfikacji fal elektromagnetycznych ze wskazaniem prowadnic falowych, w których się rozchodzą.

Ponieważ w strukturze prowadnicy występują dielektryki i przewodniki, należy omówić warunki brzegowe pól na granicy tych ośrodków. Znajomość tych warunków jest niezwykle istotna przy wyznaczaniu pól elektromagnetycznych w prowadnicach falowych.

W dalszej części przedstawione zostaną podstawowe prowadnice falowe stosowane do transmisji sygnałów na odległości od ułamka metra do setek metrów w zakresie fal radiowych i mikrofalowych, czyli linia współosiowa oraz falowody prostokątny i kołowy. Poznamy struktury tych linii, własności fal w nich propagowanych, rozkłady pól elektromagnetycznych podstawowych rodzajów i parametry obwodowe linii.

Podzespoły pracujące w pasmach mikrofalowych i stosowane w systemach radiokomunikacji realizowane są powszechnie jako mikrofalowe układy scalone (w skrócie: MUS). Charakterystyczną cechą tych układów jest występowanie prowadnicy falowej pomiędzy elementami o stałych skupionych (diody, tranzystory, rezystory, kondensatory). Poznamy dwie podstawowe prowadnice MUS: linię mikropaskową i falowód koplanarny.

Dla celów analizy prowadnic falowych przyjmuje się, że występujące w nich przewodniki są idealne. To założenie znakomicie upraszcza proces wyznaczania pola elektromagnetycznego w linii, ale nie pozwala na obliczenie tłumienia fali. Rzeczywiste przewodniki są istotnym źródłem strat mocy fali. Z punktu widzenia transmisji sygnałów tłumienie fali w prowadnicy jest ważnym zjawiskiem i zajmiemy się nim na zakończenie tego modułu.




Enlarge
Prowadzenie fal uzyskuje się wzdłuż określonego układu przewodników lub dielektryków (tzn. w obszarach cylindrycznych, których granicę są przewodzące lub są to granice dwóch dielektryków, ewentualnie odpowiednia kombinacja wymienionych materiałów). W przypadku prowadzenia fal wzdłuż przewodników, możliwe jest rozchodzenie się energii elektromagnetycznej w liniach składających się z dwóch lub więcej przewodów, a także w rurach (najczęściej o przekroju prostokątnym albo kołowym), które nie zawierają wewnątrz dodatkowych przewodników, tzw. falowodach. Natomiast przykładem prowadnicy falowej będącej układem warstw dielektrycznych jest światłowód, bez którego trudno wyobrazić sobie dzisiejszą telekomunikację.

Fale w prowadnicach falowych nie muszą być falami typu TEM, tzn. mogą one mieć składowe pól elektrycznego i magnetycznego wzdłuż kierunku rozchodzenia się fali. Wprowadzić należy klasyfikację możliwych rodzajów fal nazywanych również modami.

Przyjmijmy, że fala rozchodzi się zgodnie z kierunkiem osi z i wtedy wyróżnia się następujące typy fal:

  • fala typu TEM (poprzeczna elektryczna-magnetyczna, z ang. Transverse Electric-Magnetic):
E_z = 0 – pole elektryczne leży w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji fali (wektor natężenia pola elektrycznego ma co najwyżej dwie składowe),
H_z = 0 – pole magnetyczne leży w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji fali(wektor natężenia pola magnetycznego ma co najwyżej dwie składowe);
  • fala typu E (określana też TM – poprzeczna magnetyczna, z ang. Transverse Magnetic):
E_z \neq 0 – niezerowa składowa pola elektrycznego w kierunku rozchodzenia się fali (może mieć trzy składowe),
H_z = 0 – pole magnetyczne leży w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji fali;
  • fala typu H (określana też TE – poprzeczna elektryczna, z ang. Transverse Electric):
H_z \neq 0 – niezerowa składowa pola magnetycznego w kierunku rozchodzenia się fali (może mieć trzy składowe),
E_z = 0 – pole elektryczne leży w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji fali;
  • fala typu EH: E_z \neq 0, H_z \neq 0.

Z powyższego wykazu wynika, że tylko pierwszy z wymienionych typów fal jest falą poprzeczną. Prowadnice falowe, w których mogą rozchodzić się rodzaje TEM nazywamy liniami TEM lub prowadnicami TEM. Struktura prowadnicy TEM musi zawierać co najmniej dwa przewody. Przykładem linii TEM jest linia współosiowa, tzw. kabel koncentryczny.

Fale E i H rozchodzą się w falowodach. Falowody stosuje się do prowadzenia fali elektro-magnetycznej z mniejszymi stratami niż w linii TEM (np. w transponderach satelitów telekomunikacyjnych) lub do przesyłania dużych mocy, których przesłanie nie jest możliwe linią współosiową (np. w radarach).

Fale typu EH występują między innymi w falowodach dielektrycznych i światłowodach.


Enlarge
Określenie postaci fali elektromagnetycznej w prowadnicy falowej wiąże się z poszukiwaniem rozwiązań równań Maxwella, które jest zagadnieniem matematycznym innego typu niż w przypadku fali w nieograniczonej przestrzeni. Ze względu na to, że mamy tu do czynienia z obszarem cylindrycznym o granicy przewodzącej lub w formie granicy dwóch dielektryków, musimy teraz uwzględnić warunki brzegowe. W konsekwencji pewne własności fal elektromagnetycznych w prowadnicach są inne niż fali płaskiej.

Pola elektryczne i magnetyczne w otoczeniu obustronnym granicy ośrodków muszą spełniać równania Maxwella, muszą więc być spełnione pewne wzajemne relacje między polami po obu stronach granicy ośrodków oraz występującymi na granicy prądami i ładunkami elektrycznymi. Relacje te nazywamy warunkami brzegowymi i można wyprowadzić je z równań Maxwella.

Na rysunku przedstawiono pola, prąd i ładunek, które rozpatruje się w warunkach brzegowych. Wszystkie te wielkości mogą, w ogólnym przypadku, występować w jednym punkcie granicznym. Pokazana na rysunku granica jest takim „rozciągniętym punktem”. Parametry obu ośrodków są liczbami, czyli są one liniowe, jednorodne i izotropowe.

W ośrodku 1, w pewnym punkcie na granicy z ośrodkiem 2, występuje pole elektryczne i związene z nim wektory \vec{D}_1=\varepsilon_1\vec{E}_1 oraz pole magnetyczne i wektory \vec{B}_1=\mu_1\vec{H}_1 . W tym samym punkcie granicznym w ośrodku 2 mamy pola \vec{D}_2=\varepsilon_2\vec{E}_2 i \vec{B}_2=\mu_2\vec{H}_2 . Przyjmijmy również, że w omawianym punkcie płaszczyzny rozgraniczającej ośrodki może występować wektor gęstości prądu powierzchniowego \vec{J}_s, którego miarą jest Amper na metr [A/m], oraz istnieje ładunek o gęstości powierzchniowej \rho_s\, [C/m^2].

Należy zauważyć, że dowolny wektor pola elektrycznego w ośrodku 1 można przedstawić w dowolnym punkcie na granicy jako sumę wektorową składowej stycznej E_{t1}\, oraz składowej normalnej E_{n1}\, do granicy rozdziału ośrodków. Analogicznie wyraża się pozostałe wektory w ośrodku 1, czyli \vec{D}_1 , \vec{H}_1, \vec{B}_1 oraz pola w ośrodku 2, co schematycznie ilustruje rysunek (na tym rysunku zaznaczono tylko składowe istotne dla warunków brzegowych oraz wersor \vec{n}\, normalny do granicy ośrodków).

Sformułujmy warunki, które spełniają pola elektryczne i magnetyczne na granicy dwóch ośrodków.

Warunki brzegowe dla pola elektrycznego:

  • E_{t2} = E_{t1} – składowa styczna wektora natężenia pola elektrycznego jest ciągła na granicy dwóch ośrodków;
  • D_{n2} - D_{n1} = \rho_s – składowa normalna wektora indukcji elektrycznej jest ciągła na granicy dwóch ośrodków z wyjątkiem przypadku, gdy na granicy istnieje ładunek powierzchniowy i wtedy doznaje ona skokowej zmiany o wartość gęstości powierzchniowej ładunku.

Warunki brzegowe dla pola magnetycznego:

  • |H_{t2} - H_{t1}|= |J_s| – składowa styczna wektora natężenia pola magnetycznego jest ciągła z wyjątkiem przypadku, gdy na powierzchni granicznej występuje prąd. W tym ostatnim przypadku składowa styczna natężenia pola magnetycznego zmienia skokowo wartość na granicy ośrodków o wartość gęstości prądu powierzchniowego;
  • B_{n2} = B_{n1} – składowa normalna wektora indukcji magnetycznej jest na granicy dwóch ośrodków ciągła, bo nie występują odosobnione ładunki magnetyczne.

Warto zaznaczyć, że przedstawione warunki brzegowe obowiązują tak dla pól statycznych jak i dla pól zmiennych w czasie.

W wielu zagadnieniach występujących w technice mikrofalowej mamy do czynienia z układem dwóch dielektryków bądź ze strukturą dielektryk – przewodnik. Rozważmy zachowanie pola elektromagnetycznego w tych szczególnych przypadkach.


Enlarge
Na granicy miedzy dwoma bezstratnymi dielektrykami nie występuje ładunek powierzchniowy oraz nie płynie prąd przewodzenia.

Warunki brzegowe podaje się z reguły w formie iloczynów wektorowych i skalarnych, tak jak pokazano na slajdzie. W każdym iloczynie występuje wersor normalny do granicy rozdziału ośrodków. Z własności iloczynu wektorowego wynika, że zawiera on informacje tylko o składowych wektorów pól stycznych do granicy ośrodków, ponieważ iloczyn wektorowy wersora \vec{n} i wektora do niego równoległego (składowa normalna pola) jest tożsamościowo równy zeru. Analogicznie, iloczyn skalarny pozwala tylko na wnioski dotyczące składowych wektorów pól normalnych do powierzchni rozdzielającej ośrodki.

Podane równania wektorowe i wynikające z nich równania skalarne stwierdzają, że składowe styczne wektorów \vec{E} i \vec{H} oraz składowe normalne wektorów \vec{D} i \vec{B} są ciągłe na granicy dielektryków. Można wykazać, że spełnienie warunków brzegowych dla składowych stycznych na granicy dwóch ośrodków dielektrycznych pociąga za sobą automatycznie spełnienie warunków ciągłości dla składowych normalnych.

Podany na slajdzie przykład ilustruje zachowanie się pól na granicy dwóch dielektryków. Wektor natężenia pola magnetycznego nie ulega zmianie przy przejściu z jednego ośrodka do drugiego. Natomiast wektory natężenia pola elektrycznego w obu ośrodkach różnią się, tak co do wartości jak i kierunku.


Enlarge
W liniach transmisyjnych powszechnie występuje granica między dielektrykiem i dobrym przewodnikiem, który często można uznać za idealny. Rozważmy warunki brzegowe dla pól zmiennych w czasie panujące na granicy dielektryka (ośrodek 2) i idealnego przewodnika (ośrodek 1).

W idealnym przewodniku (\sigma = \infty) pole elektryczne musi być równe zeru, gdyż w przeciwnym przypadku wywoływałoby prąd przewodzenia o nieskończonym natężeniu \vec{J}=\sigma \vec{E} . Istnienie w tym ośrodku zmiennego pola magnetycznego jest również niemożliwe, ponieważ zgodnie z pierwszym prawem Maxwella musiałoby wywołać pole elektryczne, co byłoby sprzeczne z poprzednim stwierdzeniem.

Z podanych na slajdzie równań dotyczących pola elektrycznego wynika, że:

  • składowa styczna wektora natężenia pola elektrycznego na granicy idealnego przewodnika jest równa zeru, a więc pole elektryczne musi być prostopadłe do powierzchni przewodnika;
  • pole elektryczne indukuje na powierzchni przewodnika powierzchniowy ładunek elektryczny o gęstości równej wartości indukcji elektrycznej.

Z kolei własności pola magnetycznego na granicy dielektryka z idealnym przewodnikiem są następujące:

  • składowa normalna wektora indukcji magnetycznej jest zerowa na brzegu idealnego przewodnika, czyli pole magnetyczne musi być styczne do granicy przewodnika;
  • pole magnetyczne wywołuje na jego powierzchni prąd przewodzenia o gęstości równej wartości natężenia pola magnetycznego. Kierunek wektora gęstości prądu jest prostopadły do wektora natężenia pola magnetycznego, a jego zwrot jest taki, że wektory \vec{n}, \vec{H}_2, \vec{J}_s tworzą prawoskrętną trójkę wektorów.

Rysunek na slajdzie pokazuje istotne wielkości występujące na granicy dielektryk – idealny przewodnik. Trzeba podkreślić, że pola są zmienne w czasie i w każdej chwili spełnione są warunki brzegowe. Oznacza to, że w takt zmian pól zmieniają się gęstość powierzchniowa ładunku i gęstość prądu powierzchniowego.


Enlarge
Przypomnijmy, że prowadnica TEM musi zawierać co najmniej dwa przewody. Rysunek przedstawia przekrój poprzeczny przykładowej prowadnicy TEM mającej trzy idealne przewodniki i wypełnionej dielektrykiem stratnym.

Wektory pól elektrycznego i magnetycznego fali typu TEM mają tylko składowe poprzeczne do osi propagacji fali. Można wykazać, że zależności tych pól w prowadnicy TEM wzdłuż kierunku rozchodzenia się fali, czyli od zmiennej z, są identyczne jak dla fali płaskiej w przestrzeni nieograniczonej i dla fali rozchodzącej się w kierunku +0z opisuje je czynnik exp(–\gamma z), przy czym \gamma\, to współczynnik propagacji.

Zasadnicza różnica między cechami pół fali płaskiej i pól w linii TEM jest związana z tym, że pola w ośrodku nieograniczonym nie zależą od zmiennych w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali, natomiast w prowadnicy TEM, w której muszą być spełnione określone warunki brzegowe na powierzchni przewodników linii, pola na ogół zależą od tych zmiennych. Wektory pól elektrycznego i magnetycznego zależne od zmiennych x, y i występujące w płaszczyźnie z = 0 oznaczono indeksem T. Pokazane na slajdzie ogólne zależności dla pól w linii TEM są matematycznym zapisem zgodnym z powyższymi stwierdzeniami.


Enlarge
Współczynnik propagacji fali w linii TEM jest taki sam jak dla fali płaskiej w nieograniczonym ośrodku i o jego wartości decydują pulsacja oraz parametry materiału wypełniającego prowadnicę falową. W konsekwencji własności propagacyjne fali typu TEM są takie jak fali płaskiej.

W prowadnicach falowych stosuje się małostratne dielektryki gdyż tylko takie wypełnienie linii pozwala na przesyłanie fali z akceptowanymi stratami. Do obliczenia wspólczynników tłumienia i fazy fali stosujemy przybliżone wyrażenia pokazane na slajdzie. Pamiętać należy, że stosując te przybliżenia zaniedbujemy dyspersję prowadnicy TEM wynikającą ze strat, gdyż według przybliżenia współczynnik fazy liniowo zależy od częstotliwości. Uwzględnione zostaje tłumienie fali w trakcie propagacji i warto zapamiętać, że wzrasta ono liniowo z pulsacją.

Znając wyrażenie określające współczynnik fazy możemy wyznaczyć prędkości fazową i grupową fali TEM. Prędkość fazowa jest równa ilorazowi pulsacji przez współczynnik fazy, z kolei wartość prędkości grupowej określa pochodna pulsacji względem współczynnika fazy. Dla fali typu TEM w prowadnicy, dla której przyjmujemy liniowy wzrost współczynnika fazy z częstotliwością, prędkości fazowa i grupowa nie zależą od częstotliwości i mają tę samą wartość równą prędkości światła w dielektryku wypełniającym linię.


Enlarge
Własnością fali typu TEM jest prostopadłość wektorów natężeń pól elektrycznego i magnetycznego. Iloczyny wektorowe pokazane na slajdzie ujmują wzajemne powiązanie pól ze sobą i wersorem wskazującym kierunek rozchodzenia się fali. Równania te pozwalają wyznaczyć jedno z pól gdy znamy drugie. Zapisano w równaniach pola zależne tylko od współrzędnych x i y bo czynnik exp(–\gamma z) występował po obu stronach równości i uległ redukcji. Współczynnikiem proporcjonalności między natężeniem pola elektrycznego i natężeniem pola magnetycznego fali typu TEM jest impedancja właściwa dielektryka – tak również jest dla fali płaskiej.

Impedancja właściwa stratnego dielektryka jest wielkością zespoloną, której moduł i argument zależą, poza parametrami ośrodka, od częstotliwości. Dla impedancji właściwej dielektryka małostratnego stosuje się przybliżone zależności określające jej moduł i argument. Widzimy, że moduł impedancji wyraża się w przybliżeniu taką samą zależnością jak dla dielektryka bezstratnego i nie zależy od konduktywności ośrodka oraz częstotliwości fali. Argument impedancji, który jest równocześnie przesunięciem fazy między natężeniami pól elektrycznego i magnetycznego, jest równy połowie kąta stratności.

Przypomnijmy, że jednym z parametrów charakteryzujących falę elektromagnetyczną jest impedancja falowa, którą definiujemy jako stosunek wartości wzajemnie prostopadłych składowych wektorów natężeń pól elektrycznego i magnetycznego. Dodatkowo składowe te muszą być prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali. Ten ostatni warunek jest a priori spełniony dla fali typu TEM.

Zauważmy, że we wzorze wyrażającym impedancję falową znak minus występuje tylko przed ilorazem składowych E_y\, i H_y\,. Zasadność istnienia przeciwnych znaków przed ilorazami odpowiednich składowych pól można wyjaśnić korzystając z podanych związków między polami. Przyjmując, że fala TEM rozchodzi się w kierunku +0z i zapisując wektor natężenia pola elektrycznego fali TEM jako \vec{E}_T=\vec{i}_x E_x+\vec{i}_y E_y otrzymamy to wektor natężenia pola magnetycznego w formie \displaystyle \vec{H}_T=\vec{i}_y H_y+\vec{i}_y H_y=-\vec{i}_x\frac{E_y}{Z}+\vec{i}_y\frac{E_x}{Z}.

Z powyższych postaci pól widać, że należy umieścić znak minus w definicji impedancji falowej.

Dla fali typu TEM, tak jak dla fali płaskiej, impedancja falowa równa jest impedancji właściwej ośrodka.


Enlarge
Na slajdzie zapisano pierwsze równanie Maxwella dla fali TEM rozdzielając operator nabla (\nabla) na część poprzeczną (\nabla_T) i wzdłużną (\nabla_z) względem kierunku rozchodzenia się fali. Wiemy, że wektor natężenia pola elektrycznego ma tylko składowe prostopadłe do osi 0z. Rotacja w płaszczyźnie xy tego wektora musi być wektorem mającym tylko składową z. Jednak wektor natężenia pola magnetycznego z prawej strony równania Maxwella ma tylko składowe x i y. Zatem rotacja w płaszczyźnie poprzecznej wektora natężenia pola elektrycznego fali typu TEM musi być równa zeru. W ten prosty sposób wykazaliśmy, że pole elektryczne omawianej fali w płaszczyźnie poprzecznej do kierunku propagacji jest bezwirowe. Podobnie postępując z drugim równaniem Maxwella stwierdzimy, że taką samą własność ma pole magnetyczne. Należy jeszcze raz zaznaczyć, że pola fali TEM są bezwirowe tylko w płaszczyźnie z = constans, czyli wtedy gdy nie są funkcjami zmiennej z.

Dla bezwirowego pola wektorowego możemy zdefiniować skalarną funkcję nazywaną potencjałem skalarnym. Wprowadzenie potencjału nie jest konieczne z fizycznego punktu widzenia, ale jest on pomocny w uproszczeniu rozważań matematycznych w szeregu zagadnieniach. Pojęcie potencjału elektrycznego powszechnie jest znane z kursu elektrostatyki.

Równanie przedstawione na slajdzie jest definicją potencjału elektrycznego i dla rozważanego przypadku stwierdza, że bezwirowe pole elektryczne fali typu TEM powiązane jest z potencjałem elektrycznym V w taki sposób, że wektor natężenia tego pola jest równy gradientowi potencjału V ze znakiem minus.


Enlarge
W obszarze dielektryka wypełniającego prowadnicę TEM nie ma zgromadzonych ładunków. Trzecie równanie Maxwella (prawo Gaussa dla pola elektrycznego) wskazuje, że pole elektryczne fali typu TEM jest bezźródłowe. Zastępując w tym równaniu wektor natężenia pola elektrycznego przez -\nabla V otrzymujemy dwuwymiarowe cząstkowe równanie różniczkowe drugiego rzędu względem potencjału, tzw. równanie Laplace’a.

Przewodniki występujące w strukturze linii TEM formują w przekroju poprzecznym kontury ekwipotencjalne. Potencjały występujące na przewodach stanowią warunki brzegowe dla równania Laplace’a.

Zauważmy, że dla prowadnicy TEM rozwiązywanie układu równań Maxwella sprowadza się do znalezienia rozwiązania dwuwymiarowego równania Laplace’a przy danych wartościach potencjału na brzegach obszaru linii. Po określeniu rozkładu potencjału w przekroju poprzecznym prowadnicy obliczamy wektor natężenia pola elektrycznego, a następnie wektor natężenia pola magnetycznego.

Podsumowując własności fali typu TEM stwierdzamy, że dla takiej fali współczynnik propagacji, długość fali, prędkości fazowa i grupowa oraz impedancja falowa są takie jak dla fali płaskiej. Natomiast rozkłady pól elektrycznego i magnetycznego zależą od struktury prowadnicy TEM i potencjałów panujących na jej przewodach.


Enlarge
Rozważmy linię współosiową o promieniach a, b (a > b) wypełnioną bezstratnym dielektrykiem o parametrach \varepsilon\,, \mu_0\, i o doskonale przewodzących ściankach, której przekrój poprzeczny ilustruje rysunek. Przewód wewnętrzny linii ma potencjał V_0\,, a potencjał przewodu zewnętrznego wynosi zero. W linii tej rozchodzi się fala TEM o pulsacji \omega\, w kierunku dodatnim osi 0z.

Linia współosiowa jest strukturą osiowo symetryczną i dogodnie jest zastosować cylindryczny układ współrzędnych, w którym pola fali zależą tylko od dwóch zmiennych \rho\,, z.

Poszukiwanie pola elektromagnetycznego w linii rozpoczynamy od znalezienia potencjału elektrycznego w przekroju poprzecznym prowadnicy, który spełnia jednowymiarowe równanie Laplace’a w układzie współrzędnych cylindrycznych (potencjał jest rzeczywistą funkcją tylko zmiennej \rho\,). Wyrażenie opisujące potencjał to rozwiązanie tego równania, które jest wynikiem dwukrotnego obustronnego jego całkowania z uwzględnieniem potencjałów na przewodach linii. W obszarze dielektryka potencjał maleje logarytmicznie w miarę odsuwania się od przewodu wewnetrznego, na którym ma wartość V_0\,, by osiągnąć wartość zero na przewodzie zewnętrznym.


Enlarge
Znając potencjał, obliczenie wektorów pola elektromagnetycznego jest prostym zagadnieniem.

Gradient potencjału, a tym samym i wektor natężenia pola elektrycznego w linii współosiowej ma tylko składową \rho\,, która jest prostopadła do powierzchni przewodzących. Zwróćmy uwagę, że zgodnie z warunkami brzegowymi pole elektryczne musi być normalne do powierzchni idealnego przewodnika i spełnienie tego warunku zapewnia w linii współosiowej tylko składowa \rho\,. Obliczając pochodną potencjału względem zmiennej \rho\, i uwzględniając znak minus otrzymujemy prostą zależność opisującą rozkład pola elektrycznego w przekroju poprzecznym linii (E_T). Wynika, z niej, że natężenie pola elektrycznego w przekroju poprzecznym prowadnicy jest maksymalne przy przewodzie wewnętrznym (E_0), maleje ze wzrostem \rho\, i na granicy z przewodem zewnętrznym wynosi E_0 b/a. Mnożąc wektor \vec{E}_T przez czynnik exp(–j\beta z) otrzymujemy zespolony wektor nateżenia pola elektrycznego dla fali TEM w linii współosiowej.

Zespolony wektor natężenia pola magnetycznego dla omawianej fali wyznaczamy korzystając z zależności \vec{H}=Z^{-1}\vec{i}_z\times \vec{E} . Wektor ten ma jedynie składową \varphi\, i jej występowanie powoduje, że spełniony jest warunek brzegowy na granicy dielektryk – idealny przewodnik stwierdzający, że pole magnetyczne na tej granicy musi być styczne do przewodnika. Zależność wartości natężenia pola magnetycznego od promienia (\rho) jest taka jak pola elektrycznego.

Impedancja falowa, czyli stosunek wartości natężeń pól elektrycznego i magnetycznego w każdym punkcie dielektryka w przekroju poprzecznym linii współosiowej ma tę samą wartość równą impedancji właściwej ośrodka.

Wektory rzeczywiste natężeń pól elektrycznego i magnetycznego uzyskujemy mnożąc odpowiednie wektory zespolone przez exp(j\omega t) i wyznaczając części rzeczywiste tych nowo-powstałych wektorów.


Enlarge
Rysunek ilustruje pole elektromagnetyczne w linii współosiowej fali TEM rozchodzącej się w kierunku +0z w chwili t = 0. Pola są w fazie, czyli zmieniają tak samo wzdłuż kierunku propagacji, według funkcji cos(\beta z). W płaszczyźnie przekroju poprzecznego wartości pól są największe przy przewodzie wewnętrznym i maleją przy odsuwaniu się od tego przewodu.

Zgodnie z warunkami brzegowymi na granicy dielektryk – przewodnik, ze sładową normalną pola elektrycznego związane są powierzchniowe ładunki elektryczne, a ze składową styczną pola magnetycznego prądy powierzchniowe.

Pole elektryczne indukuje ładunek powierzchniowy na przewodnikach linii, którego wartość gęstości jest równa indukcji elektrycznej. W pokazanym przekroju poprzecznym dla z = \lambda/2, na przewodzie zewnętrznym występuje ładunek dodatni, a ładunek ujemny indukowany jest na przewodzie wewnętrznym. Całkowite ładunki zgromadzone na przewodach są równe co do wartości, czyli suma ładunków w przekroju poprzecznym jest równa zeru.

Pole magnetyczne wywołuje prąd powierzchniowy na obu przewodach prowadnicy, a wartość gęstości tego prądu jest równa wartości natężenia pola magnetycznego. We wspomnianym przekroju poprzecznym prąd powierzchniowy na przewodzie wewnętrznym płynie w kierunku –0z, podczas gdy prąd na przewodzie zewnętrznym płynie w kierunku przeciwnym. Analogicznie do ładunków, w płaszczyźnie przekroju poprzecznego suma prądów płynących po przewodach wynosi zero.

Poza prądem powierzchniowym w linii współosiowej występuje również prąd przesunięcia. Przypomnijmy, że wektor gęstości prądu przesunięcia to \partial\vec{D}/{\partial} i dla rozpatrywanego przypadku (t = 0) opisuje go zależność \vec{i}_p\omega \varepsilon_0 E_0(b/{\rho})sin(-\beta z)\, [A/m^2] . Prąd ten „płynie” między przewodami prowadnicy, linie tego prądu są tak skierowane jak linie pola elektrycznego, ale są przesunięte względem tego pola o ćwierć długości fali. W płaszczyźnie z = \lambda/2, gdzie pola elektryczne i magnetyczne osiągają wartości maksymalne, prąd przesunięcia jest równy zeru. Gęstość prądu przesunięcia wzdłuż osi z, jest maksymalna w płaszczyźnie z = \lambda/4 i prąd płynie od przewodu wewnętrznego do zewnętrznego.


Enlarge
Omawiając falę płaską (moduł 2) wprowadziliśmy wektor Poyntinga. Zwrot wektora wskazuje kierunek przepływu mocy fali elektromagnetycznej, a wartość określa jej powierzchniową gęstość mocy. Dla fali płaskiej, w ustalonej chwili czasu i określonej płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali, wartość wektora Poyntinga jest stała.

Dla fali TEM w linii współosiowej wektor Poyntinga ma tylko składową równoległą do kierunku propagacji i zmienia się w czasie i wzdłuż osi z tak jak to miało miejsce dla fali płaskiej. Natomiast wartość wektora w przekroju poprzecznym maleje z kwadratem zmiennej \rho\,.

Pole elektromagnetyczne w omawianej prowadnicy występuje w ograniczonej przestrzeni, między przewodami linii. Uśredniając w czasie wektor Poyntinga i obliczając jego całkę po przekroju poprzecznym otrzymujemy średnią w czasie moc fali w linii współosiowej. Ten sposób wyznaczania mocy przenoszonej przez falę elektromagnetyczną nazywamy „polowym” ponieważ do jej wyznaczenia potrzebne są natężenia pól elektrycznego i magnetycznego.



Enlarge
Przedstawione dotychczas wielkości związane z falą typu TEM w linii współosiowej (np. natężenia pól elektrycznego i magnetycznego, współczynnik propagacji, prędkości fazowa i grupowa, impedancja falowa) określamy mianem polowych, z racji ich wynikania z równań Maxwella.

Dla prowadnicy falowej definiujemy również parametry obwodowe (np. prąd, napięcie), które są pomocne między innymi w projektowaniu obwodów mikrofalowych zawierających tak odcinki linii transmisyjnej jak i elementy o stałych skupionych.

Stwierdziliśmy, że pole elektryczne fali typu TEM w przekroju poprzecznym prowadnicy jest potencjalne. Możemy wobec tego wyznaczyć jednoznacznie napięcie między przewodami linii współosiowej, które jest całką z wektora natężenia pola elektrycznego po krzywej leżącej w płaszczyźnie poprzecznej z = const o początku na przewodzie wewnętrznym i końcu znajdującym się na przewodzie zewnętrznym. Tak zdefiniowane napięcie nie zależy od drogi całkowania, ponieważ w/w pole jest potencjalne. Zauważmy, że dla linii współosiowej przyjęliśmy określone wartości potencjałów na przewodnikach i amplituda napięcia w linii jest równa różnicy tych potencjałów.

Jednoznacznie określone napięcie między przewodami jest cechą charakteryzująca wszystkie prowadnice TEM. Należy zaznaczyć, że w liniach transmisyjnych z falami typu nie-TEM pole elektryczne nie jest potencjalne, całka określająca napięcie na ogół zależy od drogi całkowania i wobec tego definiując napięcie należy określić tę drogę i zdawać sobie sprawę z niejednoznaczności tego parametru.

Na powierzchniach przewodów linii współosiowej występują prądy powierzchniowe, których gęstości są określone jednoznacznie warunkami brzegowymi. Prądy w obu przewodach linii, które są całkami z gęstości prądów, płyną tylko wzdłuż osi 0z, mają taką samą wartość i przeciwny zwrot.

Amplitudę prądu w linii, czyli np. na przewodzie wewnętrznym, wyznaczamy całkując gęstość prądu powierzchniowego, która zgodnie z warunkiem brzegowym równa jest co do wartości natężeniu pola magnetycznego, po obwodzie tego przewodu. Zależność opisująca amplitudę prądu w linii współosiowej proporcjonalna jest do amplitudy natężenia pola magnetycznego przy przewodzie wewnętrznym, która jest równa stosunkowi amplitudy natężenia pola elektrycznego i impedancji właściwej ośrodka. Prąd w linii współosiowej jest określony jednoznacznie. Własność to dotyczy wszystkich prowadnic TEM.

Zauważmy, że obliczając amplitudę napięcia w linii wybraliśmy taką płaszczyznę poprzeczną, w której pole elektryczne jest rzeczywiste. Amplituda prądu w tej płaszczyźnie będzie również rzeczywista dla linii wypełnionej dielektrykiem bezstratnym. Gdy ośrodek w linii współosiowej jest stratny to impedancja właściwa jest liczbą zespoloną i amplituda prądu również jest wielkością zespoloną.

Znając amplitudy napięcia i prądu w prowadnicy falowej można wyznaczyć „obwodowo” uśrednioną w czasie moc przenoszoną przez falę elektromagnetyczną posługując się zależnością P = (1/2)Re[UI*], gdzie I* to sprzężona amplituda prądu. Dla prowadnicy bezstratnej moc jest po prostu połową iloczynu amplitud napięcia i prądu. W związku z tym, że napięcie i prąd w linii TEM są zdefiniowane jednoznacznie to moce obliczone „polowo” oraz „obwodowo” są takie same. Łatwo sprawdzić, że tak jest dla linii współosiowej. Przy omawianiu falowodu prostokątnego zobaczymy, że w linii z falą nie-TEM moce wyznaczone polowo i obwodowo nie przyjmują takich samych wartości.

Rozważmy własności fali TEM w dwóch liniach współosiowych wypełnionych tym samym ośrodkiem, w których długość promienia przewodu zewnętrznego jest identyczna, a promień wewnętrzny jednej z nich jest kilkukrotnie większy niż drugiej. Jeżeli napięcie między przewodami tych linii będzie identyczne to wartości natężeń pól elektrycznego i magnetycznego w przekroju poprzecznym prowadnicy będą różne. Pozostałe własności fali TEM - takie jak współczynnik propagacji, prędkości fazowa i grupowa, impedancja falowa - będą identyczne. Badanie wielkości natężenia pola elektrycznego czy magnetycznego w celu rozróżnienia prowadnic falowych byłoby wysoce niepraktycznym sposobem.

Czy jest wygodny parametr charakteryzujący linię współosiową, który pozwoliłby rozróżnić podane wyżej prowadnice? Okazuje się, że takim parametrem jest impedancja charakterystyczna linii transmisyjnej.

Impedancja charakterystyczna prowadnicy falowej (Z_c), w której rozchodzi się fala w jednym kierunku, może być zdefiniowana jedną z zależności:

\displaystyle Z_{cUI}=\frac{U}{I}
\displaystyle Z_{cPU}=\frac{U^2}{2P}
\displaystyle Z_{cPI}=\frac{2P}{I^2}

w których: U, I – amplitudy napięcia i prądu (w ogólności wielkości zespolone); P – średnia w czasie moc przenoszona przez falę elektromagnetyczną w linii (wielkość rzeczywista).

Przypomnijmy, że prowadnica falowa jest strukturą, której zadaniem jest przesyłanie fali z możliwie małymi stratami, więc w jej konstrukcji stosowane są dielektryki o małych stratach. Dla małostratnych linii transmisyjnych część urojona impedancji charakterystycznej jest na tyle mała, że często się ją zaniedbuje.

Dla prowadnicy TEM, ze względu na jednoznaczność prądu i napięcia w linii, wszystkie trzy wzory dają taką samą, jednoznacznie określoną wartość impedancji charakterystycznej.

Warto zapamiętać, że prowadnicę falową charakteryzują dwa parametry: współczynnik propagacji oraz impedancja charakterystyczna. Pierwszy z tych parametrów jest wielkością polową, której obliczenie wiąże się w ogólności z rozwiązaniem równań Maxwella. Drugi jest wielkością obwodową, wyznaczaną z zastosowaniem jednej z podanych definicji, przydatną przy analizie obwodów mikrofalowych.



Enlarge
Falowód prostokątny ma postać metalowej rury o przekroju prostokątnym. Przyjmijmy, że ścianki falowodu są doskonale przewodzące, a dielektryk wypełniający falowód jest liniowy, jednorodny, izotropowy i bezstratny. Pole elektromagnetyczne w falowodzie prostokątnym musi spełniać równania Maxwella, wynikające z nich równania Helmholtz’a oraz warunki brzegowe na granicy dielektryk – przewodnik. Przypomnijmy, że pola zależą sinusoidalnie od czasu i stosujemy zapis zespolony.

Falowód prostokątny jest prowadnicą falową, w której nie występują dwa niezależne przewody, a więc nie może rozchodzić się w nim fala elektromagnetyczna typu TEM. Do zbioru rodzajów pola elektromagnetycznego falowodu należą rodzaje typu E (TM) i H (TE). Dowolne pole elektromagnetyczne występujące w tym falowodzie można przedstawić jako superpozycję wymienionych rodzajów.

Rodzaje pola, które mogą rozchodzić się w falowodzie prostokątnym oznaczamy jako E_{mn} i H_{mn}. Liczby naturalne m i n nazywamy wskaźnikami albo indeksami rodzaju. Z warunków brzegowych wynika, że zmiany składowych wektorów pól elektrycznego i magnetycznego w płaszczyźnie xy opisują funkcje sinus lub cosinus. Przykładowo, dla rodzaju E_{mn} składowa E_z\, w płaszczyźnie xy (dla z = 0) jest proporcjonalna do wyrażenia \displaystyle sin(\frac{m\pi}{a}x)sin(\frac{n\pi}{b}y) (składowa ta musi przyjmować wartość równą zeru na ściankach falowodu). Natomiast dla rodzaju Hmn składowa H_z\, w płaszczyźnie z = 0 jest proporcjonalna do wyrażenia \displaystyle sin(\frac{m\pi}{a}x)sin(\frac{n\pi}{b}y) (składowa ta osiąga maksimum na ściankach falowodu).

Wskaźnik m rodzaju pola oznacza więc liczbę zmian (liczbę połówek okresu funkcji sinus lub cosinus) pola wzdłuż dłuższego boku (a) falowodu, a wskaźnik n opisuje liczbę zmian pola wzdłuż któtszego boku (b) falowodu. Zmiany te dotyczą wszystkich składowych wektorów pól elektrycznego i magnetycznego występujących dla danego rodzaju pola.

Dla rodzajów typu E wskaźniki rodzaju nie mogą przyjmować wartości zerowych, bo w przeciwnym przypadku oznaczałoby to zerowanie się składowej E_z\, a tym samym nie byłby to już rodzaj typu E.

Dla rodzajów typu H jeden i tylko jeden ze wskaźników rodzaju może być równy zeru. Oznacza to, że rozkład pola elektromagnetycznego takiego rodzaju jest stały wzdłuż jednej z osi w płaszczyźnie przekroju poprzecznego falowodu.


Enlarge
Dla danego rodzaju pola (o ustalonych wskaźnikach rodzaju) rozchodzącego się w kierunku +0z, zależność wszystkich występujących w nim składowych pól elektrycznego i magnetycznego wzdłuż kierunku propagacji jest opisana przez czynnik exp(–\gamma_z z), przy czym \gamma_z to współczynnik propagacji fali wzdłuż osi z. Współczynnik ten określa się w oparciu o równanie podane na slajdzie.

Rodzajowi o wskaźnikach m i n przyporządkowana jest pewna charakterystyczna wielkość wynikająca z wskaźników rodzaju i wymiarów falowodu, którą nazywamy granicznym współczynnik fazy \beta_g\,. Podkreślić należy, że nie zależy ona od częstotliwości i dla falowodu prostokątnego jest taka sama dla rodzaju E jak i dla rodzaju H o danych wskaźnikach m, n.

Drugim składnikiem we wzorze na współczynnik propagacji jest współczynnik fazy fali płaskiej o częstotliwości f rozchodzącej się w dielektryku wypełniającym falowód. Wielkość ta rośnie liniowo z częstotliwością.

Z równania dyspersyjnego wynika, że dla rodzaju o wskaźnikach m, n w falowodzie o danych wymiarach a, b i wypełnionym bezstratnym dielektrykiem o przenikalności elektrycznej ε istnieje pewna charakterystyczna częstotliwość, dla której współczynnik propagacji \gamma_z\, jest równy zeru. Częstotliwość tę nazywamy graniczną. Jest ona powiązana z granicznym współczynnikiem fazy oraz parametrami ośrodka wypełniającego falowód. Dany rodzaj pola elektromagnetycznego rozchodzi się w falowodzie dla częstotliwości większych od częstotliwości granicznej.


Enlarge
Wyobraźmy sobie, że podłączyliśmy falowód prostokątny do generatora sygnału i zwiększamy jego częstotliwość poczynając od zera. Rozchodzenie się fali w falowodzie zaobserwujemy wtedy, gdy częstotliwość będzie na tyle wysoka, że przekroczy wartość najniższej częstotliwości granicznej dla tego falowodu. Rodzaj pola o najniższej częstotliwości granicznej nazywamy rodzajem podstawowym i dla falowodu prostokątnego jest to rodzaj H_{10}\,.

W tabeli podano częstotliwości graniczne kilku pierwszych rodzajów w falowodzie wypełnionym powietrzem przeznaczonym do pracy w zakresie częstotliwości od 8.2 GHz do 12.4 GHz, który nazywamy pasmem X. W tym falowodzie rodzaj H_{10}\,, i tylko ten rodzaj, może rozchodzić się od częstotliwości ok. 6.5 GHz. Poczynając od częstotliwości ok. 13.1 GHz w falowodzie mogą rozchodzić się dwa rodzaje, a od ok. 14.8 GHz trzy. Gdy w falowodzie występuje tylko jeden rodzaj to rozkład i parametry fali elektromagnetycznej są jednoznacznie określone, możemy je kontrolować i budować elementy funkcjonalne falowodowego toru mikrofalowego. Nie jest to możliwe przy występowaniu kilku rodzajów, które mają różne rozkłady pola i parametry (np. długość fali). Dlatego też pasmo pracy falowodu ogranicza się do częstotliwości, dla których w falowodzie występuje tylko rodzaj podstawowy.

W praktyce, zalecane pasmo pracy falowodu prostokątnego mieści się w zakresie od 1.2 do 1.9 razy częstotliwość graniczna rodzaju H_{10}\,. Falowody wykonuje się z mosiądzu, aluminium, miedzi lub srebra. Są to materiały o wysokiej, ale skończonej konduktywności. Okazuje się, że tłumienie fali wynikające ze strat w przewodniku jest bardzo duże w pobliżu częstotliwości granicznej i maleje ze wzrostem częstotliwości. Dolna granica pasma pracy falowodu wynika z tłumienia fali w falowodzie, podczas gdy możliwość wzbudzenia wyższych rodzajów określa górną granicę pasma.

Falowody prostokątne wykorzystuje się w szeregu zastosowaniach – między innymi grzanie mikrofalowe, technika radarowa i satelitarna, radioastronomia, miernictwo mikrofalowe - obejmujących zakres częstotliwości od około jednego do kilkuset gigahertzów. Potrzebujemy znacznej liczby falowodów o wystandaryzowanych wymiarach, aby pokryć wymieniony zakres częstotliwości. Standardowe falowody w większości przypadków mają bok a dwukrotnie dłuższy od boku b, przy czym im wyższe są częstotliwości pracy falowodu tym mniejsze są jego wymiary. Przykładowo, wymiary falowodu prostokątnego na pasmo od 26.5 GHz do 40 GHz to a = 7.112 mm i b = 3.556 mm, a falowód o bokach 2.032 mm i 1.016 mm przeznaczony jest na zakres częstotliwości od 90 GHz do 140 GHz.


Enlarge
Wiemy już, że dla częstotliwości granicznej rodzaju o wskaźnikach m, n jego współczynnik propagacji jest równy zeru. Z równania dyspersyjnego falowodu wynikają zależności opisujące współczynnik propagacji poniżej i powyżej częstotliwości granicznej, które pokazano na slajdzie.

Gdy częstotliwość fali danego rodzaju jest mniejsza od jego częstotliwości granicznej to współczynnik propagacji jest wielkością rzeczywistą równą współczynnikowi tłumienia αz. Oznacza to, że amplitudy składowych wektorów pól elektrycznego i magnetycznego tego rodzaju zanikają wykładniczo, według exp(–\alpha_z z), bez zmiany fazy (\beta_z = 0). Tempo zanikania zależy od wartości współczynnika tłumienia i jest tym większe im znaczniejsza jest różnica między częstotliwością graniczną i częstotliwością fali.

Dla częstotliwości większych od f_g\, współczynnik propagacji jest urojony i jego część urojona to współczynnik fazy \beta_z\,. Fala elektromagnetyczna rozchodzi się wtedy w falowodzie bez zmiany amplitudy bo współczynnik tłumienia jest równy zeru. Współczynnik fazy dla każdego rodzaju pola w falowodzie nie jest liniową funkcją częstotliwości, a więc fala elektromagnetyczna w falowodzie wykazuje własności dyspersyjne. Dyspersja ta jest cechą propagacji fali w bezstratnym falowodzie, nie jest wywołana więc stratami czy właściwościami dyspersyjnymi ośrodka w falowodzie, i określamy ją mianem dyspersji rodzaju pola lub dyspersji modowej.

Z współczynnikiem fazy związane są takie parametry fali elektromagnetycznej jak długość fali oraz prędkości fazowa i grupowa. Te parametry określa się wtedy, gdy dany rodzaj pola rozchodzi się w falowodzie, czyli dla częstotliwości większych od jego częstotliwości granicznej.



Enlarge
Na wykresie przedstawione są charakterystyki częstotliwościowe współczynników tłumienia i fazy rodzaju podstawowego w wypełnionym powietrzem falowodzie prostokątnym na pasmo X. Przebiegi te wynikają z zależności zamieszczonych na poprzednim slajdzie. Dodatkowo, pokazano przebieg współczynnika fazy fali płaskiej w powietrzu w funkcji częstotliwości.

Dla każdego rodzaju pola elektromagnetycznego w falowodzie przebieg współczynników tłumienia i fazy jest analogiczny do charakterystyk zamieszczonych na wykresie.

Współczynnik tłumienia jest różny od zera dla częstotliwości mniejszych od częstotliwości granicznej rodzaju H_{10}\,. Wraz z obniżaniem częstotliwości jego wartość rośnie i osiąga największą wartość (2\pi/c)f_g H_{10} = \pi/a dla częstotliwości równej zeru.

Współczynnik fazy monotonicznie rośnie z częstotliwością poczynając od częstotliwości granicznej. Nie jest to jednak wzrost liniowy. Gdy częstotliwość dąży do nieskończoności współczynnik fazy fali w falowodzie dąży asymptotycznie do współczynnika fazy fali płaskiej. Oznacza to, że dla częstotliwości znacznie większych od częstotliwości granicznej współczynnik fazy rodzaju pola w falowodzie zmienia się w przybliżeniu liniowo z częstotliwością. Charakterystyczną cechą fali dowolnego rodzaju rozchodzącej się w falowodzie jest to, że jej współczynnik fazy dla danej częstotliwości jest mniejszy od współczynnika fazy fali płaskiej dla tej częstotliwości. Innymi słowy, długość fali w falowodzie jest zawsze większa od długości fali płaskiej w materiale, którym wypełniono falowód.

Pamiętamy, że zerowy współczynnik propagacji występuje jedynie dla częstotliwości granicznej. Współczynnik fazy równy zeru oznacza, że długość fali jest nieskończenie wielka. Dodatkowo, zerowy jest również współczynnik tłumienia. W rezultacie, dla tej częstotliwości w każdej chwili czasu, rozkład pola elektromagnetycznego w falowodzie jest stały wzdłuż osi z.



Enlarge
Znając częstotliwościową zależność współczynnika fazy rodzaju pola w falowodzie możemy również określić przebiegi prędkości fazowej i grupowej. Na wykresie przedstawione są charakterystyki częstotliwościowe znormalizowanych (do prędkości fali płaskiej w powietrzu) prędkości fazowej i grupowej rodzaju podstawowego w wypełnionym powietrzem falowodzie prostokątnym na pasmo X.

Przebiegi tych prędkości dobrze ilustrują zjawisko dyspersji związane z propagacją fali elektromagnetycznej w bezstratnym falowodzie. Za miarę stopnia dyspersji można uznać tempo zmian prędkości w funkcji częstotliwości. Widzimy, że dyspersja jest tym większa im bliżej jesteśmy częstotliwości granicznej.

Dla każdego rodzaju pola w falowodzie iloczyn pędkości fazowej i grupowej jest stały i równy kwadratowi prędkości fali płaskiej w dielektryku, którym wypełniono falowód. Pamiętamy, że fala płaska rozchodzi się z prędkością światła w danym ośrodku.

Z wykresu prędkości fazowej widzimy, że jest ona zawsze większa od prędkości światła. Przypomnijmy, że jest to możliwe, ponieważ ta prędkość informuje jedynie o szybkości zmian argumentu funkcji trygonometrycznej, nie oznacza przesuwania się żadnego obiektu materialnego i nie dotyczą jej ograniczenia wynikające z szczególnej teorii względności. Natomiast przenoszenie energii fali elektromagnetycznej w falowodzie, które odbywa się z prędkością grupową, jest zawsze wolniejsze od prędkości światła.




Enlarge
Zajmijmy się teraz poznaniem rozkładu pola elektromagnetycznego w falowodzie prostokątnym dla rodzaju podstawowego.

Na slajdzie podano wyrażenia określające składowe zespolonych wektorów pól magnetycznego i elektrycznego dla fali rodzaju H_{10} rozchodzącej się w kierunku +0z. Fala rozchodzi się, więc podane zależności opisują pola dla częstotliwości nie mniejszych od częstotliwości granicznej. Wektor natężenia pola magnetycznego ma składową wzdłużną H_z\,, która jest wyróżnikiem fali typu H, oraz jedną składową poprzeczną H_x\,. Pole elektryczne ma tylko składową E_y\,.

Łatwo stwierdzić, patrząc na podane zależności, że pola elektryczne i magnetyczne spełniają warunki brzegowe na ściankach falowodu. Składowe E_y\, i H_x\, są równe zeru dla krańcach dłuższego boku falowodu, czyli na granicy dielektryk-metal pole elektryczne nie ma składowej stycznej, a składowa normalna znika dla pola magnetycznego. Z kolei składowa H_z\,, która jest składową styczną, osiąga maksimum na tej granicy.

Dla rodzaju podstawowego w falowodzie prostokątnym drugi wskaźnik jest równy zeru i w konsekwencji składowe pola elektromagnetycznego nie zależą od zmiennej y oraz od długości krótszego boku falowodu.

Zauważmy, że amplitudy składowych poprzecznych E_{y0}\, i H_{x0}\, w różny sposób zmieniają się z częstotliwością, przy ustalonej wartości amplitudy składowej wzdłużnej H_{z0}\,. Współczynnik fazy \beta_z\, jest równy zeru dla częstotliwości granicznej i wtedy znika składowa H_x\,. Tak więc, dla tej częstotliwości rodzaj H_{10}\, ma tylko dwie składowe H_z\, i E_y\, o stałych rozkładach wzdłuż osi z.

Składowe poprzeczne pól elektrycznego i magnetycznego w identyczny sposób zależą od zmiennych x i z. Definiujemy dla rodzaju H10 impedancję falową, analogicznie jak to czyniliśmy dla fali płaskiej czy fali typu TEM, jako stosunek wzajemnie prostopadłych i prostopadłych do kierunku propagacji składowych pól elektrycznego i magnetycznego. Impedancja ta jest proporcjonalna do impedancji właściwej ośrodka wypełniającego falowód i zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do współczynnika fazy, a więc jej funkcyjna zależność od częstotliwości jest taka jak prędkości fazowej.

Podkreślić należy, że impedancję falową określamy dla każdego rodzaju pola elektromagnetycznego w falowodzie. Dla rodzaju typu H opisuje ją podana już zależność Z_{fH} = Z\beta /{\beta_z}, a dla rodzaju typu E impedancja falowa to Z_{fE} = Z\beta_z/{\beta}. Zauważmy, że w funkcji częstotliwości impedancje te dążą asymptotycznie do impedancji właściwej dielektryka w falowodzie.



Enlarge
Wektory rzeczywiste natężeń pól magnetycznego i elektrycznego rodzaju H_{10}\, otrzymuje się mnożąc wektory zespolone przez exp(j\omega t) i wyznaczając części rzeczywiste tych nowo-powstałych wektorów. Przypomnijmy, że wyrażenie \omega t - \beta_z z opisuje ruch fazy fali rozchodzącej się w kierunku +0z.

Składowa wzdłużna natężenia pola magnetycznego zmienia się wzdłuż osi z zgodnie z funkcją cos(\omega t - \beta_z z), a składowe poprzeczne H_x\, i E_y\, według funkcji sin(\omega t - \beta_z z). Wyróżnione składowe są przesunięte w fazie o 90^\circ\,. W danej chwili czasu płaszczyzna poprzeczna do kierunku rozchodzenia się fali, w której składowa H_z\, jest maksymalna, odległa jest o ćwierć długości fali w falowodzie od płaszczyzny, w której maksymalne są składowe H_x\, i E_y\,. Można też zauważyć, że w płaszczyźnie z maksymalnymi składowymi poprzecznymi składowa wzdłużna jest równa zeru i vice versa.

Znając wyrażenia opisujące pole elektromagnetyczne fali rodzaju podstawowego w falowodzie prostokątnym można obliczyć wektor Poyntinga i określić polowo moc przepływającą przez falowód. Zauważmy, że na wartość wektora Poyntinga, a tym samym na wielkość mocy fali, wpływają jedynie składowe poprzeczne wektorów pól elektrycznego i magnetycznego, i dla rodzaju H_{10}\, są to E_y\, i H_x\,.



Enlarge
Na rysunku pokazano linie sił pól elektrycznego i magnetycznego rodzaju podstawowego w falowodzie prostokątnym dla fali rozchodzącej się w kierunku +0z w chwili t = 0. Jest to ilustracja zależności określających wektory pól, które podano na poprzednim slajdzie.

Składowa H_z\, zmienia się wzdłuż kierunku propagacji według funkcji cos(βz). Składowe poprzeczne <H_x\, i E_y\, są w fazie, czyli zmieniają tak samo wzdłuż osi z, zgodnie z funkcją sin(\beta z).  Pole elektryczne rodzaju <math>H_{10}\, ma składową E_y\,, która indukuje ładunek powierzchniowy o wartości gęstości równej indukcji elektrycznej na dłuższych bokach falowodu. Przykładowo, w przekroju poprzecznym dla z = \lambda_z/4, na dolnym boku występuje ładunek dodatni, a ładunek ujemny indukowany jest na powierzchni górnego boku. Całkowite ładunki zgromadzone na dłuższych bokach falowodu są równe co do wartości i w rezultacie całkowity ładunek jest równy zeru.

Na wewnętrznych powierzchniach ścianek falowodu występuje prąd powierzchniowy wywołany przez składowe styczne wektora natężenia pole magnetycznego. W danym punkcie gęstość tego prądu jest równa co do wartości natężeniu pola magnetycznego. Pole magnetyczne rodzaju H10 ma dwie składowe: H_z\, i H_x\,. Składowa H_x\, indukuje składową z prądu przewodzenia na dłuższych bokach falowodu. Biorąc przekrój poprzeczny dla z = \lambda_z/4, po dolnym boku płynie prąd w kierunku +0z, a w przeciwnym kierunku płynie prąd po powierzchni górnego boku. Analogicznie do ładunków, całkowite prądy płynące po dłuższych bokach falowodu są równe co do wartości i w rezultacie suma prądów płynących po tych bokach wynosi zero.

Składowa H_z\, wywołuje dwie składowe wektora gęstości prądu przewodzenia leżące w płaszczyźnie przekroju poprzecznego falowodu:

  • składową y na powierzchniach krótszych boków falowodu;
  • składową x na powierzchniach dłuższych boków falowodu.

Przykładowo, w występującym na rysunku przekroju poprzecznym dla z = \lambda_z/2 ze składową Hz związane są:

  • prądy płynące w kierunku +0y na krótszych bokach falowodu;
  • prądy na dolnym dłuższym boku, które płyną w kierunku +0x dla </math>x < a/2</math> oraz w kierunku –0x dla x > a/2;
  • prądy na górnym dłuższym boku, ktore płyną w kierunkach przeciwnych niż prądy na dolnej ściance, a więc płyną one w kierunku –0x dla x < a/2 i w +0x dla x > a/2.

Podano rozpływy prądów w dwóch szczególnych przekrojach poprzecznych. Prądy na ściankach falowodu w innych płaszczyznach przekroju będą miały tak składową wzdłużną jak i odpowiednie składowe poprzeczne.

Poza prądem powierzchniowym w falowodzie występuje również prąd przesunięcia. Dla pokazanego na rysunku przypadku (t = 0) wektor gęstości prądu przesunięcia opisuje zależność -\vec{i}_y \omega\varepsilon_0 E_{y0}sin(\pi x/a)cos(-\beta_z z) [A/m^2] . Prąd ten „płynie” między dłuższymi bokami falowodu, linie tego prądu są tak skierowane jak linie pola elektrycznego, ale są przesunięte względem tego pola o ćwierć długości fali w falowodzie. W płaszczyźnie z = \lambda_z/4, gdzie składowe poprzeczne wektorów nateżeń pól elektrycznego i magnetycznego osiągają wartości maksymalne, prąd przesunięcia jest równy zeru. Gęstość prądu przesunięcia wzdłuż osi z jest maksymalna w płaszczyźnie z = \lambda_z/2, gdzie prąd przesunięcia płynie od dolnej do górnej ścianki falowodu.


Enlarge
Omawiając linię współosiową wprowadziliśmy parametry obwodowe tej prowadnicy TEM. Teraz zdefiniujemy dla falowodu prostokątnego z rodzajem podstawowym wielkości obwodowe, czyli napięcie, prąd i impedancję charakterystyczną.

Napięcie między ściankami falowodu nie jest określone jednoznacznie, zależy od wybranej drogi całkowania. Jest to sytuacja inna niż dla prowadnic TEM, ponieważ pole elektryczne w przekroju poprzecznym falowodu z rodzajem H_{10}\, nie jest potencjalne. Maksymalne napięcie w falowodzie jest między środkami ścianek dolnej i górnej. Definiujemy amplitudę napięcia dla falowodu z rodzajem H_{10}\, jako całkę amplitudy natężenie pola elektrycznego (dla rodzaju H_{10}\, istnieje tylko składowa Ey) wzdłuż prostej łączącej środki wymienionych ścianek. Napięcie obliczamy wybierając płaszczyznę poprzeczną, w której pole elektryczne jest rzeczywiste.

Również definicja prądu dla falowodu jest umowna. Traktując falowód jako linię transmisyjną, na ogół przyjmujemy, że prąd tej linii płynie wzdłuż kierunku rozchodzenia się fali. Jak wiemy, w falowodzie prostokątnym z rodzajem H_{10}\, prądy przewodzenia płyną po ściankach tak wzdłuż jak i w poprzek falowodu. Do obliczenia prądu w falowodzie bierzemy pod uwagę tylko gęstość prądu powierzchniowego płynącego wzdłuż falowodu na jednym z dłuższych boków (na górnej albo dolnej ściance), czyli prądy związane ze składową x wektora natężenia pola magnetycznego.

Patrząc na pokazane na slajdzie zależności określające napięcie i prąd zauważamy, że dla ustalonej amplitudy składowej y natężenia pola elektrycznego napięcie ma stałą wartość dla falowodu o określonych bokach, a natężenie prądu zmienia się z częstotliwością (impedancja falowa jest funkcją częstotliwości). Zauważmy również, że podobnie jak to miało miejsce dla linii współosiowej, napięcie i prąd są wielkościami rzeczywistymi dla falowodu wypełnionego ośrodkiem bezstratnym. Gdy dielektryk w falowodzie jest stratny (o zespolonej impedancji właściwej) to impedancja falowa i w konsekwencji także amplituda prądu są wielkościami zespolonymi.


Enlarge
Po wyznaczeniu obwodowych wielkości, a mianowicie amplitud napięcia i prądu, dla bezstratnego falowodu prostokątnego z rodzajem podstawowym obliczamy uśrednioną w czasie moc przenoszoną w falowodzie jako połowę iloczynu tych amplitud. Porównanie uzyskanego rezultatu z wynikiem dla mocy fali H_{10}\, uzyskanym na drodze polowej (całkowanie wektora Poyntinga w przekroju poprzecznym falowodu) wskazuje, że obie moce nie są identyczne. Który rezultat jest prawidłowy? Wiarygodną wartość mocy przepływającej przez falowód, co potwierdzono eksperymentalnie, wyznacza się stosując polową technikę. Pole elektromagnetyczne fali H_{10}\, w falowodzie jest określone jednoznacznie, czego nie można powiedzieć o napięciu i prądzie.

Konsekwencją różnych wartości mocy fali uzyskanych na drodze polowej i obwodowej jest niejednoznaczność impedancji charakterystycznej. Wartość tego parametru zależy od definicji, według której ją obliczamy. Sytuację tę zilustrowano na slajdzie podając trzy zależności opisujące impedancje charakterystyczne dla falowodu prostokątnego z rodzajem H_{10}\,. Nie można wskazać, która wartość jest prawdziwa. W przypadku falowodu prostokątnego z rodzajem podstawowym najczęściej posługujemy się impedancją charakterystyczną wyznaczoną w oparciu o moc i napięcie (Z_{cPU}).


Enlarge
Zajmijmy się falowodem kołowym, czyli cylindrem, którego przekrój poprzeczny jest kołem. Przyjmujemy założenia idealizujące, które stosowaliśmy przy analizie falowodu prostokątnego, a zatem ścianki falowodu są doskonale przewodzące, a dielektryk wypełniający falowód jest liniowy, jednorodny, izotropowy i bezstratny. Pole elektromagnetyczne w falowodzie kołowym spełnia równania Maxwella, wynikające z nich równania Helmholtz’a oraz warunki brzegowe na granicy dielektryk – przewodnik.

W falowodzie kołowym, tak jak to ma miejsce w falowodzie prostokątnym, mogą rozchodzić się rodzaje pola elektromagnetycznego typu E (TM) i H (TE). Dowolne pole elektromagnetyczne występujące w tym falowodzie można przedstawić jako superpozycję wymienionych rodzajów.

Opis matematyczny pola elektromagnetycznego w przekroju poprzecznym falowodu kołowego, który analizujemy w cylindrycznym układzie współrzędnych, jest inny niż dla falowodu prostokątnego i jest to konsekwencja innego kształtu przekroju poprzecznego prowadnicy. Rodzaje pola w falowodzie kołowym oznaczamy jako E_{mn}\, i H_{mn}\,. Liczby naturalne m i n to wskaźniki (indeksy) rodzaju. Z rozwiązania równania Helmholtz’a we współrzędnych cylindrycznych z uwzględnieniem warunków brzegowych wynika, że zmiany składowej z wektora pola elektrycznego (rodzaje typu E), a także wektora pola magnetycznego (rodzaje typu H) w płaszczyźnie poprzecznej do kierunku rozchodzenia się fali (płaszczyzna \rho \varphi) są zgodne z funkcją Bessela m-tego rzędu wzdłuż promienia (zmienna \rho) oraz następują według funkcji cosinus ze zmianą kąta (zmienna \varphi\,).

Dla rodzaju Emn składowa Ez przyjmuje wartość równą zeru na ściankach falowodu i w płaszczyźnie \rho \varphi) (dla z = 0) jest proporcjonalna do wyrażenia \displaystyle J_m\left (\frac{\kappa_{mn}}{a}\right)cos(m\varphi) , przy czym J_m to funkcja Bessela pierwszego rodzaju m-tego rzędu, a \kappa_m to n-ty pierwiastek tej funkcji. Natomiast dla rodzaju H_{mn} składowa H_z osiąga maksimum na ściankach falowodu i w płaszczyźnie z = 0 jest proporcjonalna do wyrażenia \displaystyle J_m\left (\frac{\kappa'_{mn}}{a}\right)cos(m\varphi) , gdzie \kappa' to n-ty pierwiastek pierwszej pochodnej funkcji J_m. Znając składową z, pozostałe składowe pola elektromagnetycznego wyznaczamy korzystając z równań Maxwella.

W oparciu o powyżej przedstawione zależności możemy zauważyć, że wskaźnik m rodzaju pola oznacza rząd funkcji Bessela oraz liczbę całkowitych okresów funkcji funkcji cosinus, a wskaźnik n określa numer pierwiastka funkcji J_m (dla rodzajów E) albo pierwszej pochodnej tej funkcji (dla rodzajów H).

W falowodzie kołowym rozkłady pola elektromagnetycznego rodzajów, dla których wskaźnik m jest równy zeru charakteryzują się symetrią osiową (względem osi 0z) bo pola nie zależą od zmiennej \varphi\,.


Enlarge
Tak jak to ma miejsce w falowodzie prostokątnym, dla danego rodzaju pola w falowodzie kołowym rozchodzącego się w kierunku +0z, zależność wszystkich występujących w nim składowych pól elektrycznego i magnetycznego wzdłuż kierunku propagacji jest opisana przez czynnik exp(–\gamma_zz), przy czym <math>\gamma_z\, to współczynnik propagacji fali wzdłuż osi z. Współczynnik ten określa się w oparciu o równanie dyspersyjne, które pokazane jest na slajdzie.

Rola i znaczenie granicznego współczynnika fazy \beta_g\, dla falowodu kołowego są analogiczne jak to miało miejsce dla falowodu prostokątnego, a istotna różnica między tymi falowodami polega na sposobie obliczania tej wielkości. Zależności, według których wyznaczamy \beta_g\, dla zadanych rodzajów pola w falowodzie kołowym są podane i opisane na slajdzie. Zaznaczyć należy, że w falowodzie kołowym graniczne współczynniki fazy nie mają tej samej wartości dla rodzajów E i H o identycznych wskaźnikach m, n.


Enlarge
Przypomnijmy, że częstotliwość graniczna rodzaju o wskaźnikach m, n w bezstratnym falowodzie kołowym to taka częstotliwość, dla której o współczynnik propagacji γz tego rodzaju jest równy zeru. Jest ona powiązana z granicznym współczynnikiem fazy oraz parametrami ośrodka wypełniającego falowód. Fala elektromagnetyczna określonego rodzaju rozchodzi się w falowodzie dla częstotliwości większych od częstotliwości granicznej.

Wśród pierwiastków, tak funkcji Bessela pierwszego rodzaju jak i pierwszej pochodnej tych funkcji, najmniejszą wartość ma pierwszy pierwiastek pochodnej funkcji J_1\, \kappa'_{11}=1.811 . Oznacza to, że najmniejszy graniczny współczynnik fazy, a tym samym i najmniejsza częstotliwość graniczna, odpowiada rodzajowi H_{11}\,, który jest rodzajem podstawowym w falowodzie kołowym.

Na slajdzie pokazano graficznie rozkład częstotliwości granicznych znormalizowanych do częstotliwości granicznej rodzaju podstawowego dla kilku pierwszych rodzajów wzbudzanych w falowodzie kołowym. Warto zauważyć, że pasmo pracy falowodu kołowego (gdy rozchodzi się tylko rodzaj podstawowy) wynosi około 25% i jest znacznie mniejsze niż dla falowodu prostokątnego.

Znając częstotliwość graniczną zadanego rodzaju pola w falowodzie kołowym możemy wyznaczyć jego współczynnik propagacji posługując się zależnościami podanymi wcześniej dla falowodu prostokątnego (slajd 20). Przypomnijmy, że poniżej częstotliwości granicznej współczynnik propagacji dowolnego rodzaju pola w bezstratnym falowodzie kołowym jest wielkością rzeczywistą, czyli staje się współczynnikiem tłumienia. Natomiast dla częstotliwości większych niż częstotliwość graniczna współczynnik propagacji jest urojony, a jego wartość to współczynnik fazy. Wiemy także, że znając współczynnikiem fazy można określić długość fali w falowodzie oraz prędkości fazową i grupową, a przedstawione wcześniej zależności dla falowodu prostokątnego są słuszne również dla falowodu kołowego. Także częstotliwościowe charaktrystyki współczynnika propagacji i prędkości prezentowane przy omawianiu falowodu prostokątnego oddają jakościowe zmiany tych parametrów z częstotliwością dla rodzajów pola falowodu kołowego. Podsumowując, parametry pola elektromagnetycznego w falowodach prostokątnym i kołowym są identycznie definiowane i jedyną różnicą jest sposób oblicznia granicznego współczynnika fazy. Natomiast rozkłady pól poszczególnych rodzajów pola elektromagnetycznego są zdecydowanie różne.

Enlarge
Na slajdzie przedstawiono konfigurację linii sił pól elektrycznego i magnetycznego rodzaju podstawowego w bezstratnym falowodzie kołowym dla fali rozchodzącej się w kierunku +0z w chwili t = 0. Jest to graficzna ilustracja rzeczywistych wektorów pól rodzaju H_{11}\, o następujących składowych:


\displaystyle H_z(\rho,\varphi, z,t)=H_{z0}J_1(\beta_{gH11}\rho)cos\varphi cos(\omega t-\beta_z z)
\displaystyle H_{\rho}(\rho,\varphi, z,t)=-\frac{\beta_z}{\beta_{gH11}}H_{z0}J'_1(\beta_{gH11}\rho)cos\varphi sin(\omega t-\beta_z z)
\displaystyle H_{\varphi}(\rho,\varphi, z,t)=-\frac{\beta_z}{\rho \beta_{gH11}}H_{z0}J_1(\beta_{gH11}\rho)sin\varphi sin(\omega t-\beta_z z)
\displaystyle E_{\rho}(\rho,\varphi, z,t)=-\frac{Z\beta_z}{\rho \beta^2_{gH11}}H_{z0}J_1(\beta_{gH11}\rho)sin\varphi sin(\omega t-\beta_z z)
\displaystyle E_{\varphi}(\rho,\varphi, z,t)=-\frac{Z\beta_z}{\\beta_{gH11}}H_{z0}J'_1(\beta_{gH11}\rho)cos\varphi sin(\omega t-\beta_z z)

gdzie \displaystyle \beta_{gH11}=\frac{\kappa'_{11}}{a}=\frac{1.811}{a} , J_1\, to funkcja Bessela pierwszego rodzaju rzędu 1, a J'_1\, – pierwsza pochodna tej funkcji, Z to impedancja właściwa ośrodka wypełniającego falowód.

Wyrażenia określające składowe pól rodzaju H_{11}\, wskazują, że spełnione są warunki brzegowe na ściance falowodu (dla \rho = a), czyli zerowanie składowych E_{\varphi}\, i H_{\rho}. Ze składową E_{\rho} związane są powierzchniowe ładunki elektryczne, a składowe H_z i H_{\varphi} określają gęstości prądów powierzchniowych. Związki między polami a ładunkami i prądami na powierzchni przewodnika omówiono szczegółowo dla falowodu prostokątnego. Poprzestaniemy tu na stwierdzeniu, że analogiczne relacje dotyczą falowodu kołowego.

Falowody kołowe znalazły zastosowanie w systemach antenowych oraz w konstrukcjach niektórych tłumików, rezonatorów i filtrów (będzie o tym mowa w jednym z dalszych wykładów).


Enlarge
Mikrofalowe systemy, układy i elementy budowane do końca lat czterdziestych oparte były na linii współosiowej oraz falowodzie prostokątnym. Elementami aktywnymi w ówczesnych konstrukcjach były prawie wyłącznie mikrofalowe lampy elektronowe, a jedynym przyrządem półprzewodnikowym była krzemowa dioda ostrzowa.

Zapoczątkowany w latach pięćdziesiątych burzliwy rozwój techniki półprzewodnikowej, doskonalenie technologii materiałów elektronicznych oraz wprowadzenie do obwodów mikrofalowych linii paskowych w zasadniczy sposób wpłynęły na metody realizacji elementów i układów pracujących powyżej częstotliwości 300 MHz. Diody półprzewodnikowe i tranzystory wypierają lampy elektronowe z elementów pasm mikrofalowych i milimetrowych, co pozwala uzyskać - obok zredukowanej mocy zasilania - ich większą niezawodność i trwałość. Stosując linię mikropaskową w miejsce falowodu prostokątnego czy linii współosiowej uzyskuje się znaczne zmniejszenie wymiarów oraz ciężaru pasywnych i aktywnych elementów. W rezultacie prac prowadzonych nad połączeniem poszczególnych elementów mikrofalowych w konkretne, pewnie działąjące urządzenie powstają hybrydowe, a następnie monolityczne mikrofalowe układy scalone.

Linia mikropaskowa stała się podstawową prowadnicą mikrofalowych układów scalonych (MUS) pracujących w pasmach decymetrowych i centymetrowych. Falowód koplanarny, który opracowano pod koniec lat sześćdziesiątych, znalazł zastosowanie w monolitycznych układach scalonych dzięki łatwości integrowania z przyrządami półprzewodnikowymi.

W dobie łączy światłowodowych, sygnałów nie przesyła się na duże odległości prowadnicami falowymi. Z punktu widzenia miejsca występowania prowadnicy można wyróżnić dwie grupy linii transmisyjnych: wewnętrzne i zewnętrzne.

Do prowadnic zewnętrznych, które występują pomiędzy elementami czy podzespołami w przyrządach i systemach funkcjonalnych lub pomiarowych, należy zaliczyć linię współosiową oraz falowód prostokątny. Podstawowe prowadnice wewnętrzne, które znajdują się w hybrydowych i monolitycznych mikrofalowych układach scalonych (HMUS i MMUS), to linia mikropaskowa i falowód koplanarny.

Struktury obu planarnych prowadnic falowych przedstawiono na slajdzie. W linii mikropaskowej występują przewodniki po obu stronach warstwy dielektryka o grubości h. Po jednej stronie dielektrycznego podłoża jest pasek metalizacji o szerokości w i grubości t, a drugą stronę pokrywa płaszczyzna przewodząca. Falowód koplanarny jest określany mianem prowadnicy uniplanarnej ponieważ metalizacja występuje po jednej stronie podłoża. Formuje ona trzy obszary przewodzące: pasek oraz dwie półpłaszczyzny, które są symetrycznie odsunięte od paska o szerokość szczelin d.

Fala elektromagnetyczna prowadzona w linii mikropaskowej albo falowodzie koplanarnym występuje w dielektryku oraz w powietrzu, czyli ośrodkach o różnych przenikalnościach elektrycznych. Nie może zatem być falą typu TEM, dla której prędkość rozchodzenia się fali jest ściśle określona przez parametry ośrodka. W oparciu o pierwsze dwa równania Maxwella można wykazać, że spełnienie warunków brzegowych na granicy dwóch dielektryków występujących w omawianych prowadnicach wymaga istnienia składowych wzdłużnych tak pola elektrycznego jak i magnetycznego.

W linii mikropaskowej, prowadnicy mającej dwa przewody, występuje jeden, podstawowy rodzaj pola elektromagnetycznego o zerowej częstotliwości granicznej. Rodzaj ten nie jest czystą falą TEM (ma składowe wzdłużne pól elektrycznego i magnetycznego) i określany jest mianem quasi-TEM. Stosunek składowych poprzecznych do składowych wzdłużnych zmienia się z częstotliwością. W rezultacie prędkość fazowa nie jest stała w funkcji częstotliwości. Mamy więc do czynienia z nieznaczną dyspersją rodzaju podstawowego tej prowadnicy.

W strukturze falowodu koplanarnego mamy trzy przewody i linia ta ma dwa rodzaje pola z zerową częstotliwością graniczną, tzw. rodzaj parzysty i rodzaj nieparzysty. Dla rodzaju nieparzystego pola elektryczne w szczelinach skierowane są w przeciwne strony, a w tę samą stronę dla rodzaju nieparzystego. Rodzaj nieparzysty, typu quasi-TEM, jest rodzajem podstawowym, pożądanym w transmisji mocy fali. Jest to rodzaj z stosunkowo małą dyspersją. Rodzaj parzysty jest rodzajem pasożytniczym. Aby go wyeliminować półpłaszczyzny przewodzące winny mieć ten sam potencjał. W mikrofalowych układach scalonych z falowodem koplanarnym wytwarza się mostki przewodzące zwierające w określonych odstępach metalizacje boczne prowadnicy. Konieczność stosowania mostków jest komplikacją technologiczną.



Enlarge
W tabeli pokazano parametry dielektryczne typowych dielektryków stosowanych w technice planarnych prowadnic falowych.

Wśród dielektryków stosowanych w hybrydowych mikrofalowych układach scalonych jedną z najbardziej popularnych jest ceramika alundowa. Ceramika ta ze względu na swoje bardzo małe straty, niski współczynnik rozszerzalności temperaturowej oraz dobre przewodnictwo cieplne szczególnie dobrze nadaje się do układów oscylatorów i wzmacniaczy. Stosunkowo duża wartość względnej przenikalności elektrycznej ceramiki alundowej sprawia, że bardzo dobrze nadaje się do układów pracujących w pasmach decymetrowych i centymetrowych. W zakresie fal milimetrowych używane są podłoża o znacznie mniejszych \varepsilon_w, np. materiał RT/Duroid 5880 o \varepsilon_w = 2.22. Najtańszym podłożem jest FR4, laminat szklano-epoksydowy, który ze względu na duże straty można stosować w układach pracujących na pojedynczych gigahertzach. Do wytwarzania obwodów HMUS stosuje się klasyczną metodę fotolitografii.

Podłoża półprzewodnikowe, czyli arsenek galu oraz krzem, występują w monolitycznych mikrofalowych układach scalonych. Straty tych materiałów są większe niż niskostratnych podłoży dielektrycznych. W konsekwencji, współczynniki tłumienia prowadnic na podłożach półprzewodnikowych są odpowiednio większe niż analogicznych prowadnic z dobrymi dielektrykami. Nie jest to istotne ograniczenie dla zastosowań prowadnic planarnych na podłożach półprzewodnikowych ponieważ długości prowadnic w układach MMUS są rzędu pojedynczych milimetrów, podczas gdy w układach HMUS mamy znacznie dłuższe odcinki prowadnic. Wielką zaletą układów monolitycznych jest wykonanie całego układu (prowadnice, elementy bierne i aktywne) w trakcie procesu technologicznego właściwego dla typu zastosowanych tranzystorów.

Przypomnijmy, że prowadnicę falową, dla jej podstawowego rodzaju pola elektromagnetycznego, charakteryzują dwa podstawowe parametry współczynnik propagacji oraz impedancja charakterystyczna.

Dla linii mikropaskowej i falowodu koplanarnego definiujemy efektywną przenikalność elektryczną, która jest równa kwadratowi znormalizowanego współczynnika fazy fali quasi-TEM do współczynnika fazy fali płaskiej w próżni. Wartość tego parametru dla linii mikropaskowej jest większa niż dla falowodu koplanarnego ponieważ pole elektromagnetyczne fali w linii mikropaskowej znajduje się głównie w dielektryku. Dokładne wyznaczenie efektywnej przenikalności elektrycznej fali quasi-TEM w danej prowadnicy wiąże sie z rozwiązaniem równań Maxwella dla tej linii przy określonych warunkach brzegowych i jest dosyć skomplikowanym zagadnieniem matematycznym tak dla linii mikropaskowej jak i falowodu koplanarnego. W literaturze dotyczącej prowadnic planarnych można znaleść szereg przybliżonych zależności analitycznych dla \varepsilon_{eff}, które z wystarczającą dla celów projektowych dokładnością pozwalają obliczyć ten parametr dla każdej z dwu omawianych linii transmisyjnych. Zaznaczyć należy, że \varepsilon_{eff} jest funkcją względnej przenikalności elektrycznej podłoża, wymiarów geometrycznych (dla linii mikropaskowej są to: grubość podłoża, szerokość i grubość paska) oraz częstotliwości. Zależność od częstotliwości nie jest zbyt silna i zazwyczaj zmiana wartości εeff nie przekracza kilkunastu procent w całym pasmie pracy prowadnicy.

Głównym obwodowym parametrem prowadnicy falowej jest impedancja charakterystyczna. Precyzyjne wyznaczenie mocy fali oraz napięcia i prądu w prowadnicy jest możliwe gdy znamy rozkłady pól fali quasi-TEM, co jest dla linii mikropaskowej i falowodu koplanarnego złożonym i trudnym zadaniem. Pamiętamy, że impedancję charakterystyczną można definiować na trzy sposoby. Dla linii mikropaskowej najczęściej stosujemy definicję opartą na mocy fali i prądzie w pasku płynącym wzdłuż kierunku rozchodzenia się fali. Stwierdzono, że tak zdefiniowana impedancja charakterystyczna linii mikropaskowej najsłabiej zależy od częstotliwości. W przypadku falowodu koplanarnego posługujemy się z reguły imedancją charakterystyczną obliczoną na bazie mocy i napięcia w jednej ze szczelin. Analityczne wzory empiryczne dla impedancji charakterystycznych obu prowadnic można znaleść w literaturze. Realizowane impedancje charakterystyczne planarnych prowadnic zawierają się w szerokich granicach: 20 – 100 \Omega\, dla linii mikropaskowej i 25 – 150 \Omega\, dla falowodu koplanarnego.

Dla potrzeb technologii mikrofalowych układów scalonych opracowano techniki wytwarzania planarnych rezystorów, kondensatorów, cewek indukcyjnych, a także diod i tranzystorów. W HMUS elementy te montowane są na powierzchni układu, a łączą je odcinki prowadnic falowych. W MMUS wszystkie elementy, łącznie z prowadnicami falowymi wykonuje się w procesach technologicznych na podłożu krzemu lub arsenku galu.


Enlarge
Dotychczas, omawiając prowadnice falowe zakładaliśmy, że przewodniki występujące w ich strukturach są idealne i nie powodują tłumienia mocy rozchodzących się fal. Rzeczywiste przewodniki, o dużej ale skończonej konduktywności, są źródłem strat mocy. Wiemy już, że w wyniku istnienia strat dielektrycznych następuje tłumienie fali elektromagnetycznej prowadzonej w linii transmisyjnej. Trzecim źródłem strat mocy fali jest zjawisko promieniowania. Występuje ono w strukturach otwartych, którymi są wśród omawianych prowadnic linia mikropaskowa i falowód koplanarny. Intensywność promieniowania rośnie ze wzrostem częstotliwości. Straty wywołane promieniowaniem są trudne do oszacowania i nie będą tutaj omawiane.

Straty występujące w przewodnikach i dielektryku sumują się i współczynnik tłumienia fali w prowadnicy możemy wyrazić jako superpozycję współczynników tłumienia wynikających z obydwu źródeł strat.


Enlarge
W prowadnicy falowej z idealnymi przewodnikami występuje na granicy dielektryk – metal składowa styczna pola magnetycznego i zgodnie z warunkami brzegowymi związany z nią prąd powierzchniowy. Dla rzeczywistego przewodnika składowa styczna pola magnetycznego jest ciągła na granicy dielektryk – metal, nie ma prądu powierzchniowego, pole magnetyczne wnika w przewodnik i jest związane z przestrzennym prądem przewodzenia zgodnie z drugim prawem Maxwella (prąd przesunięcia możemy zaniedbać). Prąd ten związany jest również z natężeniem pola elektrycznego według prawa Ohma: \vec{J}=\sigma\vec{E} . W rezultacie powstaje fala elektro-magnetyczna kierująca się w głąb przewodnika. Ze względu na bardzo silne tłumienie fali, pole wnika w przewodnik na niewielką głebokość. Zjawisko to nazywa się naskórkowością. Miarą tego zjawiska jest wielkość zwana głębokością wnikania, której wartość równa jest drodze, na której amplituda fali maleje e-krotnie. Oznacza to, że na długości równej głębokości wnikaniae-krotnie zmaleją amplitudy tak gęstości prądu przewodzenia jak i natężeń pól elektrycznego i magnetycznego. Dla przykładu, głębokość wnikania dla miedzi fali o częstotliwości 10 GHz wynosi 0.66\mu m.

Do obliczania tłumienia fali w prowadnicy falowej wywołanej stratami w przewodnikach wygodnie jest wprowadzić pojęcie rezystancji powierzchniowej, która jest w prosty sposób powiązana z głębokością wnikania. Dla tej rezystancji tradycyjnie używamy jednoski Ohm na kwadrat, przy czym „kwadrat” jest bezwymiarowy i podkreśla jedynie, że pojęcie związane jest z cienką warstwą materiału. Łatwo sprawdzić, że wartość rezystancji powierzchniowej jest równa części rzeczywistej impedancji właściwej metalu.


Enlarge
Współczynnik tłumienia fali w prowadnicy związany ze stratami w przewodniku \alpha_m jest wprostproporcjonalny do rezystancji powierzchniowej materiału, z którego wykonano warstwy przewodzące. Zauważmy, że rezystancja powierzchniowa wzrasta proporcjonalnie do pierwiastka kwadratowego z częstotliwości. We wzorze pokazanym na slajdzie wprowadzono pewną ogólną funkcję F_m, której postać zależy od rozważanej prowadnicy z uwzględnieniem rodzaju pola elektromagnetycznego. Dla linii współosiowej z falą TEM wartość F_m zależy od impedancji charakterystycznej (Z_c) i promieni przewodów linii, a nie zmienia się z częstotliwością. Natomiast, w przypadku falowodu prostokątnego z rodzajem H10 Fm jest dodatkowo funkcją częstotliwości.

Współczynnik tłumienia można wyrazić w Neperach na metr albo z decybelach na metr. Związek między tymi jednostkami, który wynika z defincji Nepera i decybela, jest dla współczynnika tłumienia następujący:

\displaystyle \alpha\left[\frac{dB}{m}\right]=20lge\cdot \alpha \left[\frac{Np}{m}\right]=8.686\alpha \left[\frac{Np}{m}\right]

Współczynnik tłumienia fali wynikający ze strat dielektrycznych αd można przedstawić w formie analogicznej do postaci współczynnika αm. W tym przypadku, niezależnie od rodzaju pola i prowadnicy, współczynnik tłumienia jest wprostproporcjonalny do tangensa kąta stratności dielektryka. Komentarz dotyczący funkcji F_d można sformułować podobnie jak dla funkcji F_m. Warto zwrócić uwagę na prostotę funkcji F_d dla linii współosiowej oraz na fakt, że \alpha_d rośnie liniowo z częstotliwością.


Enlarge
Na rysunku pokazano częstotliwościowe charakterystyki współczynnika tłumienia rodzajów podstawowych pola elektromagnetycznego w omawianych prowadnicach falowych. Uwzględniono straty dielektryczne oraz straty w przewodnikach.

Dla linii mikropaskowej i falowodu koplanarnego wybrano ceramikę alundową (\varepsilon_w = 9.8, tg\delta = 0.0005) o grubości h = 0.508 mm oraz warstwy miedzi (\sigma = 5.88\cdot 10^7 S/m) o grubości t = 35\mu m. Przyjęto, że obie prowadnice mają mieć zbliżone impedancje charakterystyczne równe ok. 50 \Omega dla częstotliwości 10 GHz. Przy powyższych założeniach dla linii mikropaskowej szerokość paska wynosi w = 0.5 mm. Dla falowodu koplanarnego wybrano tę samą szerokość paska w = 0.5 mm i wyznaczono szerokość obu szczelin, która wynosi d = 0.225 mm. Współczynniki tłumienia obu prowadnic są prawie identyczne w całym zakresie częstotliwości. Falowód koplanarny tłumi nieco bardziej falę dla niskich i średnich częstotliwości. Zauważmy, że nachylenie charakterystyk tłumienia obu prowadnic zmienia się nieznacznie z częstotliwością. Dla niskich częstotliwości dominują straty w przewodnikach wzrastające proporcjonalnie do \sqrt{f} . Dla wysokich częstotliwości straty dielektryczne, które rosną proporcjonalnie do f, są porównywalne ze stratami w przewodnikach i w rezultacie wzrasta nachylenie charakterystyki tłumienia.

W linii współosiowej o impedancji charakterystycznej równej 50 Ω, dla której wyznaczono współczynnik tłumienia, przestrzeń między przewodami z miedzi o promieniach a = 1.75 mm i b = 0.502 mm wypełniona jest teflonem o \varepsilon_w = 2.1 i tg\delta = 0.0005. Tłumienie linii współosiowej jest wyraźnie mniejsze niż planarnych prowadnic.

Na rysunku pokazano również charakterystyki tłumienia rodziny standardowych falowodów prostokątnych wypełnionych powietrzem w ich pasmach pracy. Przy charakterystykach podano stosowane powszechnie oznaczenia falowodów. Przyjęto, że falowody od WR-1000 do WR-62 wykonane są z aluminium (\sigma = 3.58\cdot 10^7 S/m), a pozostałe ze srebra (\sigma = 6.14\cdot 10^7 S/m). Współczynniki tłumienia fali H_{10} w falowodach maleją w funkcji częstotliwości. Jest to spowodowane tym, że przy ustalonej wartości mocy przenoszonej przez falowód ze wzrostem częstotliwości zmniejsza się wartość składowej H_z\,, a więc i wartość prądów w ściankach, które wywołują straty mocy. W pasmie pracy falowodu zjawisko to jest silniejsze niż wzrost strat wywołany naskórkowością. Z prezentowanych prowadnic falowody mają wyrażnie najniższe straty.


Enlarge
W podsumowaniu jakościowo porównano własności prezentowanych prowadnic falowych.

Tytułem komentarza należy dodać, że dla odpowiednio dużej częstotliwości w linii współosiowej poza rodzajem TEM mogą rozchodzić się również rodzaje falowodowe, z których każdy ma określoną częstotliwość graniczną. Z tego względu pasmo pracy tej prowadnicy falowej nie jest nieograniczone i rozciąga się od DC do częstotliwości o kilka procent niższej od wartości częstotliwości granicznej pierwszego rodzaju falowodowego w linii współosiowej, którym jest rodzaj H_{11}. Przykładowo, dla wypełnionej powietrzem linii współosiowej o promieniach 3.5 mm i 1.5 mm pasmo pracy wynosi od 0 do 18 GHz. Również w linii mikropaskowej i falowodzie koplanarnym mogą rozchodzić się falowodowe rodzaje i ograniczają one pasma pracy tych prowadnic.



Pytania sprawdzające

(jeśli potrafisz na nie odpowiedzieć, to znaczy, że opanowałeś/aś materiał wykładu)

  1. Wymień i scharakteryzuj najważniejsze parametry prowadnicy falowej.
  2. Przypomnij sobie jakie mody mogą rozchodzić się w falowodach i scharakteryzuj je.
  3. Co to jest dyspersja, w jakich warunkach i dlaczego dyspersja utrudnia transmisję sygnału.
  4. Przeanalizuj przyczyny powstawania strat przy transmisji mocy prowadnicami falowymi.
  5. Na czym polega efekt naskórkowości?
  6. Opisz kolejno prowadnice typu TEM.
  7. Narysuj konfigurację pól E i H dla modu podstawowego i naszkicuj kierunki przepływu prądów w ściankach falowodu prostokątnego.
  8. Dlaczego nie stosujemy falowodów prostokątnych, dla których stosunek a/b=1?
  9. W jakim pasmie częstotliwości może pracować falowód prostokątny?
  10. W jakim pasmie może pracować falowód cylindryczny?
  11. Jak uzasadnisz fakt, że obwodem zastępczym odcinka falowodu prostokątnego jest odcinek linii dwuprzewodowej?
  12. Jak zbudowana jest i jakie ma właściwości prowadnica mikropaskowa?
  13. Jak zbudowana jest i jakie ma właściwości linia koplanarna?
  14. Jakie są obszary zastosowań linii współosiowej, linii mikropaskowej i falowodu prostokątnego? Aby to uzasadnić porównaj parametry wymienionych typów prowadnic.
  15. Wymień argumenty przemawiające za rozwojem technologii i konstrukcji Mikrofalowych Monolitycznych Układów Scalonych na krzemie i arsenku galu.

Słownik

Częstotliwość graniczna - częstotliwość powyżej której może się propagować fala w falowodzie. Poniżej tej częstotliwości fala jest silnie tłumiona.

Zestawienie typów fal:

  • Fala typu TEM - wektory pola E i H leżą w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji.
  • Fala typu TE (zwana też H) - pole E posiada składowe tylko w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji. Pole H posiada składowe w kierunku propagacji fali.
  • Fala typu TM (zwana też E) - pole H posiada składowe tylko w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji. Pole E posiada składowe w kierunku propagacji fali.
  • Fala typu EH - zarówno pole E jak i pole H tej fali posiadają składowe w kierunku propagacji.

Linie TEM:

  • Linia współosiowa.
  • Linia dwuprzewodowa.
  • Symetryczna linia paskowa.

Linie Quasi-TEM:

  • Niesymetryczna linia paskowa:
  • Linia koplanarna (falowód koplanarny).
  • Linia koplanarna paskowa.

Linie falowodowe:

  • Falowód prostokątny. Mod podstawowy typu TE10 (H10).
  • Falowód kołowy (cylindryczny). Mod podstawowy typu TE11 (H11).

Mod (rodzaj) podstawowy dla danego falowodu - to mod fali o najmniejszej

Bibliografia

  1. Bogdan Galwas. Miernictwo mikrofalowe, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa, 1985, Rozdział 1, 2 i 3.
  2. Tadeusz Morawski, Wojciech Gwarek. Pola i fale elektromagnetyczne, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1998, Rozdział 1 do 8.
  3. Janusz Dobrowolski. Technika wielkich częstotliwości, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1998 Rozdział 1 i 3.
  4. Stanisław Rosłoniec. Liniowe obwody mikrofalowe, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa, 1999, Rozdział 2.</math>