Sztuczna inteligencja/SI Ćwiczenia 4

From Studia Informatyczne

Spis treści

Zadanie 1

W śledztwie dotyczącym zabójstwa inspektor Bayes rozważa dwie hipotezy:

  • h \, – że główny podejrzany zabił,
  • \neg h \, – że główny podejrzany nie zabił

oraz następujące możliwe fakty:

  • f_1 \, – że na miejscu zbrodni znaleziono odciski palców głównego podejrzanego,
  • f_2 \, – że główny podejrzany nie ma alibi na czas popełnienia zabójstwa,
  • f_3 \, – że główny podejrzany miał motyw zabicia ofiary,
  • f_4 \, – że główny podejrzany był widziany w sądziedztwie miejsca, w którym mieszka nielegalny handlarz bronią,
  • f_5 \, – że świadek zbrodni podał rysopis zabójcy nie pasujący do głównego podejrzanego.

Zależności między takimi faktami a hipotezami opisują następujące prawdopodobieństwa:

Pr(f_1|h)=0,7 Pr(f_1|\neg h)=0,3
Pr(f_2|h)=0,8 Pr(f_2|\neg h)=0,4
Pr(f_3|h)=0,9 Pr(f_3|\neg h)=0,5
Pr(f_4|h)=0,4 Pr(f_4|\neg h)=0,2
Pr(f_5|h)=0,2 Pr(f_5|\neg h)=0,4

W którym przypadku prawdopodobieństwo popełnienia zabójstwa byłoby największe:

  1. gdyby znaleziono na miejscu zbrodni jego odciski palców,
  2. gdyby stwierdzono, że nie miał alibi i miał motyw,
  3. gdyby znaleziono na miejscu zbrodni jego odciski palców oraz stwierdzono, że był widziany w sąsiedztwie miejsca, w którym mieszka nielegalny handlarz bronią, ale świadek zbrodni podał rysopis zabójcy nie pasujący do głównego podejrzanego.

Zadanie 2

W śledztwie dotyczącym zabójstwa inspektor Bayes wyłonił trzech podejrzanych A, B i C, w konsekwencji czego rozważa trzy możliwe hipotezy, wzajemnie wykluczające się i wyczerpujące wszystkie możliwości:

  • h_A \, – zabił A,
  • h_B \, – zabił B,
  • h_C \, – zabił C

oraz następujące możliwe fakty:

  • f_{1A} \,, f_{1B} \,, f_{1C} \, – że na miejscu zbrodni znaleziono odciski palców podejrzanego A, B, C,
  • f_{2A} \,, f_{2B} \,, f_{2C} \, – że podejrzany A, B, C nie ma alibi na czas popełnienia zabójstwa,
  • f_{3A} \,, f_{3B} \,, f_{3C} \, – że podejrzany A, B, C miał oczywisty motyw zabicia ofiary,
  • f_{4A} \,, f_{4B} \,, f_{4C} \, – że świadek zbrodni podał rysopis zabójcy nie pasujący do podejrzanego A. B, C,
  • f_{5A} \,, f_{5B} \,, f_{5C} \, – że podejrzany A, B, C jest szanowanym obywatelem nie budzącym u nikogo żadnych podejrzeń.

Zależności między takimi faktami a hipotezami opisują następujące prawdopodobieństwa:

Pr(f_{1x}|h_x)=0,7
Pr(f_{2x}|h_x)=0,9
Pr(f_{3x}|h_x)=0,6
Pr(f_{4x}|h_x)=0,2
Pr(f_{5x}|h_x)=0,3

dla x=A, B, C. Wstępnie inspektor założył, że prawdopodobieństwo popełnienia zbrodni przez każdego z podejrzanych jest jednakowe. W wyniku śledztwa ustalono, że:

  • podejrzani A i B nie mają alibi,
  • podejrzany C miał oczywisty motyw,
  • rysopis zabójcy podany przez świadka nie pasuje do podejrzanych B i C,
  • podejrzany A jest szanowanym obywatelem nie budzącym u nikogo żadnych podejrzeń.

Którego z podejrzanych powinien aresztować inspektor Bayes jako najbardziej prawdopodobnego zabójcę?

Zadanie 3

Rozważmy zastosowanie wnioskowania bayesowskiego do pewnej dziedziny, w której rozważa się dwie wykluczające się wzajemnie i wyczerpujące wszystkie możliwości hipotezy h \, i \neg h \, oraz m \, możliwych faktów f_1, f_2,..., f_m \,. Prawdopodobieństwa Pr(f_j|h) \, dla j=1,2,...,m \, określone są jako kolejne liczby z ciągu arytmetycznego 0,1+(j-1)*(0,9-0,1)/(m-1) \,, zaś prawdopodobieństwa Pr(f_j|\neg h) \, odpowiednio jako kolejne liczby z ciągu geometrycznego 0,9*(0,1/0,9)*(j-1)/(m-1) \,. Obie hipotezy są jednakowo prawdopodobne a priori. Fakty są warunkowo niezależne względem hipotez. Liczba faktów m \, jest parzysta. Która hipoteza jest bardziej prawdopodobna a posteriori, jeśli:

  1. wiadomo, że zachodzą wszystkie fakty f_1,..., f_m \,,
  2. wiadomo, że zachodzą tylko fakty f_1,..., f_{m/2} \,,
  3. wiadomo, że zachodzą tylko fakty f_{m/2},..., f_m \,.

Zadanie 4

Wnioskowanie bayesowskie o prawdopodobieństwie hipotezy h \, na podstawie faktów F \,, czyli obliczanie prawdopodobieństwa a posteriori Pr(h|F) \,, można traktować w pewnym sensie jako probabilistyczną odmianę stosowania reguły modus ponens do faktów F \, i implikacji F \rightarrow h \,. Czy można analogicznie wskazać bayesowski odpowiednik reguły modus tollens?