Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 7: Parametry rozkładów zmiennych losowych

From Studia Informatyczne

Niech \displaystyle X oznacza liczbę oczek otrzymanych przy rzucie "fałszywą kostką", na której "szóstka" wypada z prawdopodobieństwem \displaystyle 0.1, natomiast pozostałe ścianki wypadają z jednakowym prawdopodobieństwem każda. Wtedy:

\displaystyle {\Bbb E}(X) = 3.2.

\displaystyle {\Bbb D}^2 (X) = 6.25.

średni błąd \displaystyle X wynosi \displaystyle 2.32.

\displaystyle q_{0.9} =  6


Za prawo wyciągnięcia jednej karty z talii 52 kart płacimy \displaystyle w zł, a otrzymujemy \displaystyle a zł za wyciągnięcie asa, 15 zł za wyciągnięcie waleta, damy lub króla oraz \displaystyle x zł za wyciągnięcie karty mającej \displaystyle x oczek. Gra jest sprawiedliwa, gdy:

\displaystyle a = 5, \displaystyle w = 8.

\displaystyle a = 10, \displaystyle w = 7.

\displaystyle a = 100, \displaystyle w = 15.

nigdy nie jest sprawiedliwa.


Zmienna losowa \displaystyle X ma gęstość:

\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array} {rl}     0 & \hbox{dla } x < 0 \\     xe^{-x} & \hbox{dla } x \ge 0. \\ \end{array} \right.

Oceń prawdziwość następujących zdań:

\displaystyle {\Bbb E}(X) = 2.

\displaystyle {\Bbb D}^2 (X) = 2.

średni błąd \displaystyle X wynosi \displaystyle 8e^{-2}.

\displaystyle q_{0.5} \approx  1.68.


Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Każda zmienna losowa ma skończoną wartość oczekiwaną.

Istnieją zmienne losowe, dla których nie istnieje skończona wartość oczekiwana.

Istnieje zmienna losowa, dla której wszystkie momenty centralne są równe zeru.

Wariancja sumy zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych, pod warunkiem, że wariancje te istnieją i są skończone.


Wylosowano niezależnie od siebie cztery liczby, zgodnie z rozkładem jednostajnym na odcinku \displaystyle (0,1), a następnie utworzono łamaną z odcinków o długościach równych tym liczbom. Niech \displaystyle X będzie długością tej łamanej. Wtedy:

\displaystyle P(|X - 2| > 1) \le \frac{1}{3}

\displaystyle P(|X - 2| < \sqrt{3}) \ge \frac{8}{9}

\displaystyle P(|X - 2| < 2) \ge 1

\displaystyle P(X = 2) = 0


Ile razy należy rzucić monetą symetryczną, żeby liczba otrzymanych orłów mieściła się w przedziale:

\displaystyle (48\% liczby rzutów \displaystyle  , 52\% liczby rzutów \displaystyle  ),
z prawdopodobieństwem \displaystyle 0.99 lub większym?

Co najmniej 1 000 000 razy.

Wystarczy rzucić 100 000 razy.

Dokładnie 4 250 razy.

Na przykład 62 500 razy.