Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 6: Rozkłady prawdopodobieństwa i zmienne losowe

From Studia Informatyczne

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Każdy rozkład prawdopodobieństwa ma dystrybuantę.

Każdy rozkład prawdopodobieństwa jest albo rozkładem dyskretnym albo rozkładem ciągłym.

Dystrybuanta rozkładu ciągłego jest funkcją ciągłą.

Dystrybuanta rozkładu dyskretnego nie jest funkcją ciągłą.


Wskaż rozkład wartości bezwzględnej różnicy liczby oczek przy rzucie dwiema kostkami:

\displaystyle x_i=1,2,3,4,5; \displaystyle \displaystyle p_i=\frac{16}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}.

\displaystyle x_i=0,1,2,3,4,5; \displaystyle \displaystyle p_i=\frac{1}{6},\frac{10}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}.

\displaystyle x_i=0,1,2,3,4,5; \displaystyle \displaystyle p_i=\frac{10}{6},\frac{6}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}.

\displaystyle x_i=1,2,3,4,5,6; \displaystyle \displaystyle p_i=\frac{1}{6},\frac{10}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}.


Zmienna losowa \displaystyle X ma gęstość:

\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array} {rl}     0 & \hbox{dla } x < 0 \\     xe^{-x} & \hbox{dla } x \ge 0. \\ \end{array} \right.

Oceń prawdziwość następujących zdań:

\displaystyle \displaystyle P(X > 1) < \frac{1}{2}.

\displaystyle \displaystyle P(X = 1) = \frac{2}{e^{-1}}.

\displaystyle \displaystyle P(X > 1) > \frac{3}{4}.

\displaystyle P(X > -1) < 1.


Zmienna losowa \displaystyle X ma rozkład jednostajny na odcinku \displaystyle (-1,1). Wskaż gęstość rozkładu zmiennej losowej \displaystyle X^2:

\displaystyle \displaystyle f(x) = \left\{\begin{array} {rl}     0 & \hbox{dla } x \le -1 \\     \frac{1}{2}x^2 & \hbox{dla } -1 < x < 1 \\     0 & \hbox{dla } x \ge 1 \\ \end{array} .\right.

\displaystyle \displaystyle f(x) = \left\{\begin{array} {rl}     0 & \hbox{dla } x \le 0 \\     \frac{1}{3}x^2 & \hbox{dla }0 < x < 1 \\     0 & \hbox{dla } x \ge 1 \\ \end{array} .\right.

\displaystyle \displaystyle f(x) = \left\{\begin{array} {rl}     0 & \hbox{dla } x \le -1 \\     \frac{1}{\sqrt{|x|}} & \hbox{dla } -1 < x < 1 \\     0 & \hbox{dla } x \ge 1 \\ \end{array} .\right.

\displaystyle \displaystyle f(x) = \left\{\begin{array} {rl}     0 & \hbox{dla } x \le 0 \\     \frac{1}{2\sqrt{x}} & \hbox{dla } 0 < x < 1 \\     0 & \hbox{dla } x \ge 1 \\ \end{array} .\right.


Wyprodukowano dwie kostki do gry w ten sposób, że "szóstka" wypada z prawdopodobieństwem \displaystyle 0.1, natomiast pozostałe ścianki wypadają z jednakowym prawdopodobieństwem każda. Niech \displaystyle X oraz \displaystyle Y oznaczają liczby oczek otrzymanych w rezultacie rzutu tymi kostkami. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

\displaystyle P(X > Y) = P(X < Y).

\displaystyle P(X = Y) = 0.172.

\displaystyle P(X > Y) = 0.414.

\displaystyle X oraz \displaystyle Y są zależnymi zmiennymi losowymi.


Czy z niezależności zmiennych losowych \displaystyle \xi oraz \displaystyle \eta wynika, że:

niezależne są zmienne losowe \displaystyle \xi + \eta oraz \displaystyle \xi - \eta?

niezależne są zmienne losowe \displaystyle 3\xi oraz \displaystyle - \eta?

niezależne są zmienne losowe \displaystyle \xi^2 oraz \displaystyle \eta^2?

niezależne są zmienne losowe \displaystyle \max (\xi,\eta) oraz \displaystyle \xi+\eta?