Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 4: Przestrzeń probabilistyczna II

From Studia Informatyczne

Dla dowolnych liczb naturalnych \displaystyle r i \displaystyle n takich, że \displaystyle 1\leq n\leq r, prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych występujących w schematach losowania \displaystyle n ze zbioru \displaystyle r-elementowego elementów, bez zwracania i ze zwracaniem:

są zawsze różne od siebie.

są zawsze sobie równe.

są zawsze mniejsze niż \displaystyle 1.

żadne z powyższych.


Niech \displaystyle K\subset \mathbb{R}^2 będzie danym kwadratem o boku \displaystyle 1 oraz niech \displaystyle (K,\Sigma, P) będzie przestrzenią probabilistyczną występującą w definicji 4.1. Wówczas:

\displaystyle P(A)=\mu(A) dla każdego \displaystyle A\in \Sigma (\displaystyle \mu oznacza dwuwymiarową miarę Lebesgue'a).

\displaystyle P(A)<\mu(A) dla pewnego \displaystyle A\in \Sigma.

\displaystyle P(O)=0, gdzie \displaystyle O jest okręgiem wpisanym w kwadrat \displaystyle K.

wnętrze kwadratu \displaystyle K jest zdarzeniem pewnym.


Spośród 3 kul niebieskich i 4 kul czarnych losujemy 3 kule. Wówczas prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej 2 kul niebieskich:

jest większe w przypadku losowania bez zwracania.

jest mniejsze, w przypadku losowania ze zwracaniem, niż prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie 2 kul czarnych.

jest w każdym przypadku mniejsze niż \displaystyle \displaystyle \frac{1}{2}.

jest większe, w przypadku losowania bez zwracania, niż prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej 3 kul czarnych.


Maciek jest zapalonym kinomanem, uwielbiającym jednocześnie pływanie. Codziennie wieczorem wychodzi z domu, udając się na najbliższy przystanek autobusowy, gdzie dociera między godziną \displaystyle 19^{00} a \displaystyle 20^{00} (każdy moment jest jednakowo prawdopodobny). Z przystanku tego odjeżdżają autobusy linii \displaystyle 109 i \displaystyle 110, wg następującego rozkładu:

\displaystyle 109\colon 19^{05}, 19^{30}, 19^{55},
\displaystyle 110\colon 19^{11}, 19^{36}, 20^{01}.

Autobusem nr \displaystyle 109 Maciek dojeżdża do swojego ulubionego kina, zaś autobusem nr \displaystyle 100 - do ulubionego basenu, przy czym zawsze wybiera ten, który nadjedzie jako pierwszy. Jeżeli \displaystyle A oznacza zdarzenie polegające na tym, że Maciek w danym dniu znajdzie się w kinie (w przeciwnym razie będzie pływać w basenie), to zakładając bezwzględną punktualność autobusów:

zdarzenia \displaystyle A i \displaystyle \Omega\setminus A zachodzą z jednakowym prawdopodobieństwem, ponieważ w interesującym nas okresie czasu odjeżdża tyle samo autobusów linii \displaystyle 109, co \displaystyle 110.

zdarzenie \displaystyle A jest mniej prawdopodobne niż zdarzenie przeciwne do \displaystyle A, ponieważ autobusy nr \displaystyle 109 odjeżdżają wcześniej, niż odpowiadające im autobusy nr \displaystyle 110.

\displaystyle \displaystyle P(A)>\frac{1}{2}.

\displaystyle P(A)<1-P(A).


Doświadczenie polega na rzucie monetą - rzucamy nią tak długo, aż wypadnie orzeł. Niech \displaystyle \omega_{i} oznacza zdarzenie, że za \displaystyle i-tym razem po raz pierwszy wypadł orzeł. Ocenić prawdziwość poniższych zdań.

\displaystyle \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} P(\omega_{n})=0.

\displaystyle P(\omega_{n})=P(\omega_{n+1}\cup\omega_{n+2}\cup \omega_{n+3}\cup \ldots) dla każdego \displaystyle n\geq 1.

\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^\infty P(\omega_{n})=1.

Zdarzenia \displaystyle \omega_i są jednakowo prawdopodobne.


Eksperyment polega na wykonaniu 10 rzutów symetryczną kostką do gry, a więc jego wynikiem jest 10 elementowy ciąg. Eksperyment ten można traktować jako:

losowanie liczby naturalnej ze zbioru \displaystyle \{1,\dots,10^6\}.

losowanie ze zwracaniem sześciu spośród dziesięciu elementów.

losowanie bez zwracania sześciu spośród dziesięciu elementów.

losowanie bez zwracania dziesięciu spośród sześciu elementów.