Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 3: Przestrzeń probabilistyczna I

From Studia Informatyczne

Niech \displaystyle (\Omega,\Sigma ,P) będzie dowolną przestrzenią probabilistyczną. Wówczas dla dowolnych zbiorów \displaystyle A,B\subset \Sigma takich, że \displaystyle A\subset B zachodzi:

\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)?

\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B) - P(A\cap B)?

\displaystyle P(A\cap B)<P(B).

\displaystyle P(A\setminus B)=0.


Które z poniższych rodzin stanowią \displaystyle \sigma-algebry w zbiorze liczb naturalnych \displaystyle \mathbb{N}?

\displaystyle \{\emptyset, 2\mathbb{N}, \mathbb{N}\setminus 2\mathbb{N}, \mathbb{N}\}, gdzie \displaystyle 2\mathbb{N} oznacza zbiór liczb naturalnych parzystych.

\displaystyle \{\emptyset, A_2, A_3, \mathbb{N}\}, gdzie \displaystyle A_n oznacza zbiór liczb naturalnych podzielnych przez \displaystyle n.

\displaystyle \displaystyle \bigcup_{n=10}^\infty{\cal P}(\{0,1,2,\ldots,n\}).

Rodzina co najmniej 10-elementowych podzbiorów \displaystyle \mathbb{N}.


Rzucono \displaystyle 100 razy monetą. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Orła wyrzucono co najmniej \displaystyle 50 razy.

Nie jest możliwe, że za każdym razem otrzymano reszkę.

Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie 2 orłów jest równe prawdopodobieństwu otrzymania dokładnie 98 reszek.

Zdarzenie polegające na wyrzuceniu co najmniej 10 orłów lub co najwyżej 99 reszek jest zdarzeniem pewnym.


Rozważmy dowolnie ustaloną miarę \displaystyle \mu, określoną na \displaystyle \sigma-algebrze zbiorów borelowskich w przestrzeni \displaystyle {\Bbb R}^2. Wówczas:

\displaystyle \mu jest miarą Lebesgue'a.

\displaystyle \mu({\Bbb R}^2)=1.

każde koło o promieniu 1 jest zbiorem \displaystyle \mu-mierzalnym.

jeżeli \displaystyle \mu((0,1) \times (0,1)) > 0, to \displaystyle \mu(A) > 0, gdzie \displaystyle A jest kołem o środku w początku układu współrzędnych i promieniu \displaystyle 2.


Trzy osoby wybierają spośród trzech różnych par rękawiczek po lewej i prawej rękawiczce. Prawdopodobieństwo tego, że żadna z nich nie dostała pary:

jest większe od prawdopodobieństwa tego, że wszyscy otrzymali sparowane rękawiczki.

jest równe dokładnie \displaystyle 0.33.

wynosi dokładnie \displaystyle \frac{2}{3}.

jest mniejsze niż \displaystyle \frac{1}{2}.


Które z poniższych zdań są prawdziwe?

Jeżeli w 100 kolejnych rzutach monetą za każdym razem otrzymano orła, to w następnym rzucie prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki jest większe niż prawdopodobieństwo wyrzucenia orła.

W każdej przestrzeni probabilistycznej \displaystyle (\Omega,\Sigma ,P) znajdziemy niepusty zbiór \displaystyle A taki, że \displaystyle P(A)=0.

Każda nieskończona przestrzeń probabilistyczna zawiera niepuste zdarzenie o zerowym prawdopodobieństwie.

Wśród 400 losowo wybranych osób znajdują się dwie, które obchodzą urodziny w tym samym dniu.