Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 12: Metoda największej wiarygodności

From Studia Informatyczne

Rozważmy funkcję \displaystyle f\colon {\Bbb R}\longrightarrow {\Bbb R}, określoną wzorem:

\displaystyle f(x) =\left\{ \begin{array} {rl} -x^2\ln{|x|}, &  x \neq 0\\ 0, & x=0. \end{array}  \right.

Wówczas:

nie istnieje wartość największa funkcji \displaystyle f.

funkcja \displaystyle f przyjmuje wartość największą w parzystej liczbie punktów.

wartość największa funkcji \displaystyle f jest równa \displaystyle 0.

wartość największa funkcji \displaystyle f jest liczbą niewymierną.


Załóżmy, że próbka prosta \displaystyle X_1,\ldots,X_n pochodzi z rozkładu ciągłego

o gęstości:
\displaystyle f(x)=\alpha^2xe^{-\alpha x}I_{[0,\infty)}(x),

gdzie \displaystyle I_{[0,\infty)} oznacza funkcję charakterystyczną przedziału \displaystyle [0,\infty), oraz że \displaystyle T(X_1,\ldots,X_n) jest estymatorem największej wiarygodności parametru \displaystyle \alpha. Wtedy:

\displaystyle S(X_1,\ldots,X_n) = \frac{2\sum_{i=1}^n X_i}{2n-1} jest w tym rozkładzie estymatorem największej wiarygodności wartości oczekiwanej.

\displaystyle \frac{nT}{n+1} jest estymatorem zgodnym parametru \displaystyle \alpha.

\displaystyle \displaystyle T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{2n}{\sum_{i=1}^n X_i}.

\displaystyle \displaystyle T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{2n+1}{\sum_{i=1}^n X_i}.


Załóżmy, że prawdopodobieństwo zachorowania na pewną chorobę jest wprost proporcjonalne do wieku, ze współczynnikiem proporcjonalności \displaystyle \theta>0. Zbadano 20-elementowe próbki ludności w różnym wieku, otrzymując następujące wyniki:

\displaystyle \begin{array} {r|c|c|c|c|} Wiek & 10 & 30 & 80\\ \hline Liczba \quad chorych & 1 & 5 & 9\\ \hline \end{array}


Jeżeli \displaystyle \hat{\theta} oznacza wyestymowaną, na podstawie powyższych danych, wartość nieznanego parametru \displaystyle \theta, przy użyciu metody największej wiarygodności, to:

\displaystyle \theta>\frac{1}{80}.

\displaystyle \theta=0.01.

\displaystyle \theta\in (0.01,0.0125).

żadne z powyższych.


Estymatorem największej wiarygodności parametru\linebreak \displaystyle \alpha<0 w rozkładzie jednostajnym na odcinku \displaystyle [\alpha,0] jest:

\displaystyle \max\{X_1,\ldots,X_n\}.

\displaystyle \frac{n+1}{n}\min\{X_1,\ldots,X_n\}.

\displaystyle 2\bar{X}.

\displaystyle \min\{X_1,\ldots,X_n\}.


Czterech koszykarzy amatorów ćwiczyło rzuty "za 3 punkty". Pierwszy z nich trafił za drugim razem, drugi -- za trzecim, trzeci -- za czwartym, zaś czwarty -- za pierwszym. Zakładając dla wszystkich graczy jednakową celność \displaystyle p, metodą największej wiarygodności wyznaczono estymator \displaystyle \hat{p} nieznanej wartości \displaystyle p. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

\displaystyle \hat{p}<0.5.

\displaystyle \hat{p}<0.4.

\displaystyle \hat{p}=0.4.

\displaystyle \hat{p}>\frac{2}{5}.


W celu oszacowania wartości przeciętnej \displaystyle \hat{m} czasu bezawaryjnej pracy nowego systemu operacyjnego NIWUX 2006, przeznaczonego dla komputerów osobistych klasy PC, zainstalowano ten system na 10 losowo wybranych komputerach, a następnie (dla każdego z nich) zmierzono czas od momentu uruchomienia do momentu pierwszego "zawieszenia" systemu, otrzymując następujące wyniki (w godzinach):

\displaystyle 2.5,2,2.5,1.5,3.5,4,4.5,2,3,3.

Jeżeli założymy, że czas bezawaryjnej pracy systemu NIWUX 2006 ma rozkład wykładniczy z parametrem \displaystyle \lambda, to, korzystając z metody największej wiarogodności, otrzymujemy:

\displaystyle \hat{m}=2.9.

\displaystyle \displaystyle \hat{\lambda}=\frac{10}{29}, gdzie \displaystyle \hat{\lambda} jest oceną parametru \displaystyle \lambda.

\displaystyle \hat{m}=\hat{\lambda}, gdzie \displaystyle \hat{\lambda} jest takie jak wyżej.

\displaystyle \displaystyle \hat{\lambda}\approx 0.35, gdzie \displaystyle \hat{\lambda} jest takie jak wyżej.