Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 11: Wnioskowanie statystyczne

From Studia Informatyczne

Rozważmy dwa następujące estymatory wartości oczekiwanej w rozkładzie dwupunktowym \displaystyle (0,1,p):
\displaystyle S(X_1,\ldots,X_n)=\frac{n+1}{n}\bar{X} \;\; oraz \displaystyle  \;\; T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{X_1+X_n}{2}.

Wówczas:

\displaystyle S jest estymatorem zgodnym, zaś \displaystyle T-- asymptotycznie nieobciążonym.

\displaystyle S nie jest ani estymatorem zgodnym, ani estymatorem nieobciążonym.

\displaystyle S jest estymatorem zgodnym, zaś \displaystyle T-- obciążonym.

\displaystyle T jest estymatorem zgodnym i nieobciążonym.


Z poniższych własności wybierz te, które posiada następujący estymator parametru \displaystyle \alpha w rozkładzie jednostajnym na odcinku \displaystyle (0,\alpha):

\displaystyle T(X_1,\ldots,X_n)=(n+1)\min\{X_1,\ldots,X_n\}.

\displaystyle T jest obciążony.

\displaystyle T jest asymptotycznie nieobciążony.

\displaystyle T jest obciążony i asymptotycznie nieobciążony.

\displaystyle T jest nieobciążony.


Przeprowadzono \displaystyle n prób Bernoulliego \displaystyle X_1, \dots, X_n , z jednakowym prawdopodobieństwem sukcesu \displaystyle p każda. Co jest dobrym przybliżeniem parametru \displaystyle p?

Liczba sukcesów podzielona przez liczbę "porażek".

\displaystyle \frac{k}{n}, gdzie \displaystyle k oznacza liczbę sukcesów.

\displaystyle \frac{n-k}{n}, gdzie \displaystyle k oznacza liczbę sukcesów.

\displaystyle \displaystyle \sum \frac{X_i}{n}.


Jeżeli estymator \displaystyle S(X_1,\ldots,X_n) jest estymatorem zgodnym parametru \displaystyle \theta, to:

\displaystyle \displaystyle S(X_1,\ldots,X_n)\stackrel{s}{\longrightarrow}\theta (symbol \displaystyle \stackrel{s}{\longrightarrow} został wprowadzony w uwadze 7.25).

\displaystyle \displaystyle P\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\longrightarrow \infty}\frac{S(X_1,\ldots,X_n)}{n} = \theta\right\}\right) =1.

\displaystyle \displaystyle P\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\longrightarrow \infty}S(X_1,\ldots,X_n) = \theta\right\}\right) =1.

\displaystyle \displaystyle P\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\longrightarrow \infty}S(X_1,\ldots,X_n) = 0\right\}\right) =1.


Próbka prosta:

\displaystyle 0,2,1,2,5,0,3,4,4,2

pochodzi z rozkładu Poissona z parametrem \displaystyle \lambda>0. Które z poniższych liczb można uznać za dobre przybliżenia parametru \displaystyle \lambda?

\displaystyle 3.0.

\displaystyle 2.3.

\displaystyle 3.1.

\displaystyle 2.4.


Wykonano 30 serii rzutów kostką do gry, przy czym każda seria kończyła się w momencie wyrzucenia pierwszej "szóstki", otrzymując następuje rezultaty (długości poszczególnych serii):

\displaystyle 2,9,3,8,4,3,5,7,7,8,10,4,12,4,5,6,17,2,9,4,3,2,5,2,1,5,5,6,8,14.

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Jest bardzo prawdopodobne, iż użyto "fałszywej" kostki.

Nie ma podstaw do stwierdzenia, że użyta kostka była "sfałszowana".

Na podstawie powyższych danych można wnioskować, iż prawdopodobieństwo wyrzucenia "szóstki" (za pomocą tej kostki) jest w przybliżeniu równe 0.5.

Jeżeli kostka była "sprawiedliwa", to prawdopodobieństwo otrzymania powyższego wyniku jest mniejsze niż 1%.