Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 10: Łańcuchy Markowa

From Studia Informatyczne

W przykładzie 10.3 przestrzenią stanów jest:

zbiór liczb całkowitych.

zbiór liczb rzeczywistych.

zbiór liczb naturalnych.

zbiór \displaystyle \{-1,0,1\}.


Niech \displaystyle \xi_1,\xi_2, \xi_3, \dots oznaczają liczbę oczek uzyskanych w trakcie kolejnych rzutów kostką symetryczną.

Określmy:
\displaystyle X_0 = 0 oraz \displaystyle   X_{i} = X_{i-1} + \xi_i dla \displaystyle   i = 1,2,3, \dots.

Wtedy ciąg zmiennych losowych \displaystyle \{X_i\} jest łańcuchem Markowa, w którym:

przestrzeń stanów \displaystyle E jest zbiorem liczb naturalnych \displaystyle 0,1,2, \dots

\displaystyle \mathbf{p}(k,k) = 0 oraz \displaystyle \mathbf{p}(k,k+1) = \mathbf{p}(k,k+6) dla każdego \displaystyle k \in E.

każde dwa stany się komunikują.

suma elementów w każdym wierszu macierzy przejścia \displaystyle \mathbf{P} jest równa 1.


Dany jest łańcuch Markowa o macierzy przejścia:

\displaystyle \mathbf{P} = \left[ \begin{array} {cc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 \end{array}  \right].

Wtedy:

łańcuch ten jest powracający.

łańcuch ten jest nieredukowalny.

łańcuch ten jest okresowy.

łańcuch ten jest ergodyczny, a rozkładem stacjonarnym jest wektor o współrzędnych \displaystyle \frac{2}{3} i \displaystyle \frac{1}{3}.


Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Jeżeli ciąg \displaystyle X_n jest łańcuchem Markowa na przestrzeni stanów \displaystyle E \subset {\Bbb R}, to także ciąg \displaystyle X_n^2 jest łańcuchem Markowa na przestrzeni stanów \displaystyle E.

Jeżeli przestrzeń stanów jest skończona, to łańcuch Markowa jest nieredukowalny.

Każdy łańcuch Markowa na skończonej przestrzeni stanów jest albo okresowy, albo ergodyczny.

Jeżeli wszystkie wyrazy macierzy przejścia \displaystyle \mathbf{P} pewnego łańcucha Markowa są dodatnie, to łańcuch ten jest nieredukowalny.


Niech \displaystyle X_n będzie łańcuchem Markowa określonym w przykładzie Uzupelnic markov10| dla \displaystyle k = 3. Wtedy:

łańcuch \displaystyle X_n ma skończony zbiór stanów.

łańcuch \displaystyle X_n jest nieredukowalny.

łańcuch \displaystyle X_n jest powracający.

łańcuch \displaystyle X_n jest okresowy.


Niech \displaystyle X_n, \displaystyle n = 0,1,2,3, \dots, będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie \displaystyle Q. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Ciąg \displaystyle X_n jest łańcuchem Markowa o macierzy przejścia, która ma na przekątnej same jedynki.

Jeżeli \displaystyle Q jest rozkładem dyskretnym, to ciąg \displaystyle X_n jest łańcuchem Markowa, a wszystkie wiersze macierzy przejścia są sobie równe.

Jeżeli \displaystyle Q jest rozkładem dyskretnym skoncentrowanym na zbiorze skończonym, to ciąg \displaystyle X_n jest łańcuchem Markowa, a wszystkie kolumny macierzy przejścia są sobie równe.

Ciąg \displaystyle X_n nie jest łańcuchem Markowa (gdyż zmienne losowe są niezależne).