Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Ćwiczenia 6: Rozkłady prawdopodobieństwa i zmienne losowe

From Studia Informatyczne

Ćwiczenia

Ćwiczenie 6.1

Rozpatrujemy eksperyment polegający na rzucie dwiema symetrycznymi kostkami, a interesuje nas ta większa spośród liczb oczek uzyskanych na obu z kostkach.


Wyróżnijmy przestrzeń probabilistyczną \displaystyle (\Omega,\Sigma ,P), gdzie:


\displaystyle \Omega = \{(i,j): i,j = 1,\dots, 6\}


oraz:


\displaystyle \Sigma =\sigma(A_1,\dots, A_6)


(to znaczy, że \displaystyle \Sigma jest najmniejszą \displaystyle \sigma-algebrą zawierającą zbiory \displaystyle A_1,\ldots,A_n), zaś:


\displaystyle A_k = \{(i,j): \max(i,j) = k\}


(\displaystyle P możemy zdefiniować w dowolny sposób). Określmy następujące trzy funkcje:


\displaystyle \xi_1(i,j) = \max(i,j),


\displaystyle \xi_2(i,j) = \left\{ \begin{array} {rl} 1, &  \textrm{gdy} \displaystyle   i > 3  \textrm{lub} \displaystyle   j > 3\\ 0, &  \textrm{w przeciwnym wypadku,} \displaystyle   \end{array}  \right.


\displaystyle \xi_3(i,j) = i+j.


Łatwo sprawdzić, że dwie pierwsze funkcje są zmiennymi losowymi na \displaystyle (\Omega,\Sigma ,P) i jest to zgodne z naszą zapowiedzią, że zmienne losowe opisują zdarzenia "ciekawe". Rzeczywiście, zmienna losowa \displaystyle \xi_1 jest po prostu interesującą nas w danej chwili wielkością, zaś zmienna \displaystyle \xi_2 wskazuje na to, czy ta wielkość jest lub nie jest \displaystyle >3. Natomiast funkcja \displaystyle \xi_3 nie jest zmienną losową na tej przestrzeni, gdyż na przykład zbiór:


\displaystyle  B=\xi_3^{-1}((-\infty,3])  = \{(1,1),(1,2),(2,1)\}


nie może być przedstawiony za pomocą zbiorów \displaystyle A_i, więc nie jest zdarzeniem (to znaczy \displaystyle B\notin \Sigma). Jest to zrozumiałe w tym sensie, że informacja o maksymalnej liczbie oczek nie określa jednoznacznie ich sumy. Oczywiście, wszystkie trzy funkcje są zmiennymi losowymi względem \displaystyle \sigma-algebry \displaystyle {\cal P}(\Omega).

Ćwiczenie 6.2

Nawiązując do ćwiczenia 6.1, policzymy rozkład zmiennej \displaystyle \xi_2 (teraz już zakładamy, że \displaystyle P jest miarą określoną jak w schemacie klasycznym).

Otrzymujemy:


\displaystyle P_{\xi_2}(x) = P(\xi_2^{-1}(x)) = 0\;\; dla \displaystyle  \;\; x\notin \{0,1\},


\displaystyle P_{\xi_2}(0) = P(A_1\cup  A_2\cup A_3) = \frac{9}{36}=\frac{1}{4}


oraz


\displaystyle P_{\xi_2}(1) = P(A_4\cup A_5\cup A_6) = \frac{27}{36}=\frac{3}{4}.


Ćwiczenie 6.3

Rozpatrzymy dwie sytuacje, w których zmienne losowe \displaystyle \xi oraz \displaystyle \eta mają takie same rozkłady, a mimo to ich zestawienia w każdym przypadku mają rozkłady istotnie różne.

W obu poniższych przypadkach zajmujemy się schematem klasycznym.

Najpierw założymy, że:


\displaystyle \Omega  = \{1,\dots,6\},


a zmienne losowe są zdefiniowane przez:


\displaystyle \xi(i)  =  \eta(i)  =  i.


Oczywiście, rozkłady tych zmiennych są sobie równe i można je w każdej chwili podać. Ciekawszy dla nas jest natomiast rozkład wektora losowego \displaystyle (\xi,\eta). Wprost z definicji widać, że jest on skupiony w sześciu punktach postaci \displaystyle (i,i), gdzie i =\displaystyle 1,\dots,6. Mianowicie:


\displaystyle P_{(\xi,\eta)}(i,i) = \frac{1}{6}.


Niech teraz:


\displaystyle \Omega = \{(i,j): i,j  =  1,\dots,6\},


oraz niech zmienne losowe będą określone następująco:


\displaystyle \xi(i,j) = i,\:  \eta(i,j)  =  j.


Oczywiście, tak jak w przypadku poprzednim, zmienne te mają takie same rozkłady. Jednak, jak łatwo się przekonać, rozkład ich zestawienia jest całkiem inny. Mianowicie:


\displaystyle P_{(\xi,\eta)}(i,j) = \frac{1}{36}\;\; dla \displaystyle  \;\;i,j = 1,\dots,6.


Zauważmy przy okazji, że w drugim przypadku zachodzi równość:


\displaystyle P_{(\xi,\eta)}(i,j) = P_\xi(i)P_\eta(j)\;\; dla wszystkich \displaystyle  \;\;  i,j,


co oznacza, że rozkład zestawienia jest iloczynem kartezjańskim rozkładów zmiennych składowych. Głębszym powodem tego jest to, że zmienne \displaystyle \xi oraz \displaystyle \eta są niezależne - co to oznacza, zostanie za chwilę formalnie zdefiniowane, jednak zakładając (chyba całkiem naturalnie), że wynik rzutu jedną kostką nie ma wpływu na wynik rzutu drugą kostką, czujemy, że nasze zmienne losowe "powinny" być niezależne.

Ćwiczenie 6.4

Wykażemy, że podczas rzutu dwiema kostkami suma oczek \displaystyle S i różnica oczek \displaystyle R nie są zmiennymi losowymi niezależnymi.

Wystarczy wskazać takie wartości przyjmowane przez te zmienne, dla których nie zachodzi wzór 6.5. Zauważmy, na przykład, że:


\displaystyle P(S = 12,R= 0) = \frac{1}{36},


gdyż powyższe zdarzenie oznacza wypadnięcie pary "szóstek", natomiast:


\displaystyle P(S = 12) = \frac{1}{36},\;\; P(R = 0) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6},


a więc:


\displaystyle P(S = 12)\cdot P(R = 0) = \frac{1}{216}.


Ćwiczenie 6.5

Niech \displaystyle \xi będzie zmienną losową o rozkładzie dyskretnym, przyjmującą wartości: \displaystyle -1,\,0,\,1,\,2,\,3, z prawdopodobieństwem \displaystyle 1\over 5 każda. Policzmy rozkład zmiennej losowej \displaystyle \xi^2.

Zmienna \displaystyle \xi^2 przyjmuje wartości:


\displaystyle 0,\,1,\,4,\,9


z prawdopodobieństwami, odpowiednio:


\displaystyle \frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{1}{5},\frac{1}{5}.


Ćwiczenie 6.6

Niech \displaystyle \xi będzie zmienną losową o rozkładzie ciągłym o gęstości \displaystyle f(x)  =  \frac{1}{2} I_{[-1,1]}. Wyznaczymy rozkład zmiennej losowej \displaystyle 1\over \xi, podając jej dystrybuantę \displaystyle G.

Musimy policzyć \displaystyle G(a) dla każdego \displaystyle a \in {\Bbb R}. Dla \displaystyle a < 0 mamy:


\displaystyle  G(a) = P\left(\frac{1}{\xi} \le a\right) = P\left(\frac{1}{\xi} \le a, \xi < 0\right) = P\left(\frac{1}{a}\le \xi < 0\right)


\displaystyle = \int_{1\over a}^0 f(x)\,dx = \left\{ \begin{array} {rl} \displaystyle -\frac{1}{2a} &  \textrm{dla} \displaystyle   a\le -1 \\[0.4cm] \displaystyle \frac{1}{2} &  \textrm{dla} \displaystyle    -1 < a\le 0. \end{array}  \right.


Jeszcze łatwiej można policzyć \displaystyle G(a) dla \displaystyle a > 0 - zauważmy, że przypadek \displaystyle a   =   0 jest najprostszy. Otrzymujemy ostatecznie:


\displaystyle G(a) = \left\{ \begin{array} {rl} \displaystyle \frac{-1}{2a} & \textrm{dla} \displaystyle   a \le -1 \\[0.3cm] \displaystyle \frac{1}{2} & \textrm{dla} \displaystyle   -1 < a \le 1 \\[0.2cm] \displaystyle 1 - \frac{1}{2a} &  \textrm{dla} \displaystyle   1 < a. \end{array}  \right.


Jest oczywiste, że dystrybuanta \displaystyle G jest różniczkowalna wszędzie z wyjątkiem trzech punktów, a to, zgodnie z uwagą 6.14, pozwala nam wyliczyć gęstość \displaystyle g. Mianowicie:


\displaystyle g(a) = G'(a) = \left\{ \begin{array} {rl} \displaystyle \frac{1}{2a^2} & \textrm{dla} \displaystyle   a \le -1, \\[0.3cm] \displaystyle 0 & \textrm{dla} \displaystyle   -1 < a \le 1, \\[0.2cm] \displaystyle \frac{1}{2a^2} & \textrm{dla} \displaystyle   1 < a. \end{array}  \right.


Ćwiczenie 6.7

Narysujemy dystrybuantę rozkładu jednostajnego na odcinku \displaystyle (0,2), o którym była mowa w przykładzie 6.8.

Oto właściwy rysunek:






Zadanie 6.1
Niech \displaystyle \xi oznacza liczbę orłów uzyskanych podczas rzutu trzema monetami. Wyznacz rozkład i dystrybuantę \displaystyle \xi.

Zadanie 6.2
W urnie jest jedna kula niebieska i dwie kule czarne. Losujemy kolejno: (a) bez zwracania, (b) ze zwracaniem, kule do momentu wylosowania niebieskiej kuli. Wyznacz rozkład liczby losowań oraz podaj wartość dystrybuanty tego rozkładu dla liczby 2.

Zadanie 6.3
Dobrać współczynnik \displaystyle a tak, aby funkcja:


\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array} {rl} 0 &  \textrm{dla} \displaystyle   x \notin (0,1)\\ ax(1-x) &  \textrm{dla} \displaystyle   x \in (0,1), \end{array}  \right.


była gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa. Znajdź dystrybuantę tego rozkładu.

Zadanie 6.4
Dla jakiej stałej \displaystyle C funkcja \displaystyle P\colon{\cal B}({\Bbb R}) \longrightarrow {\Bbb R} taka, że:


\displaystyle P(k) = {C \over k(k+1)}\;\; dla \displaystyle  \;\;k= 1,2,3,\dots,


może być funkcją prawdopodobieństwa dla pewnego rozkładu?

Zadanie 6.5
Dla jakiej liczby \displaystyle C funkcja:


\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array} {rl} 0 &  \textrm{dla} \displaystyle   x<1\\ {C\over x^4} &  \textrm{dla} \displaystyle    x \ge 1, \end{array}  \right.


jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa? Dla tak otrzymanej liczby \displaystyle C, oblicz \displaystyle P(\{x \in {\Bbb R}: {1 \over x} < a\}), gdzie \displaystyle a ustalone.

Zadanie 5.6
Dla rozkładu \displaystyle P na \displaystyle {{\Bbb R}}^2, określamy tak zwane rozkłady brzegowe \displaystyle P_1(A)  =  P(A\times  {\bf R}) oraz \displaystyle P_2(B) = P({\Bbb R}\times B), gdzie \displaystyle A i \displaystyle B są zbiorami borelowskimi. Czy prawdą jest, że \displaystyle P = P_1\times P_2?

Zadanie 6.7
Oblicz \displaystyle F(0), \displaystyle F(0.3) oraz \displaystyle F(3), gdzie \displaystyle F jest dystrybuantą określoną wzorem: \displaystyle F = \frac{1}{3} F_1  +  \frac{2}{3}  F_2, gdzie \displaystyle F_1 jest dystrybuantą rozkładu dyskretnego przyjmującego w punktach \displaystyle 0, \displaystyle 1, \displaystyle 2, \displaystyle 3 i \displaystyle 4 tę samą wartość równą \displaystyle \frac{1}{5}, zaś \displaystyle F_2 jest dystrybuantą rozkładu jednostajnego na odcinku \displaystyle (0,2). Naszkicuj wykres \displaystyle F. Czy \displaystyle F ma rozkład dyskretny, czy rozkład ciągły?

Wskazówka.

Skorzystaj ze wzoru nap rawdopodobieństwo całkowite.

Zadanie 6.8
Sformułuj odpowiednią definicję dystrybuanty tak, aby funkcja \displaystyle F(x) :=   P(-\infty,x) była dystrybuantą, o ile \displaystyle P jest rozkładem prawdopodobieństwa.

Zadanie 6.9
Niech \displaystyle \Omega będzie sumą parami rozłącznych zbiorów \displaystyle F_1, F_2,   \dots, F_k oraz niech \displaystyle \xi\colon \Omega \longrightarrow {\Bbb R} będzie funkcją. Rozważmy \displaystyle \sigma-algebrę \displaystyle \Sigma, utworzoną ze wszystkich możliwych sum zbiorów \displaystyle F_1, F_2,   \dots, F_k. Wykaż, że jeżeli \displaystyle \xi jest stała na każdym zbiorze \displaystyle F_i dla \displaystyle i =1, \dots, k, to \displaystyle \xi jest mierzalna względem \displaystyle \Sigma.

Zadanie 6.10
Dystrybuanta \displaystyle F zmiennej losowej \displaystyle \xi jest dana wzorem:


\displaystyle F(x) = \left\{ \begin{array} {rl} 0 &  \textrm{dla} \displaystyle   x<-1\\ & \\ {1\over 3} &  \textrm{dla} \displaystyle    -1\le x < 0\\ & \\ {1 \over 3}(x + 1) &  \textrm{dla} \displaystyle    0 \le x  < 1\\ & \\ 1  &  \textrm{dla} \displaystyle   1 \le x. \end{array}  \right.


Oblicz \displaystyle P(|\xi| > a) dla \displaystyle a = 0,\, {1\over 2},\, 1, \,2.

Zadanie 6.11
Z przedziału \displaystyle [1,10] losujemy liczbę naturalną \displaystyle a zgodnie ze schematem klasycznym, a następnie z przedziału \displaystyle [1,a] losujemy liczbę \displaystyle \xi, też według schematu klasycznego. Znaleźć rozkład zmiennej losowej \displaystyle \xi. Jaka jest w tym przypadku naturalna przestrzeń probabilistyczna?

Zadanie 6.12
Korzystając z definicji 6.22, wykaż wzór 6.5.

Zadanie 6.13
Niezależne zmienne losowe \displaystyle \xi oraz \displaystyle \eta mają rozkłady jednostajne na przedziale \displaystyle (0,1). Znajdź rozkłady zmiennych \displaystyle \min\,(\xi,\eta) oraz \displaystyle \max \,(\xi,\eta). Czy zmienne te są niezależne? Spróbuj odgadnąć odpowiedź przed formalnym sprawdzeniem.

Zadanie 6.14
Niech niezależne zmienne losowe \displaystyle \xi oraz \displaystyle \eta mają rozkłady dyskretne \displaystyle P(\xi = k) = p_k i \displaystyle   P(\eta  =  k)  = q_k, gdzie \displaystyle k = 0,1,2,3, \dots. Wykaż, że suma \displaystyle \xi  +  \eta ma rozkład:

\displaystyle P(\xi + \eta = k) = \sum_{i=0}^k p_iq_{k-i}\;\; dla \displaystyle  \;\;k  =  0,1,2,3, \dots      (6.6)

Zadanie 6.15
Wyprowadź wzór analogiczny do wzoru 6.6, w przypadku, gdy obie zmienne losowe przyjmują jedynie wartości \displaystyle 1,  \dots  ,  N, gdzie \displaystyle N jest ustaloną liczbą naturalną.

Zadanie 6.16
W urnie jest 5 niebieskich i 3 czarne kule. Niech \displaystyle T_n i \displaystyle T_c oznaczają numery losowań, w którym po raz pierwszy pojawi się, odpowiednio, niebieska lub czarna kula. Znajdź rozkład wektora losowego \displaystyle (T_n,\,T_c). Czy zmienne losowe \displaystyle T_n i \displaystyle T_c są niezależne? Rozważ dwa przypadki: gdy losujemy po jednej kuli ze zwracaniem oraz bez zwracania.