Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Ćwiczenia 5: Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność

From Studia Informatyczne

Ćwiczenia

Ćwiczenie 5.1

Długoletnie doświadczenia wskazują na to, że część pisemna pewnego egzaminu jest istotnie trudniejsza - \displaystyle 60\% zdających, od części ustnej - \displaystyle 95\% zdających. Aby zdać egzamin, trzeba pozytywnie zaliczyć obie części; obowiązuje przy tym zasada, że student, który nie zaliczył części pisemnej, nie jest dopuszczony do części ustnej. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że osoba, która nie zdała egzaminu, nie zaliczyła części pisemnej.

Warunkami są tutaj dwa zdarzenia \displaystyle Z_p oraz \displaystyle N_p, oznaczające odpowiednio zaliczenie oraz niezaliczenie części pisemnej. Zdarzenia te są oczywiście rozłączne, a ich alternatywa jest zdarzeniem pewnym. Treść zadania oznacza, że znamy ich prawdopodobieństwa, mianowicie:


\displaystyle P(Z_p)=   0.6\;\; oraz \displaystyle  \;\;P(N_p)    =    0.4.


Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe \displaystyle P(N_p|N), gdzie \displaystyle N oznacza niezdanie egzaminu. Znamy jednak prawdopodobieństwa warunkowe:


\displaystyle P(N|Z_p)  =  0.05\;\; oraz \displaystyle  \;\;P(N|N_p)=1.


Możemy więc kolejno wyliczyć:


\displaystyle  P(N) = P(N|Z_p)P(Z_p) + P(N|N_p)P(N_p) = 0.05\cdot 0.6  +  1\cdot 0.4 = 0.43,


a dalej interesujące nas prawdopodobieństwo:


\displaystyle  P(N_p|N)   =    \frac{P(N|N_p)P(N_p)}{P(N)}  = \frac{40}{43} \approx 0.93.

(Wynik ten może zwrócić uwagę studentów na konieczność lepszego przygotowywania się do części pisemnej. Jakkolwiek innym, prostszym rozwiązaniem mogłoby być po prostu zlikwidowanie tej niewygodnej części egzaminu.)


Uwaga 5.12

W definicji prawdopodobieństwa warunkowego zakładaliśmy, że prawdopodobieństwo warunku \displaystyle A jest dodatnie. Było to konieczne dla sensowności wzoru 5.1. Jednak są sytuacje, w których prawdopodobieństwo warunku wynosi 0, a mimo to prawdopodobieństwo warunkowe ma sens. Można tak (w pewnym sensie) uogólnić definicję prawdopodobieństwa warunkowego, aby objęła ona przypadki, w których prawdopodobieństwa warunków równają się zeru. I chociaż tego tutaj nie robimy, w kolejnym ćwiczeniu podajemy

przykład takiej sytuacji.

Ćwiczenie 5.2

Z odcinka \displaystyle (0,1) losujemy liczbę \displaystyle a, a następnie z odcinka \displaystyle (0,a) losujemy liczbę \displaystyle b. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że \displaystyle b < \frac{1}{3}, pod warunkiem, że \displaystyle a = \frac{1}{2}.

Intuicja podpowiada, że żądane prawdopodobieństwo wynosi:


\displaystyle \frac{1}{3} : \frac{1}{2} = \frac{2}{3}.


Jednak prawdopodobieństwo warunku \displaystyle a = {1\over 2} jest równe 0.



Ćwiczenie 5.3

Bezpieczeństwo windy zapewniają, działające niezależnie od siebie, dwie liny o znanych

niezawodnościach, odpowiednio \displaystyle 99\% i \displaystyle 95\%. Ile wynosi prawdopodobieństwo bezpiecznego przejazdu tą windą (to znaczy, że co najmniej jedna lina się nie zerwie)?

Niech \displaystyle A_1 oraz \displaystyle A_2 oznaczają zdarzenia polegające na tym, że odpowiednie liny nie ulegną zerwaniu. Wiemy więc, że \displaystyle P(A_1) = 0.99 i \displaystyle P(A_2)  = 0.95 oraz zakładamy, że zdarzenia \displaystyle A_1 i \displaystyle A_2 są niezależne - interesuje nas natomiast \displaystyle P(A_1   \cup   A_2). Zgodnie z twierdzeniem 3.2 (patrz własność 6) mamy:

\displaystyle  P(A_1 \cup A_2) = P(A_1)+ P(A_2) - P(A_1\cap A_2),


tak więc, korzystając z niezależności: \displaystyle P(A_1  \cap A_2) = P(A_1)P(A_2), otrzymujemy:


\displaystyle  P(A_1 \cup A_2) = 0.99 +  0.95  -  0.99 \cdot 0.95 = 0.9995.


Ćwiczenie 5.4

Powróćmy do ćwiczenia 5.1 - występują tam dwa etapy: część pisemna i część ustna, opisane przestrzeniami probabilistycznymi: \displaystyle (\Omega_i,\Sigma _i,P_i), i = 1,2. Zbiory zdarzeń dla etapu pierwszego oraz drugiego są określone następująco:


\displaystyle  \Omega_1 = \Omega_2=\{0, 1\},


natomiast miary probabilistyczne zadane są przez warunki:


\displaystyle  P_1(\{1\}) = 0.6,\;\; P_1(\{0\}) = 0.4, \;\; P_2(\{1\}) = 0.95, \;\; i \displaystyle  \;\; P_2(\{0\}) = 0.05.


Na iloczynie kartezjańskim \displaystyle \Omega =  \Omega_1 \times \Omega_2 określamy miarę \displaystyle P w następujący (naturalny) sposób:


\displaystyle  P(\{(1,1)\}) = 0.6\cdot 0.95 = 0.57, \;\; P(\{(1,0)\}) =  0.6  \cdot 0.05 = 0.03,


\displaystyle  P(\{(0,1)\}) = 0.4 \cdot 0 = 0 \;\; oraz \displaystyle  \;\; P(\{(0,0)\}) = 0.4 \cdot 1 = 0.4.


Wyraźnie widać, że \displaystyle P \neq  P_1  \times  P_2.

Zauważmy teraz, że zdarzenia określone w ćwiczeniu 5.1 są odpowiednio równe:


\displaystyle  Z_p = \{1\} \times \Omega_2, \;\; N_p = \{0\} \times \Omega_2 \;\; i \displaystyle  \;\; N = \{(1,0),(0,1),(0,0)\}.

Zadanie 5.1
Rozdano talię złożoną z 24 kart, pomiędzy graczy \displaystyle A, \displaystyle B, \displaystyle C i \displaystyle D. Niech \displaystyle X oznacza, że gracz \displaystyle A ma dokładnie 5 pików i niech \displaystyle Y oznacza, że gracz \displaystyle B ma cztery asy. Oblicz: \displaystyle P(X), \displaystyle P(Y), \displaystyle P(X) + P(Y), \displaystyle P(X\cup Y), \displaystyle P(X) P(Y), \displaystyle P(X\cap Y), \displaystyle P(X|Y) oraz \displaystyle P(Y|X).

Zadanie 5.2
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że rzucając losowo monetą orzeł po raz pierwszy wypadnie: (a) za trzecim razem, (b) nie wcześniej niż za szóstym razem, (b) nigdy nie wypadnie.

Zadanie 5.3
\displaystyle A powiedział, że \displaystyle B powiedział, że \displaystyle C skłamał. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że \displaystyle C istotnie skłamał, jeżeli każdy z tej trójki mówi prawdę w \displaystyle {2\over 3} przypadków.

Zadanie 5.4
Z urny zawierającej 4 niebieskie i 6 czarnych kul losujemy kolejno po jednej kuli.

  1. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzecim losowaniu kula będzie niebieska.
  2. Wiedząc, że w drugim losowaniu kula jest niebieska, oblicz prawdopodobieństwo tego, że w pierwszym losowaniu także była kula niebieska.
  3. Wiedząc, że w trzecim losowaniu kula jest niebieska, oblicz prawdopodobieństwo tego, że w pierwszym i drugim losowaniu były niebieskie kule.

Rozważ: (a) losowanie ze zwracaniem, (b) losowanie bez zwracania.

Zadanie 5.5
Z urny zawierającej 5 kul niebieskich i 5 kul czarnych wylosowano bez zwracania pięć kul, a następnie wylosowano jedną kulę w kolorze niebieskim. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wszystkie kule pozostałe w urnie są: (a) niebieskie, (b) czarne?

Uwaga. Są co najmniej dwa (istotnie różne) sposoby rozwiązywania tego zadania.

Zadanie 5.6
W schemacie klasycznym, opisującym rzut dwiema kostkami do gry, podać przykłady zdarzeń \displaystyle A oraz \displaystyle B (o ile istnieją) takich, że:

  1. \displaystyle A i \displaystyle B są niezależne,
  2. \displaystyle A i \displaystyle B są rozłączne,
  3. \displaystyle A i \displaystyle B są niezależne oraz rozłączne,
  4. \displaystyle A i \displaystyle B nie są sobie równe oraz \displaystyle P(A|B) = 1,
  5. \displaystyle P(A|B) = 0,
  6. \displaystyle P(A|B) = P(A),
  7. \displaystyle A i \displaystyle B są rozłączne oraz \displaystyle P(A|B) > 0.

Zadanie 5.7
Rzucamy trzema kostkami do gry. Czy następujące zdarzenia \displaystyle A i \displaystyle B są niezależne:

  1. \displaystyle A - suma oczek na kostkach jest większa niż 10, \displaystyle B - na jednej z kostek wypadła "jedynka",
  2. \displaystyle A - na pierwszej lub drugiej kostce wypadła "szóstka", \displaystyle B - na trzeciej kostce wypadła "jedynka",
  3. \displaystyle A - na wszystkich kostkach wypadła nieparzysta liczba oczek, \displaystyle B - na trzeciej kostce wypadła liczba oczek większa niż 3?

Oblicz \displaystyle P(A|B), \displaystyle P(B|A) oraz \displaystyle P(A \cup B).

Zadanie 5.8
Wiemy, że w jednej urnie są dwie kule czarne i cztery niebieskie, w drugiej - trzy czarne i trzy niebieskie. Nie wiemy jednak, jak rozpoznać odpowiednią urnę. Przekładamy losowo dwie kule z jednej urny do drugiej, a następnie przekładamy losowo dwie kule z urny drugiej do pierwszej. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w każdej urnie są teraz po trzy niebieskie i trzy czarne kule? (b) Oblicz to samo prawdopodobieństwo wiedząc, że co najmniej podczas jednego przekładania obie kule miały ten sam kolor.

Zadanie 5.9
Mąż i żona zawarli umowę zawierającą następujące warunki:

  1. jeżeli w pewnym dniu naczynia myje mąż, to o tym, kto myje naczynia w dniu następnym, decyduje rzut monetą,
  2. jeżeli w pewnym dniu naczynia myje żona, to w dniu następnym naczynia myje mąż,
  3. w pierwszym dniu umowy o tym, kto myje naczynia, decyduje rzut monetą. Oblicz: (a) prawdopodobieństwo tego, że w trzecim

dniu umowy naczynia myje mąż, (b) prawdopodobieństwo tego, że w trzech pierwszych dniach umowy naczynia mył mąż, o ile wiadomo, że mył on naczynia w dniu czwartym, (c) prawdopodobieństwo tego, że w pierwszym tygodniu umowy mąż i żona myli naczynia na przemian, (d) \displaystyle  \lim_{n\rightarrow \infty}p_n, gdzie \displaystyle p_n jest prawdopodobieństwem tego, że mąż myje naczynia w \displaystyle n-tym dniu umowy.

Zadanie 5.10
Podać (nietrywialny) przykład zdarzeń \displaystyle A, \displaystyle B i \displaystyle C, które są zależne (to znaczy, że nie są niezależne), ale \displaystyle P(A\cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C).

Zadanie 5.11
Przed konkursem ogłoszono listę 200 pytań z dziedziny \displaystyle D_1, 100 pytań z dziedziny \displaystyle D_2 oraz 100 pytań z dziedziny \displaystyle D_3. Umiemy odpowiedzieć na 150 pytań z dziedziny \displaystyle D_1, na wszystkie pytania z dziedziny \displaystyle D_2 oraz na 80 pytań z dziedziny \displaystyle D_3. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że podczas konkursu odpowiemy na co najmniej cztery spośród pięciu wylosowanych pytań?

Zadanie 5.12
Podać przykład zależnych zdarzeń \displaystyle A, \displaystyle B i \displaystyle C, z których każde dwa są niezależne.