Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Ćwiczenia 4: Przestrzeń probabilistyczna II

From Studia Informatyczne

Ćwiczenia

Ćwiczenie 4.1

Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że na roku liczącym 100 studentów znajdziemy dwie osoby obchodzące urodziny tego samego dnia?

Tutaj zdarzeniem elementarnym jest 100-elementowy ciąg o elementach będących kolejnymi dniami roku. Przyjmując upraszczające założenia, że rok ma 365 dni i że we wszystkich dniach roku rodzi się mniej więcej tyle samo ludzi mamy do czynienia z zagadnieniem równoważnym losowaniu ze zwracaniem - 100 razy losujemy datę. Mamy więc \displaystyle \#\Omega = 365^{100} (jest to naprawdę duża liczba). W tym zadaniu wygodniej będzie wyznaczyć zdarzenie przeciwne do interesującego nas zdarzenia, oznaczmy je przez \displaystyle A, a następnie skorzystać z własności 4 z twierdzenia 3.2. Zdarzenie \displaystyle A składa się ze zdarzeń elementarnych odpowiadających ciągom, których wszystkie wyrazy są różne. Ponieważ mając wybrany \displaystyle 100-elementowy zbiór, możemy z niego utworzyć \displaystyle 100! różnych ciągów, a z \displaystyle 365 elementów możemy utworzyć \displaystyle \left(^{365}_{100} \right) różnych zbiorów, więc \displaystyle \#A jest równa iloczynowi tych dwóch liczb. W takim razie:


\displaystyle  P(A)  =   \frac{100!\left(^{365}_{100}   \right)}{365^{100}},


natomiast interesujące nas prawdopodobieństwo wynosi \displaystyle 1 -  P(A). Używając programu Maple, wyliczamy:


\displaystyle P(A) \approx .3072489279\cdot10^{-6}\; oraz \displaystyle  \;1 - P(A) \approx .9999996928.


Warto także przyjrzeć się wynikom otrzymanym dla innych liczebności grupy. Bardzo pomocny okazuje się tu arkusz kalkulacyjny wbudowany w Maple:


Ćwiczenie 4.2

Niech doświadczenie polega na rzucie kostką (symetryczną) - rzucamy nią tak długo, aż wypadnie "6". Niech \displaystyle \omega_{i} oznacza zdarzenie, że za \displaystyle i-tym razem po raz pierwszy wypadła "6". Policzmy prawdopodobieństwo \displaystyle p_i tego zdarzenia. Mamy tu następny przykład losowania ze zwracaniem - \displaystyle i losowań ze zbioru \displaystyle 6-elementowego. Łatwo wyliczyć, że \displaystyle p_{i}=  ({5\over 6})^{i-1}\cdot {1\over 6} dla dowolnego \displaystyle i  = 1,2,3\ldots. Przyjmijmy zatem \displaystyle \Omega  =\{\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},\dots \} oraz \displaystyle \Sigma  ={\cal P}(\Omega). Dla dowolnego \displaystyle A\in \Sigma definiujemy:


\displaystyle P(A)  = \sum_{i: \omega_i  \in A}p_{i}.


Korzystając z tego, że \displaystyle \sum^{\infty}_{i=1}p_{i}=1, można sprawdzić, że \displaystyle (\Omega,\Sigma ,P) stanowi przestrzeń probabilistyczną.

Aby lepiej sobie wyobrazić opisaną powyżej sytuację, przeprowadźmy dziesięć doświadczeń polegających na rzucaniu kostką do momentu wypadnięcia "6". Oto wyniki:


\displaystyle 2, \,2, \,4, \,3, \,3, \,1, \,5, \,3, \,1, \,4, \,6;
\displaystyle 2, \,4, \,1, \,1, \,1, \,6;
\displaystyle 6;
\displaystyle 3, \,3, \,1, \,1, \,3, \,1, \,2, \,1, \,2, \,5, \,1, \,4, \,4, \, 3, \,1, \,6;
\displaystyle 5, \,2, \,1, \,6;
\displaystyle 1, \,2, \,5, \,6;
\displaystyle 3, \,1, \,5, \,2, \,5, \,4, \,6;
\displaystyle 2, \,6;
\displaystyle 2, \,3, \,4, \,6;
\displaystyle 2, \,1, \,1, \,1, \,1, \,4, \,1, \,1, \,6.


Ćwiczenie 4.3

Spośród 5 kul niebieskich, 3 kul czerwonych oraz 2 kul zielonych, wybrano bez zwracania 6 kul. Podaj kilka możliwych wyników tego losowania.

Następujące wyniki zostały wygenerowane przez program Maple:


\displaystyle [n, \,n, \,c, \,c, \,z, \,z],

\displaystyle [n, \,n, \,n, \,n, \,c, \,z],

\displaystyle [n, \,n, \,n, \,c, \,c, \,z],

\displaystyle [n, \,n, \,n, \,n, \,c, \,z],

\displaystyle [n, \,n, \,c, \,c, \,z, \,z],

\displaystyle [n, \,n, \,n, \,n, \,c, \,z],

\displaystyle [n, \,n, \,n, \,c, \,c, \,z].



Ćwiczenie 4.4

W nawiązaniu do poprzedniego zadania: jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród wylosowanych kul: (1) są dokładnie 3 kule niebieskie? (2) są 3 kule niebieskie, 2 kule czerwone (a więc 1 kula zielona)?

Oto odpowiedź na pierwsze pytanie: \displaystyle \displaystyle \frac{\left(\begin{array} {@{}c@{}}5\\3\end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {@{}c@{}}5\\3\end{array} \right)}{ \left(\begin{array} {@{}c@{}}10\\6\end{array} \right)} = \frac{10}{21}.

A oto odpowiedź na drugie pytanie: \displaystyle \displaystyle \frac{\left(\begin{array} {@{}c@{}}5\\3\end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {@{}c@{}}3\\2\end{array} \right) \cdot \left(\begin{array} {@{}c@{}}2\\1\end{array} \right)}{\left(\begin{array} {@{}c@{}}10\\6\end{array} \right)} = \frac {2}{7}.

Ćwiczenie 4.5

Rozwiąż zadanie poprzednie, zakładając, że losujemy kule ze zwracaniem.

Odpowiedź na pierwsze pytanie: \displaystyle \displaystyle \frac{\left(\begin{array} {@{}c@{}}6\\3\end{array} \right)\cdot 5^3 \cdot 5^3}{10^6} = \frac {5}{16}.

Odpowiedź na drugie pytanie: \displaystyle \displaystyle \frac{\left(\begin{array} {@{}c@{}}6\\3\end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {@{}c@{}}3\\2\end{array} \right) \cdot \left(\begin{array} {@{}c@{}}1\\1\end{array} \right)\cdot 5^3 \cdot 3^2\cdot 2^1}{10^6} = \frac {27}{200}.




Zadanie 4.1

W stawie pływa nieznana liczba ryb, w tym 20 ryb jest oznaczonych. Podczas odłowu \displaystyle 30 ryb znaleziono \displaystyle 5 znaczonych. Oszacuj liczbę ryb w stawie, zakładając, że jest to taka liczba \displaystyle N, dla której nasz wynik jest najbardziej prawdopodobny.

Komentarz. Otrzymana wielkość \displaystyle N służy jako przybliżenie prawdziwej liczby ryb w stawie. Obliczanie przybliżonych wielkości w powyższy sposób nazywa się estymacją metodą największej wiarygodności, a uzyskana wielkość - estymatorem największej wiarygodności.

Zadanie 4.2
Skonstruować przestrzeń probabilistyczną, opisującą następujący eksperyment. Z urny zawierającej \displaystyle n czarnych i \displaystyle m niebieskich kul losujemy kolejno \displaystyle k kul: (a) bez zwracania, (b) ze zwracaniem; interesuje nas liczba wyciągniętych niebieskich kul.

Zadanie 4.3
Wylosowano dwie liczby \displaystyle a i \displaystyle b z odcinka \displaystyle (0,1). Oblicz prawdopodobieństwo tego, że odcinek o końcach \displaystyle a, \displaystyle b jest dłuższy: (a) od odcinka \displaystyle (0,\frac{1}{2}), (b) od odcinka o lewym końcu równym zeru.

Zadanie 4.4
Wylosowano liczby \displaystyle a, \displaystyle b i \displaystyle c z odcinka \displaystyle (0,1). Oblicz prawdopodobieństwo tego, że: (a) od \displaystyle a+b+c < 1, (b) z odcinków o długościach \displaystyle a, \displaystyle b i \displaystyle c można zbudować trójkąt.

Zadanie 4.5
Z urny zawierającej 5 kul niebieskich, 3 kule czarne oraz 2 kule zielone losujemy 4 kule. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że: (a) otrzymamy 2 kule niebieskie, 1 kulę czarną i 1 kulę zieloną, (b) otrzymane kule nie będą czerwone, (c) otrzymamy kule tylko dwóch kolorów, (d) otrzymamy kule w trzech kolorach.

W każdym przypadku rozważ zarówno losowanie ze zwracaniem, jak i losowanie bez zwracania.