Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Ćwiczenia 3: Przestrzeń probabilistyczna I

From Studia Informatyczne

Ćwiczenia





Ćwiczenie 3.1

Z pudła, w którym jest pięć par butów, dziecko wyciąga dwa buty. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że są one z jednej pary.

Zdarzeniem elementarnym jest tutaj każdy 2-elementowy podzbiór zbioru 10-elementowego. Tak więc zbiór \displaystyle \Omega ma \displaystyle \left(\begin{array} {@{}c@{}}10\\2\end{array} \right) elementów. Zdarzenie sprzyjające \displaystyle A składa się pięciu elementów, bo tyle jest par butów, a więc jego prawdopodobieństwo wynosi:


\displaystyle P(A) = \frac{5}{\left(\begin{array} {@{}c@{}}10\\2\end{array} \right)} = \frac{5}{45} = \frac{1}{9}.


Ćwiczenie 3.2

Skreślamy siedem spośród czterdziestu dziewięciu liczb. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że maszyna losująca (bez zwracania) sześć z 49 kulek z numerami od 1 do 49, wylosuje dokładnie cztery "nasze" liczby?

Zdarzeniem elementarnym jest tutaj każdy 6-elementowy podzbiór zbioru \displaystyle \{1,  \dots, 49\}. Natomiast zdarzenie \displaystyle A polegające na tym, że wśród sześciu liczb wylosowanych przez maszynę są dokładnie cztery "nasze" liczby, składa się z takich 6-elementowych podzbiorów zawartych w \displaystyle \{1, \dots,  49 \}, że cztery ich elementy są wybrane ze zbioru 7-elementowego - jest \displaystyle \left(^{7}_{4}  \right) takich możliwości, a dwa pozostałe ze zbioru o 42 (= 49 - 7) elementach - jest \displaystyle \left(^{42}_{\, 2} \right) takich możliwości. Ponieważ te dwa wybory są dokonywane niezależnie od siebie, to moc zbioru \displaystyle A jest iloczynem \displaystyle \left(^{7}_{4} \right) \left(^{42}_{\,  2} \right). W takim razie:


\displaystyle  P(A)  =  \frac{\#A}{\#\Omega}   =   \frac{ \left(^{7}_{4}   \right) \left(^{42}_{\, 2} \right)}{ \left(^{49}_{\, 6}\right)} = \frac {205}{95128} \approx 0.002154991170.


Proponujemy Wam policzenie podobnych wielkości dla różnych parametrów. Zauważycie wtedy, że trafienie, na przykład, dwójki jest dużo bardziej możliwe, bo wynosi około \displaystyle 0.1680893112.

Ćwiczenie 3.3

Jeżeli zbiór \displaystyle \Omega jest skończony, to oczywiście każda \displaystyle \sigma-algebra składająca się z podzbiorów \displaystyle \Omega jest skończona. Warto się zastanowić, jak wyglądają takie \displaystyle \sigma-algebry.

Największą z nich jest \displaystyle {\cal P}(\Omega), zbiór wszystkich podzbiorów zbioru \displaystyle \Omega, zaś najmniejszą - rodzina składająca się z dwóch elementów, to jest \displaystyle \{\emptyset, \Omega\}. Jeżeli \displaystyle \Omega ma więcej niż dwa elementy, to można wskazać także inne \displaystyle \sigma-algebry. Niech \displaystyle A, B \subset \Omega będą dwoma niepustymi, rozłącznymi zbiorami takimi, że \displaystyle A \cup B = \Omega. Z naszego założenia wynika, że przynajmniej jeden ze zbiorów (\displaystyle A lub \displaystyle B) posiada więcej niż jeden element. Niech, na przykład, \displaystyle A zawiera dwa różne elementy \displaystyle \omega_1 i \displaystyle \omega_2. Widać, że rodzina \displaystyle \{\emptyset , A, B, \Omega\} jest \displaystyle \sigma-algebrą. Jest ona różna od \displaystyle {\cal P}(\Omega), gdyż nie zawiera żadnego ze zbiorów \displaystyle \{\omega_1\} i \displaystyle \{\omega_2\}.

We wprowadzającym przykładzie o sumie oczek na kostkach, mieliśmy 11 zbiorów, \displaystyle S_2,... , \displaystyle S_{12}. Tutaj \displaystyle \sigma-algebrą \displaystyle \Sigma jest rodzina składająca się ze wszystkich możliwych sum utworzonych z tych zbiorów. Można utworzyć tyle takich sum, ile jest wszystkich podzbiorów zbioru 11 elementowego, czyli \displaystyle 2^{11}. Chociaż jest to duża liczba, to nasza \displaystyle \sigma-algebra jest o wiele mniejsza od \displaystyle {\cal P}(\Omega), która ma \displaystyle 2^{36} elementów.


Zadanie 3.1



Rzucono dwiema kostkami do gry. Niech \displaystyle A oznacza zdarzenie, że suma oczek jest większa niż 9, zaś \displaystyle B - zdarzenie, że na obu kostkach liczba oczek jest większa niż \displaystyle 3. Oblicz \displaystyle P(A), \displaystyle P(B), \displaystyle P(A) + P(B), \displaystyle P(A\cup B), \displaystyle P(A) P(B) oraz \displaystyle P(A\cap B).

Zadanie 3.2
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że skreślając 6 spośród 30 liczb trafimy: (a) dokładnie dwie, (b) co najmniej trzy, (c) co najwyżej cztery, (d) dokładnie pięć spośród pięciu liczb wylosowanych przez maszynę.

Zadanie 3.3
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w grupie 10 osobowej są dokładnie dwie osoby obchodzące urodziny w marcu (dla uproszczenia przyjmij założenie, że miesiąc = \displaystyle 1/12 roku.)

Zadanie 3.4
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w grupie 20 osobowej są dokładnie dwie osoby obchodzące urodziny w tym samym dniu.

Zadanie 3.5
Zbudować przestrzeń probabilistyczną opisującą eksperyment polegający na rzucie dwiema kostkami, przy czym znamy jedynie różnicę liczb oczek, jakie pojawiły się na obu kostkach. Uwzględnij następujące przypadki: (a) rozróżniamy kostki, (b) nie rozróżniamy kostek.

Zadanie 3.6
Wykaż własności 1 i 2 z twierdzenia 3.2, wykorzystując definicję przestrzeni probabilistycznej.

Wskazówka.

Ad 1. \displaystyle \Omega  =  \Omega \cup \sum_{i=1}^\infty \O. Ad 2. Mając sumę skończoną zbiorów, można ją traktować jako sumę nieskończoną, dopisując nieskończenie wiele razy zbiór pusty.

Zadanie 3.7
Wykaż własności 3, 4, 5 i 6 z twierdzenia 3.2.

Wskazówka.

\displaystyle B =  A  \cup  (B\setminus  A) oraz \displaystyle A  \cup  B  =  (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \cup (A \cap B).

Zadanie 3.8
Wykaż własność 7 z twierdzenia 3.2 (zacznij od najprostszego przypadku dwóch zbiorów).

Zadanie 3.9
Udowodnij, że \displaystyle P(\bigcap_{n=0}^\infty A_n)  = 1, o ile \displaystyle P(A_n) = 1 dla wszystkich \displaystyle n.

Zadanie 3.10
Do zdjęcia pozują cztery pary małżeńskie. Jaka jest szansa na to, że żadna żona nie stoi obok swojego męża, jeżeli wszyscy stoją w jednym rzędzie?

Zadanie 3.11
Przez pustynię jedzie karawana złożona z pięciu wielbłądów. Na ile sposobów można zmienić kolejność wielbłądów w karawanie tak, aby przed żadnym wielbłądem nie szedł ten, co poprzednio?

Zadanie 3.12
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że przy losowym wkładaniu \displaystyle n listów do zaadresowanych uprzednio \displaystyle n kopert: (a) każdy list trafi do właściwej koperty, (b) dokładnie \displaystyle r listów trafi do właściwych kopert (\displaystyle 0\le r < n), (c) przynajmniej jeden list trafi do właściwej koperty?

Zadanie 3.13
Wykaż, że jeżeli w przestrzeni probabilistycznej wszystkie zdarzenia elementarne mają takie samo prawdopodobieństwo dodatnie, to zbiór zdarzeń elementarnych jest skończony.