PS Moduł 6

From Studia Informatyczne

Enlarge
  • W zastosowaniach teorii sygnałów często porównujemy analizowanego sygnału z innym sygnałem, w szczególności ¬z swoją własną przesuniętą w czasie kopią. Podobieństwo sygnałów można charakteryzować za pomocą funkcji korelacyjnych.
  • Przypomnijmy, że na podstawie iloczynu skalarnego możemy wyznaczyć zarówno odległość dwóch sygnałów, jak i kąt między nimi w danej przestrzeni Hilberta.
  • Jeśli x(t)\in L^2\, , to także x_{\tau}(t)\in L^2.
  • Dla różnych wartości przesunięcia \tau\, całka definicyjna (6.1) przybiera różne wartości. W ten sposób otrzymujemy zależność funkcyjną od zmiennej \tau\, . Dla ustalonego \tau\, wartość funkcji autokorelacji jest polem pod wykresem iloczynu sygnału nieprzesuniętego i przesuniętego.
  • Definicja (6.1) została podana od razu dla sygnałów zespolonych. Przedrostek „auto” oznacza, że funkcja korelacyjna (6.1) opisuje korelację czasową między danym sygnałem a wersją przesuniętą tego samego sygnału. Podkreślamy to dodając do symbolu "\varphi"\, funkcji autokorelacji indeks sygnału "x"\,.

Enlarge
  • Parzystość funkcji autokorelacji w przypadku sygnałów rzeczywistych oznacza, że możemy ją wówczas wyznaczać jedynie dla dodatnich wartości zmiennej \tau\, (opóźnień sygnału).
  • Wzór (6.2) wynika z podstawienia \tau=0 we wzorze definiującym funkcję autokorelacji.
  • Funkcja autokorelacji przybiera maksymalną co do modułu wartość dla \tau=0 .
  • Brak korelacji czasowej sygnałów oznacza ich ortogonalność.
  • Funkcja autokorelacji sygnału x(t)\in L^2\, jest F\, - transformowalna w zwykłym sensie.
  • Funkcja autokorelacji jest niezmiennicza względem przesunięcia, tj. \varphi_x(\tau)=\varphi_{x_{t_0}}(\tau) dla dowolnego t_0\, , gdzie x_{t_0}(t)=x(t-t_0).



Enlarge
  • Przedstawione na rysunku funkcje autokorelacji można wyznaczyć wprost z definicji. Wszystkie funkcje mają jedyne maksimum w punkcie \tau=0.
  • Funkcja autokorelacji impulsu prostokątnego jest trójkątna. Sposób jej konstrukcji jest pokazany na rys. e.
  • Trójkątny kształt funkcji autokorelacji występuje również w przypadku ciągu impulsów prostokątnych i prostokątnego impulsu radiowego.



Enlarge
  • Słuszność pary transformat (6.3) można wykazać na podstawie twierdzenia Rayleigha dla klasy sygnałów L^2\, i twierdzenia o przesunięciu. Ponieważ F\, [x(t-\tau)]=X(\omega)e^{-j\omega \tau} , zatem:

\int_{-\infty}^{\infty} x(t)x^{*}(t-\tau)\, d\tau=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)X^{*}(\omega)e^{j\omega \tau}\, d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} |X(\omega)|^2e^{j\omega \tau}\, d\omega

  • Energię sygnału można obliczyć:
    • w dziedzinie czasu, jako całkę z kwadratu modułu sygnału,
    • w dziedzinie korelacyjnej, jako \varphi_x(0),
    • w dziedzinie częstotliwości, jako całkę z widma energii podzieloną przez 2\pi\,.

Enlarge
  • Widmo energii jest zawsze funkcją rzeczywistą parzystą i opisuje rozkład energii wzdłuż osi częstotliwości. Energię sygnału zawartą w przedziale pulsacji [\omega_1, \omega_2]\, można wyznaczyć, obliczając całkę

E_x(\omega_1, \omega_2)=\frac{1}{\pi}\int_{\omega_1}^{\omega_2} \Phi_x(\omega)\, d\omega (por. rys. a).

  • Funkcja autokorelacji idealnego sygnału dolnopasmowego x(t)=X_0 Sa\omega_0 t ma również kształt funkcji Sa\,. Wynika to z faktu, że zarówno widmo amplitudowe tego sygnału, jak i jego widmo energii są prostokątne.

Enlarge
  • Związki między sygnałem i jego charakterystykami w dziedzinie częstotliwości i dziedzinie korelacyjnej ilustruje prosty diagram. Strzałki podwójne oznaczają na nim związki wzajemnie jednoznaczne, tj. jednoznaczne przejścia od jednej do drugiej wielkości , natomiast strzałki pojedyncze oznaczają przejście tylko w jedną stronę.
  • Funkcja autokorelacji sygnału stanowi jedynie częściowy opis sygnału. Znając te funkcję możemy odtworzyć widmo amplitudowe sygnału, tracimy jednak informację o widmie fazowym.
  • Podana definicja efektywnego czasu korelacji ma sens dla przypadku sygnałów, których funkcja autokorelacji maleje monotonicznie. Dla sygnałów o funkcji autokorelacji dążącej do zera oscylacyjnie można wprowadzić inne miary czasu korelacji.
  • Zasada nieoznaczoności pozostaje w mocy bez względu na sposób definiowania efektywnego czasu korelacji i efektywnej szerokości widma.



Enlarge
  • Funkcje korelacji wzajemnej są określone dla dwóch różnych sygnałów (np. dla sygnału na wejściu i na wyjściu pewnego układu). Tak jak w przypadku funkcji autokorelacji, funkcje korelacji wzajemnej można traktować jako miary wzajemnego położenia sygnałów w odpowiedniej przestrzeni Hilberta dla różnych wartości przesunięcia jednego sygnału względem drugiego.
  • Pojęcie energii wzajemnej ma interesującą interpretację fizyczną. Jeśli x(t)\, i y(t)\, są sygnałami napięcia i odpowiednio prądu na zaciskach dwójnika elektrycznego, to wielkość \varphi_{xy}=E_{xy} jest energią pobraną przez ten dwójnik.
  • Dla ustalonego \tau\, wartość funkcji korelacji wzajemnej jest polem pod wykresem iloczynu sygnałów (por. rys. c i d).
  • W przeciwieństwie do funkcji autokorelacji, funkcje korelacji wzajemnej sygnałów rzeczywistych nie muszą być parzyste (por. rys. e).

Enlarge
  • Dla sygnałów rzeczywistych związek (6.4) przybiera postać \varphi_{xy}(\tau)=\varphi_{yx}(-\tau) , co oznacza, że taką samą wartość iloczynu skalarnego otrzymujemy przy przesunięciu sygnału y(t)\, w kierunku opóźnienia o czas \tau\, , co przy przesunięciu sygnału x(t)\, o ten sam czas w kierunku przyspieszenia.
  • Funkcje korelacji wzajemnej sygnałów o ograniczonej energii są F\, -transformowalne w zwykłym sensie.
  • Funkcje korelacji wzajemnej i widma energii wzajemnej tworzą pary transformat Fouriera.

Enlarge
  • Dla sygnałów o ograniczonej mocy funkcje korelacyjne definiujemy jako wielkości graniczne (dla odróżnienia oznaczamy je literą psi) .
  • Właściwości funkcji autokorelacji sygnałów o ograniczonej mocy są podobne jak w przypadku sygnałów o ograniczonej energii.
  • Wartość funkcji autokorelacji \psi_x(\tau)\, sygnału o ograniczonej mocy w punkcie \tau=0 jest rzeczywista i równa jego mocy.
  • Funkcja autokorelacji \psi_x(\tau)\, przybiera maksymalną co do modułu wartość dla \tau=0.
  • Brak korelacji czasowej sygnałów oznacza ich ortogonalność.
  • Funkcja autokorelacji sygnału o ograniczonej mocy jest F\, -transformowalna w sensie granicznym.
  • Funkcja autokorelacji \psi_x(\tau)\, jest niezmiennicza względem przesunięcia, tj. \psi_x(\tau)=\psi_{x_{t_0}}(\tau) dla dowolnego t_0\, .



Enlarge
  • Funkcja autokorelacji skoku jednostkowego 1(t)\, jest stała i równa 1/2\, .
  • Jeśli współczynnik wypełnienia T/T_0\, unipolarnej fali prostokątnej jest mniejszy bądź równy 1/2\, , jej funkcja autokorelacji jest ciągiem trójkątów o szerokości 2T\, powtarzanych z okresowym T_0\, (rys a). Jeśli T/T_0>1/2 , trójkąty te nakładają się na siebie i funkcja autokorelacji ma postać jak na rys b.
  • Funkcja autokorelacji sygnału harmonicznego jest funkcją kosinusoidalną o tym samym okresie co okres sygnału harmonicznego i nie zależy od jego fazy początkowej \varphi_0\,. Przykład ten świadczy dobitnie o tym, że funkcja autokorelacji nie zawiera informacji o fazie sygnału.

Enlarge
  • Definicja widma mocy \Psi_x(\omega)\, sygnału x(t)\, o ograniczonej mocy ma sens graniczny. Widmo to jest określone jako granica ciągu widm energii \Phi_T(\omega)\, sygnałów impulsowych x_T(t)\, będących centralnymi segmentami sygnału x(t)\, o długości T\, przy T\to \infty\, .
  • Funkcja autokorelacji \psi_x(\tau)\, i widmo mocy \Psi_x(\omega)\, sygnału x(t)\, o ograniczonej mocy tworzą parę transformat Fouriera w sensie granicznym.
  • Moc sygnału można obliczyć w dziedzinie częstotliwości jako całkę z widma mocy podzieloną przez 2\pi\,. Widmo mocy opisuje zatem rozkład mocy sygnału wzdłuż osi pulsacji (częstotliwości).
  • W przypadku sygnałów okresowych x(t)\, funkcja autokorelacji \psi_x(\tau)\, jest również okresowa, a więc rozwijalna w zespolony szereg Fouriera. Współczynnikami tego szeregu są kwadraty modułów |X_k|^2\, współczynników X_k\, zespolonego szeregu Fouriera sygnału x(t)\, . Widmo mocy sygnału okresowego jest zatem dystrybucyjne.

Enlarge
  • Definicje funkcji korelacji wzajemnej i mocy wzajemnej, a także widm mocy wzajemnej sygnałów o ograniczonej mocy są analogiczne do odpowiednich definicji funkcji korelacji wzajemnej, energii wzajemnej i widm energii wzajemnej sygnałów o ograniczonej energii. Podobne są też ich właściwości.
  • Jeśli sygnały x(t)\, i y(t)\, są rzeczywistymi sygnałami okresowymi prądu i napięcia na zaciskach pewnego dwójnika elektrycznego, to moc wzajemna \psi_{xy}(0)=P_{xy} ma sens mocy czynnej pobranej przez ten dwójnik.
  • Funkcje korelacji wzajemnej i widma mocy wzajemnej sygnałów o ograniczonej mocy tworzą pary transformat Fouriera w sensie granicznym.

Enlarge
  • Funkcje korelacyjne sygnałów dyskretnych o ograniczonej mocy są określone odpowiednimi iloczynami skalarnymi w przestrzeni l^2\, , a więc w ich definicjach zamiast całek występują sumy. Tak jak w przypadku sygnałów analogowych funkcje te są oznaczane literą \varphi\, , natomiast ich argument – literą m\, .
  • Właściwości funkcji autokorelacji sygnałów dyskretnych o ograniczonej energii są wiernymi odpowiednikami właściwości funkcji autokorelacji sygnałów analogowych o ograniczonej energii. W szczególności wartość funkcji autokorelacji w zerze jest równa energii sygnału.
  • Funkcje korelacyjne sygnałów należących do przestrzeni l^2\, są także elementami tej przestrzeni, a więc są F\, -transformowalne.

Enlarge
  • W przykładzie 6.7 zilustrowany został typowy sposób postępowania przy wyznaczaniu funkcji autokorelacji sygnału dyskretnego o skończonym czasie trwania.
  • W przypadku tej klasy sygnałów dla przesunięć m\, większych co do modułu od pewnej wartości korelacja czasowa znika i funkcja korelacja przybiera wartości zerowe.



Enlarge
  • W przykładzie 6.8 funkcję autokorelacji można wyznaczyć w postaci zamkniętej. W obliczeniach korzystamy ze wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego.
  • Im parametr a\, jest mniejszy, tym szybciej zanika korelacja między próbkami sygnału. Jeśli a\to 1\, , sygnał dąży do dyskretnego skoku jednostkowego 1[n]\, , a funkcja autokorelacji dąży do funkcji stałej równej 1/2\, dla każdego m\,. Aby to pokazać, trzeba jednak dokonać odpowiedniego przejścia granicznego.



Enlarge
  • Widmo energii sygnału dyskretnego jest zdefiniowane jako kwadrat jego widma amplitudowego. Widmo energii jest oczywiście funkcją okresową zmiennej \theta\, . Ponadto dla sygnałów rzeczywistych widmo energii jest rzeczywiste i parzyste.
  • Widmo energii sygnału dyskretnego jest transformatą Fouriera jego funkcji autokorelacji.
  • Energię sygnału x[n]\, można obliczyć jako pole pod wykresem widma energii za okres [-\pi, \pi]\, podzielone przez 2\pi\, (lub pole w przedziale [0, \pi]\, podzielone przez \pi\, ).

Enlarge
  • W przypadku dwóch różnych sygnałów dyskretnych ich właściwości korelacyjne charakteryzują funkcje korelacji wzajemnej. Definicje i właściwości tych funkcji są analogiczne jak w przypadku sygnałów analogowych.
  • Analogicznie do przypadku sygnałów analogowych definiuje się również widma energii wzajemnej sygnałów dyskretnych.

Enlarge
  • Funkcja autokorelacji sygnału dyskretnego o ograniczonej mocy jest definiowana w sensie granicznym. Funkcję tę oznaczamy taką samą literą \psi\, jak w przypadku sygnałów analogowych o ograniczonej mocy.
  • Właściwości funkcji autokorelacji sygnałów dyskretnych o ograniczonej mocy są analogiczne jak w przypadku sygnałów analogowych. W szczególności wartość funkcji autokorelacji w zerze jest równa mocy sygnału.
  • Funkcja autokorelacji dyskretnego sygnału harmonicznego jest dyskretną kosinusoidą i nie zależy od fazy początkowej sygnału. Jej wartość w punkcie m=0 jest równa mocy sygnału X_0^2/2\,.

Enlarge
  • Podobnie jak w przypadku sygnałów analogowych, widmo mocy sygnału dyskretnego x[n]\, o ograniczonej mocy jest zdefiniowane jako granica ciągu widm energii \Phi_N(e^{j\theta})\, środkowych segmentów tego sygnału o czasie trwania [-N, N]\, odniesionych do szerokości 2N+1\, tych segmentów przy N\to \infty\, .
  • W przypadku sygnałów N\, -okresowych ich funkcje autokorelacji są również N\, -okresowe. Współczynnikami \Psi(k)\, rozwinięcia funkcji autokorelacji \overline{\psi}_x [m]\, sygnału N\, -okresowego \overline{x}[n]\, w dyskretny szereg Fouriera są kwadraty |X(k)|^2\, modułów współczynników X(k)\, rozwinięcia w dyskretny szereg Fouriera sygnału \overline{x}[n]\,.
  • Moc sygnału N\, -okresowego jest sumą za okres N\, wartości \Psi(k)\, jego widma mocy.