PS Moduł 4

From Studia Informatyczne

Enlarge
  • Przypominamy, że sygnały dyskretne o skończonej energii należą do przestrzeni Hilberta l^2\, , w której iloczyn skalarny jest określony wzorem (x, y)_{l^2}=\sum_{-\infty}^{\infty} {x(nT_s)y^{*}(nT_s)} .
  • Celowo przyjmujemy na razie nieunormowaną skalę czasu.
  • Podobnie jak w przypadku sygnałów analogowych widmo sygnału dyskretnego jest w ogólnym przypadku ciągłą funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej \omega\, .
  • W teorii sygnałów dyskretnych argument widma jest oznaczany zwyczajowo przez e^{j\omega T_s}\, , a nie w sposób naturalny przez \omega\, .

Enlarge
  • Okresowość widm sygnałów dyskretnych jest ich podstawową cechą. Gdybyśmy widma te wyrazili w funkcji częstotliwości f=\omega/2\pi , ich okres byłby równy częstotliwości próbkowania f_s\, .
  • Jeśli widmo sygnału dyskretnego jest wyrażone w funkcji pulsacji unormowanej \theta=\omega/2\pi , jego okres jest równy 2\pi\, .
  • Widmo (4.2) można także zapisać w funkcji częstotliwości unormowanej \nu=\omega/{\omega_s}=f/f_s=\theta/2\pi . Jego okres jest wówczas równy 1\,.

Enlarge
  • Widmo impulsu Kroneckera jest stałe przedziale -\pi\le \theta \le \pi\, , a zarazem na całej osi \theta\, .
  • Korzystanie ze wzorów na sumę skończonego lub nieskończonego szeregu geometrycznego jest charakterystyczne dla obliczania widm wielu sygnałów dyskretnych.

Enlarge
  • Wykres widma amplitudowego dyskretnego impulsu prostokątnego został sporządzony dla N=6\, w przedziale [-3\pi, 3\pi]\, . Jeśli N\, rośnie, wysokość okresowo powtarzanych „listków” głównych widma rośnie, a ich szerokość maleje. Jednocześnie maleje poziom listków bocznych.
  • Zwiększając N\, do nieskończoności otrzymujemy w granicy dyskretny sygnał stały. Przejściu granicznemu towarzyszy wzrost wysokości listków głównych widma do nieskończoności i zanikanie listków bocznych do zera. W efekcie otrzymujemy dystrybucję grzebieniową w dziedzinie częstotliwości (rys. b)
  • Wzór (4.4) określa wartości kolejnych próbek sygnału dla n \epsilon \Box\, .

Enlarge
  • Twierdzenia dotyczące przekształcenia Fouriera sygnałów dyskretnych mają swoje ścisłe odpowiedniki w twierdzeniach dotyczących przekształcenia Fouriera sygnałów analogowych. Podobna też jest ich interpretacja.

Enlarge
  • Uogólnione twierdzenie Rayleigha wyraża równość iloczynów skalarnych w przestrzeni l^2\, sygnałów dyskretnych i przestrzeni {L^2}_{2\pi}\, ich okresowych widm.
  • Twierdzenie Parsevala wyraża równość norm w obu tych przestrzeniach.

Enlarge
  • Sygnały N\,-okresowe są szczególnym przypadkiem sygnałów dyskretnych. Powstają one np. w wyniku próbkowania okresowych sygnałów analogowych dokładnie N\, razy w okresie.
  • W celu podkreślenia N\,-okresowości sygnałów są one oznaczane z kreską u góry.
  • Sygnały bazowe \left \{ e^{j2\pi kn/N}: k=0,...N-1}\right \} w przestrzeni Hilberta {l^2}_N\, pełnią podobną rolę jak sygnały bazowe \left \{ e^{jk\omega_0 t}: k\epsilon \Box}\right \} w przestrzeni Hilberta {L^2}_{T_0}\, , T_0=2\pi/{\omega_0} . Zasadnicza różnica polega jednak na tym, że w przypadku przestrzeni {l^2}_N\, baza jest skończona.

Enlarge
  • W przeciwieństwie do widm nieokresowych sygnałów dyskretnych, które są funkcjami ciągłymi pulsacji unormowanej \theta\, , widma sygnałów N\, -okresowych są dyskretnymi funkcjami pulsacji unormowanej określonymi w punktach \theta_k=2\pi k/N (dlatego ich argument jest oznaczany przez k\, ). Zachowują one oczywiście ogólną cechę okresowości widm sygnałów dyskretnych, przy czym widmo sygnału N\, -okresowego jest również N\, -okresowe.
  • W praktyce liczbę N\, wybiera się z reguły jako parzystą.
  • Znając N\, wartości widma sygnału N\, -okresowego (a dla N\, parzystych N/2+1\, wartości) można ze wzoru (4.5) obliczyć jego próbki. Problem odwrotny, tj. sposób wyznaczania widma sygnału N\, -okresowego na podstawie jego próbek rozpatrzymy później.



Enlarge
  • W praktyce rzadko kiedy sygnał dyskretny jest opisany zwartą formułą analityczną. Jego widma nie można zatem wyznaczyć na podstawie wzoru (4.6) i musimy uciec się do numerycznych metod jego obliczania. Możliwość taką stwarza pojęcie dyskretnego przekształcenia Fouriera (DPF).
  • DPF jest nie tylko punktem wyjścia do opracowania odpowiednich metod numerycznych obliczania widma, ale także silnym narzędziem teoretycznym analizy, syntezy i przetwarzania sygnałów dyskretnych.
  • Milcząco zakładamy tu, że pozostałe próbki sygnału impulsowego są zerowe.
  • Liczbę punktów pulsacji unormowanej \theta\, , w których obliczamy dyskretne wartości widma sygnału sensownie jest wybrać równą liczbie N\, próbek sygnału.

Enlarge
  • Widmo dyskretne jest oczywiście funkcją okresową zmiennej k\, o okresie równym N\, .
  • Wykres dyskretnego widma amplitudowego impulsu prostokątnego sporządzono w środkowym jego okresie (-N/2, N/2]=(-4, 4] odpowiadającym przedziałowi (-\pi, \pi]\, na ciągłej skali zmiennej \theta\, . Jego próbki są oczywiście położone na krzywej ciągłej A(e^{j\theta})\, . Jak widać jednak tylko jedna, centralna próbka jest niezerowa. Tak więc w tym przypadku widmo dyskretne \left \{ X(k): k=0,...,N-1}\right \} bardzo niedokładnie oddaje charakter widma ciągłego X(e^{j\theta})\, . Stanowi to wadę DTF związaną z jej małą rozdzielczością.

Enlarge
  • {\mathfrak{F}^{-1}}_D\, -transformata wynika w istocie rzeczy z rozwiązania układu równań (4.7) względem niewiadomych x(n)\,, n=0,...,N-1\, przy założeniu znajomości próbek widmowych X(k)\,, k=0,...,N-1\, .
  • N\, -okresowość {\mathfrak{F}^{-1}}_D\, -transformaty wynika z N\, -okresowości widma dyskretnego X[k]\, . Sytuacja jest tu analogiczna do rozwinięcia nieokresowego impulsowego sygnału analogowego określonego w skończonym przedziale [0, T]\, w trygonometryczny szereg Fouriera, który jest zarazem szeregiem Fouriera okresowego przedłużenia tego sygnału z okresem T\, .

Enlarge
  • Z formalnego punktu widzenie DPF sygnału N\, -okresowego można traktować jako wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie przestrzeni Hilberta {l^2}_N\, ciągów N\, -okresowych w dziedzinie czas w przestrzeń Hilberta {l^2}_N\, ciągów N\, -okresowych w dziedzinie częstotliwości.
  • Istnieje zasadnicza różnica między DTF sygnału impulsowego x[n]\, a DTF jego przedłużenia okresowego \overline{x} [n]\, , mimo że są one określone tym samym wyrażeniem. Podkreślmy raz jeszcze, że widmo X(e^{j\theta})\, sygnału impulsowego jest funkcją zmiennej ciągłej \theta\, , a DTF tego sygnału określa jedynie wartości tego widma w dyskretnych punktach \theta_k=2\pi k/N\, . Natomiast DTF przedłużenia okresowego \overline{x} [n]\, sygnału x[n]\, określa dokładne widmo sygnału okresowego, które z natury rzeczy jest dyskretne.
  • DFT jest symetryczne (ze sprzężeniem) względem punktu N/2\, .

Enlarge
  • Jeśli sygnał jest rzeczywisty, to próbka widma X(0)\, jest rzeczywista. Jeśli sygnał jest rzeczywisty oraz N\, jest parzyste, to próbka X(n/2)\, jest rzeczywista.
  • W wyniku przesunięcia sygnału o m\, próbek, jego dyskretne widmo amplitudowe nie ulega zmianie, a widmo fazowe zmienia się o wartości -2\pi km/N\, . W wyniku mnożenia sygnału przez dyskretny sygnał harmoniczny o pulsacji unormowanej 2\pi m/N\, jego widmo ulega przesunięciu o m\, próbek.
  • Można łatwo sprawdzić, że widmo rozpatrywanego w przykładzie sygnału okresowego spełnia właściwości 2-4 oraz twierdzenie Parsevala.

Enlarge
  • Sygnał odtworzony z N\, -punktowej DFT \left \{ X(k): k=0,...,N-1}\right \} danego sygnału x[n]\, jest powieleniem okresowym tego sygnału z okresem N\, . Jeżeli czas trwania N_0\, sygnału x[n]\, jest większy od N\, ( w szczególności nieskończony), to poszczególne powielone kopie sygnału x[n]\, nakładają się na siebie i nie jest możliwe dokładnie odtworzenie jego próbek.

Enlarge
  • Zjawisko nakładania się powielonych okresowo kopii sygnału jest nazywane aliasingiem w dziedzinie czasu, a wynikający stąd błąd odtworzenia – błędem aliasingu.
  • W przypadku sygnału o nieskończonym czasie trwania błąd aliasingu jest tym mniejszy, im większe jest N\, oraz im szybciej sygnał maleje do zera, gdy n\to \pm \infty\, . W przypadku sygnału o skończonym czasie trwania N_0\, błąd ten jest tym mniejszy, im mniejsza jest różnica N_0-N\, .