PS Moduł 3

From Studia Informatyczne

Enlarge
  • Metody analizy sygnałów w dziedzinie częstotliwości noszą nazwę metod częstotliwościowych lub metod widmowych.
  • W „języku” częstotliwościowym można w wielu przypadkach w sposób prostszy opisać podstawowe cechy sygnału. Łatwiej jest też rozpatrywać i interpretować niektóre operacje na sygnałach, a zwłaszcza operację filtracji.
  • Widmo X(\omega)\, sygnału x(t)\, jest jego równoważną reprezentacją w dziedzinie częstotliwości. Ponieważ widmo jest w ogólnym przypadku funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej \omega\, (por. przykład 3.1), reprezentacja ta ma charakter formalny, niefizyczny.

Enlarge
  • Zwróćmy uwagę, że w przykładzie 3.2 otrzymaliśmy widmo rzeczywiste. Jest to konsekwencją parzystości sygnału x(t)=X_0\Pi(t/T) . Widmo to ma kształt funkcji Sa w dziedzinie częstotliwości.
  • Dla sygnałów o ograniczonej energii (należących do przestrzeni L^2(-\infty, \infty)\, ) przekształcenie Fouriera jest wzajemnie jednoznaczne, jeśli całkę (3.1) rozumie się w sensie Lebesgue’a.
  • Wzory (3.1) i (3.2) określają proste i odwrotne przekształcenie Fouriera w sensie zwykłym.

Enlarge
  • Chcąc wyprowadzić parę transformat w sensie granicznym należy w każdym indywidualnym przypadku skonstruować odpowiedni ciąg sygnałów o ograniczonej energii aproksymujący sygnał o ograniczonej mocy i dokonać przejścia granicznego. Bardzo często w wyniku przejścia granicznego otrzymujemy w granicy widma dystrybucyjne.
  • Ciąg aproksymujący sygnał x(t)\, o ograniczonej mocy konstruuje się zwykle mnożąc go przez funkcje dążące dostatecznie szybko do zera dla t\to \pm \infty\, typu: e^{-\alpha t}1(t)\, , jeśli t\epsilon[0, \infty)\, , oraz e^{-\alpha |t|}\ lub e^{-\alpha t^2}\ , jeśli t\epsilon (-\infty, \infty)\, .

Enlarge
  • Widmo amplitudowe i widmo fazowe są funkcjami rzeczywistymi zmiennej \omega\, i mają wyraźną interpretację fizyczną.
  • Widma amplitudowe sygnału z przykładu 3.3 dąży do zera, gdy \omega\to \pm \infty\, . Jego gęstość widmowa jest skoncentrowana głównie w zakresie małych wartości pulsacji. Sygnały takie nazywamy dolnopasmowymi.

Enlarge
  • Widmo amplitudowe impulsu prostokątnego z przykładu 3.4 ma charakterystyczną strukturę „listkową”. Środkowy przedział pulsacji |\omega|<2\pi /T obejmuje tzw. listek główny, a po obu jego stronach występują listki boczne.
  • Impuls prostokątny jest również sygnałem dolnopasmowym.

Enlarge
  • Widmo amplitudowe sygnałów rzeczywistych jest funkcją parzystą, a widmo fazowe funkcją nieparzystą zmiennej \omega\, . Widmo tych sygnałów jest zatem funkcją hermitowską, tj. X(\omega)=X^{*}(-\omega) .
  • Operacje zwierciadlanego odbicia sygnału względem osi rzędnych i jego sprzężenia odpowiadają podobnym operacjom na jego widmie.
  • Przekształcenie Fouriera jest liniowe, tzn. widmo kombinacji liniowej sygnałów jest taką samą kombinacją liniową ich widm.
  • Przy przekształceniu Fouriera kształt sygnału i jego widma jest cechą wymienną.
  • Rozciągnięciu skali czasu sygnału odpowiada zawężenie skali częstotliwości jego widma i odwrotnie. Jednocześnie zmianie ulega skala wartości widma.
  • Przesunięciu sygnału wzdłuż osi czasu o czas t_0\, odpowiada mnożenie jego widma przez czynnik e^{j\omega t_0}\, . Widmo amplitudowe nie zmienia się przy tym, a fazowe ulega zmianie o składnik -\omega t_0\, .
  • Mnożenie sygnału przez zespolony sygnał harmoniczny o pulsacji \omega_0\, powoduje przesunięcie jego widma wzdłuż osi pulsacji o wartość \omega_0\, .
  • Mnożenie sygnału przez rzeczywisty sygnał harmoniczny o pulsacji \omega_0\, (jego modulacja) powoduje rozczepienie widma na dwie części przesunięte wzdłuż osi pulsacji do punktów \pm \omega_0\, . Jednocześnie gęstość widmowa maleje dwukrotnie

Enlarge
  • Różniczkowaniu sygnału w dziedzinie czasu odpowiada mnożenie jego widma przez j\omega\, w dziedzinie częstotliwości.
  • Całkowaniu sygnału w dziedzinie czasu odpowiada dzielenie jego widma przez j\omega\, w dziedzinie częstotliwości.
  • Splotowi sygnałów odpowiada mnożenie ich widm i odwrotnie, mnożeniu sygnałów odpowiada splatanie ich widm.
  • Twierdzenie Rayleigha orzeka, że (z dokładnością do czynnika 2\pi\, ) w przestrzeniach sygnałów {L^2}_t\, i widm {L^2}_{\omega}\, jest zachowany iloczyn skalarny. Wynikające z niego twierdzenie Parsevala orzeka, że z dokładnością do czynnika 2\pi\, zachowana jest norma w obu przestrzeniach (lub równoważnie energia).
  • Widmo gęstości energii opisuje rozkład całkowitej energii sygnału wzdłuż osi pulsacji.

Enlarge
  • Ponieważ sygnał wykładniczy obustronny jest parzysty jego widmo jest rzeczywiste i parzyste. Jak widać, jest to sygnał dolnopasmowy. Parę tę można bez trudu wyprowadzić wprost z definicji przekształcenia Fouriera.
  • Obliczenie widma sygnału Sa\, wprost z definicji jest bardzo złożone. Korzystając natomiast z twierdzenia o symetrii względem wcześniej wyprowadzonej pary transformat dla impulsu prostokątnego, widmo to można wyznaczyć bez trudu. Ponieważ widmo sygnału Sa jest prostokątne, sygnał ten nazywamy idealnym sygnałem dolnopasmowym.
  • Widmo impulsu trójkątnego można wyznaczyć z twierdzenia o splocie w dziedzinie czasu przyjmując x(t)=y(t)=\Pi(t/T) .
  • Widmo sygnału Sa^2\, wynika z twierdzenia o symetrii i ostatniej pary transformat.

Enlarge
  • Widmo sygnału Gaussa ma również kształt krzywej Gaussa. Jest to jedna z nielicznych par transformat Fouriera o tej właściwości
  • Widmo prostokątnego impulsu radiowego można wyznaczyć z twierdzenia o modulacji zastosowanego do widma impulsu prostokątnego.

Enlarge
  • Widmo impulsu Diraca jest stałe w całym przedziale pulsacji. Widmo takie nazywamy białym.
  • Widmo sygnału stałego jest dystrybucją Diraca w dziedzinie częstotliwości o polu 2\pi\, w punkcie \omega=0\, .
  • Sygnał sgn\, t\, jest nieparzysty, dlatego jego widmo jest urojone.
  • Para 1/{\pi} t\leftrightarrow  -jsgn\, \omega jest dualna względem pary sgn\, t\leftrightarrow 2/j\omega i wynika z twierdzenia o symetrii.

Enlarge
  • Widmo skoku jednostkowego można wyznaczyć, przedstawiając go w postaci 1(t)=1/2+(sgn\, t)/2 i korzystając z poprzednio omówionych par.
  • Widmo sygnału harmonicznego wynika z twierdzenia o modulacji zastosowanego do pary 1\leftrightarrow 2\pi \delta (\omega) . Widmo to składa się z dwóch dystrybucji Diraca (prążków) występujących w punktach \pm \omega_0\, .
  • Widmo zespolonego sygnału harmonicznego o pulsacji \omega_0\, jest dystrybucją Diraca w punkcie \omega_0\, o polu 2\pi\, .

Enlarge
  • Ogólna postać widma sygnału okresowego o okresie T_0=2\pi/{omega_0} wynika z jego rozwinięcia w zespolony szereg Fouriera x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} X_k e^{jk\omega_0 t} , twierdzenia o liniowości oraz pary e^{jk\omega_0 t}\leftrightarrow 2\pi \delta(\omega-k\omega_0) . Widmo to jest ciągiem dystrybucji Diraca występujących w punktach k\omega_0\, , k=0,\pm\ 1,...\, , co oddaje jego dyskretny charakter.
  • Widmo amplitudowe jest ciągiem dystrybucji Diraca w punktach k\omega_0\, i polach 2\pi |X_k|\, , zaś widmo fazowe jest ciągiem zwykłych liczb X_k\, .
  • Widmo unipolarnej fali prostokątnej z przykładu 3.5 jest ciągiem dystrybucji Diraca, których obwiednią jest funkcja Sa\,.

Enlarge
  • Widmo unipolarnej fali prostokątnej wykreślono dla dwóch różnych wartości okresu fali T_0\, i stałej szerokości impulsu T\, . W miarę zwiększania okresu prążki zagęszczają się i ich wysokości maleją. Nie zmieniają się natomiast miejsca zerowe obwiedni, które zależą tylko od szerokości impulsu T\, .

Enlarge
  • Widmo w sensie granicznym dystrybucji grzebieniowej \delta_{T_0}(t) o okresie T_0\, jest również dystrybucją grzebieniową \omega_0 \delta_{\omega_0}(\omega)\, o okresie \omega_0=2\pi/T_0 i jednakowych polach impulsów widmowych równych \omega_0\, . Wynika to z faktu, co można łatwo pokazać wykonując odpowiednie obliczenie, że współczynniki rozwinięcia dystrybucji \delta_{T_0}(t) w zespolony szereg Fouriera są identyczne dla każdego k\, i równe X_k=1/T_0 .
  • Widmo impulsowego sygnału spróbkowanego z okresem T_s\, wyznaczamy na podstawie twierdzenia o splocie w dziedzinie częstotliwości i właściwości powielenia okresowego dystrybucji Diraca. Widmo to jest okresowym powieleniem z okresem \omega_s\, widma X(\omega)\, sygnału próbkowanego x(t)\, . Jeśli sygnał x(t)\, jest sygnałem o paśmie ograniczonym pulsacją \omega_m\le \omega_s/2 , to widmo powielone jest ciągiem niezniekształconych kopii widma X(\omega)\, skalowanych przez współczynnik 1/T_0\, .

Enlarge
  • Szereg Fouriera można traktować jako szczególny przypadek przekształcenia Fouriera sygnałów okresowych w sensie granicznym.
  • Współczynniki rozwinięcia sygnału okresowego o okresie T_0\, w zespolony szereg Fouriera są określone przez wartości widma centralnego segmentu tego sygnału w punktach k\omega_0\, , \omega_0=1\pi/T_0 , podzielone przez T_0\, .

Enlarge
  • W teorii obwodów obowiązuje zasada, że im czas trwania sygnału jest krótszy (im impuls jest węższy), tym jego widmo jest szersze.
Zasada nieoznaczoności w teorii sygnałów stanowi, że iloczyn miary czasu trwania sygnału i miary szerokości widma nie może być mniejszy od pewnego progu.
  • Zasada nieoznaczoności znajduje odbicie w wielu zastosowaniach praktycznych. Np. w projektowaniu cyfrowych systemów telekomunikacyjnych dąży się do przesyłania informacji za pomocą jak najkrótszych impulsów, co skraca czas transmisji, i jednocześnie do przesyłania informacji w jak najkrótszym paśmie, co zwiększa pojemność systemu. Zgodnie z zasadą nieoznaczoności wymagania te są sprzeczne i wyboru czasu trwania impulsu i szerokości jego widma dokonuje się na drodze kompromisu.