PS Moduł 2

From Studia Informatyczne

Enlarge
  • Ujęcie sygnałów w kategoriach przestrzeni funkcyjnych ma wiele zalet, m.in. umożliwia:
    • przeniesienie na grunt teorii sygnałów dobrze rozwiniętych metod analizy matematycznej,
    • formalne określenie miary odległości sygnałów w danej przestrzeni (analogicznej do odległości euklidesowskiej w zwykłej n\, -wymiarowej przestrzeni wektorowej \Box^n\, ),
    • wyodrębnienie w danej przestrzeni zbioru pewnych standardowych sygnałów spełniających funkcję sygnałów bazowych (analogiczną do tej jaką pełnią wersory osi w przestrzeni \Box^n\, ),
    • reprezentację sygnału w danej przestrzeni zbiorem współczynników (nieskończonym w przypadku przestrzeni nieskończenie wymiarowych i skończonym w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych) rozkładu tego sygnału na sygnały bazowe (analogiczną do reprezentacji każdego wektora w przestrzeni \Box^n\, jako kombinacji liniowej wersorów),
    • określenie kąta między sygnałami, w szczególności rozstrzyganie ich ortogonalności (analogicznie jak na podstawie iloczynu skalarnego można wnioskować o prostopadłości wektorów w przestrzeni \Box^n\, ).
  • Korzystanie z analogii między dobrze znaną zwykłą przestrzenią wektorową \Box^n\, (aczkolwiek jest to skończenie wymiarowa przestrzeń Hilberta) a przestrzeniami sygnałowymi Hilberta (które najczęściej, choć nie zawsze, są przestrzeniami nieskończenie wymiarowymi) znakomicie ułatwia zrozumienie pojęć tej części wykładu. Z uwagi na tę analogię metody analizy i syntezy sygnałów oparte na ich reprezentacjach w przestrzeniach Hilberta noszą nazwę metod geometrycznych.



Enlarge
  • Ponieważ baza przestrzeni (2.1) zawiera tylko dwa elementy, zatem przestrzeń ta jest dwuwymiarowa.
  • W przypadku przestrzeni {L^2}_{T_0}\, baza składa się z nieskończonej (przeliczalnej) liczby elementów. Jest to zatem przestrzeń nieskończenie wymiarowa.

Enlarge
  • W systemie czterowartościowej modulacji cyfrowej QPSK informacja jest transmitowana w postaci ciągu prostokątnych impulsów radiowych o jednakowym czasie trwania T\, , jednakowej częstotliwości f_0=1/T\, i amplitudzie A\, oraz różnych losowych fazach. W każdym przedziale czasu o długości T\, transmitowany jest jeden z impulsów s_1(t),\, s_2(t),\, s_3(t),\, lub s_4(t)\, .
  • Informacja jest zakodowana w fazie, przy czym cztery możliwe wartości fazy odpowiadają transmitowanym dwubitom: „10”, „00”, „01” oraz „11”. Z reguły T_0\, \Box\, T\, , a ponadto T/T_0\, jest liczbą całkowitą, tzn. na przedział T\, przypada całkowita liczba okresów fali harmonicznej.

Enlarge
  • Korzystając z elementarnych tożsamości trygonometrycznych sygnały QPSK można doprowadzić do postaci (2.1). Otrzymane współczynniki a\, i b\, przy składowych bazowych cos\, 2\pi f_0 t\, i sin\, 2\pi f_0 t\, są zarazem współrzędnymi wektorów reprezentujących sygnały QPSK.

Enlarge
  • Pojęcie przestrzeni metrycznej jest podstawowym pojęciem analizy funkcjonalnej.
  • W danym zbiorze można określić więcej niż jedną metrykę. Ten sam zbiór z dwiema różnymi metrykami stanowi dwie różne przestrzenie metryczne.
  • Dla prostoty zapisu w definicjach metryk przestrzeni L^2(0,\, T)\, i {L^2}_{T_0}\, opuszczony został argument t\, w zapisach sygnałów.
  • Analogicznie można zdefiniować przestrzenie metryczne L^2(0,\, \infty)\, oraz L^2(-\infty,\, \infty)\, sygnałów o ograniczonej energii określonych w przedziale [0,\, \infty)\, i odpowiednio (-\infty,\, \infty)\, , zmieniając w definicji metryki granice całkowania.

Enlarge
  • Metryka opisuje właściwości geometryczne zbioru X\, . W przestrzeni liniowej są natomiast określone dodatkowo operacje na jej elementach, a przez to konkretna struktura algebraiczna.
  • W zastosowaniach teorii sygnałów ciałem F\, jest zwykle albo zbiór liczb rzeczywistych \Box\, albo zespolonych \Box\, (zakładamy tu, że pojęcie ciała jest znane).
  • W zapisie aksjomatów 1-6 pomijany jest dla prostoty znak operacji mnożenia "\cdot"\,.
  • Z aksjomatów przestrzeni liniowej wynikają następujące oczywiste właściwości:
    • x+\varnothing=x ,
    • istnieje jedyny element -x\epsilon X , taki że x+(-x)=\varnothing ,
    • jeśli \alpha x=\varnothing i x\neq\varnothing , to \alpha=0 .

Enlarge
  • W przestrzeni \Box^n\, norma ||x||\, wektora x\, jest zarazem jego długością. Z tego względu w odniesieniu do przestrzeni sygnałowych norma sygnału jest nazywana niekiedy jego „długością”.
  • Dwa elementy x,\, y\, przestrzeni liniowej unormowanej są równe wtedy i tylko wtedy, kiedy ||x-y)||=0 , tj. kiedy element różnicowy jest elementem zerowym. Mówimy wówczas o równości elementów sensie normy.
  • Przestrzeń metryczną (X,\, \rho)\, nazywamy przestrzenią zupełną, jeśli każdy ciąg Cauchy’ego (por. [1], def. 2.12) jej elementów jest zbieżny w sensie metryki do pewnej granicy i granica ta jest elementem przestrzeni.

Enlarge
  • Definiując iloczyn skalarny przyjęliśmy od razu, że przestrzeń liniowa może być zespolona. Dlatego w aksjomacie 1 występuje symbol sprzężenia "\, *\,"\,.
  • W przestrzeni Banacha określona jest odległość między jej elementami. W przestrzeni Hilberta jest natomiast określony dodatkowo „kąt” między nimi.
  • Określenie iloczynu skalarnego w danej przestrzeni umożliwia wprowadzenie bardzo ważnego pojęcia ortogonalności sygnałów (odpowiednika prostopadłości wektorów w przestrzeni ). Dla ortogonalnych sygnałów spełniona jest (uogólniona) równość Pitagorasa: ||x+y)||^2=||x||^2+||y||^2

Enlarge
  • Przestrzeniami Hilberta są także przestrzenie L^2(0,\, \infty)\, oraz L^2(-\infty,\, \infty)\, .
  • W przestrzeni sygnałów nieokresowych o ograniczonej mocy nie można w ogólnym przypadku wprowadzić iloczynu skalarnego. Dla przestrzeni tej można natomiast zdefiniować pseudoiloczyn skalarny o zbliżonych właściwościach formalnych.
  • Przestrzeniami Hilberta są oczywiście również zbiory wszystkich sygnałów dyskretnych o ograniczonej energii określonych dla n\epsilon\Box\, oraz dla n\epsilon [n_1,\, n_2]\, . W tym ostatnim przypadku przestrzeń jest tożsama ze zwykłą przestrzenią wektorową o wymiarze n_2-n_1+1\, .

Enlarge
  • Baza \left \{x_k :\, k\epsilon K\right \} danej przestrzeni może być skończona, gdy zbiór indeksów K\, jest skończony, lub nieskończona, gdy zbiór K\, jest przeliczalny (z reguły równy \Box\cup\left \{0\right \} lub \Box\, )
  • Przestrzeń rozpięta na bazie danej przestrzeni może być identyczna z tą przestrzenią lub być jej podprzestrzenią.
  • Nie w każdej przestrzeni Hilberta istnieje baza ortogonalna. Przestrzeń Hilberta, w której można wyróżnić taką bazę nosi nazwę ośrodkowej przestrzeni Hilberta. W ogólnym przypadku w danej przestrzeni Hilberta może istnieć więcej niż jedna baza ortogonalna.
  • Sygnały ortonormalne są wiernym odpowiednikiem wersorów w zwykłej przestrzeni wektorowej.
  • Każdą bazę przestrzeni Hilberta (a więc zbiór elementów liniowo niezależnych) można zortogonalizować i unormować stosując znaną w literaturze procedurę ortonormalizacji Grama-Schmidta.

Enlarge
  • Wzór (2.9) opisuje rozwinięcie sygnału x\, w uogólniony szereg Fouriera określony w danej ośrodkowej przestrzeni Hilberta względem bazy ortonormalnej \left \{x_k :\, k\epsilon K\right \} , zaś zbiór \left \{a_k :\, k\epsilon K\right \} współczynników tego rozwinięcia stanowi jednoznaczną reprezentację tego sygnału określoną względem tej bazy.
  • Wzór (2.10) na współczynniki szeregu (2.9) można otrzymać obliczając iloczyny skalarne tego szeregu z sygnałami bazowymi x_k\, i uwzględniając przy tym ich ortogonalność:

(x, x_k)=\left(\sum_{l\epsilon K} \alpha_l x_l, x_k \right)=\sum_{l\epsilon K} \alpha_l( x_l, x_k)= \begin{cases}0 & dla\, l\neq k \\ \alpha_k & dla\, l=k \end{cases}

  • Podkreślmy, że dobrze znane trygonometryczne szeregi Fouriera: rzeczywisty i zespolony są przypadkami szczególnymi szeregu uogólnionego (2.9). Na zakończenie tego wykładu zostaną podane przykłady innych uogólnionych szeregów Fouriera.

Enlarge
  • W niektórych przypadkach rozwinięcie (2.11) w uogólniony szereg Fouriera względem bazy ortogonalnej ma prostszą postać niż rozwinięcie (2.9) względem odpowiadającej jej bazy ortonormalnej.
  • Odwzorowanie \chi :\, X\to l^2\, jest liniowe, a ponadto zachowuje normę, tzn. odpowiednie normy w przestrzeniach X\, i l^2\, są sobie równe. O odwzorowaniu takim mówimy , że jest izometryczne. Odwzorowanie to zachowuje także iloczyn skalarny.

Enlarge
  • W praktyce zachodzi konieczność ograniczenia reprezentacji danego sygnału do skończonej sumy N\, początkowych wyrazów uogólnionego szeregu Fouriera. Suma (2.12) przybliża wówczas sygnał jedynie z pewną dokładnością.
  • Błąd przybliżenia jest różnicą sygnału x\, i szeregu aproksy¬mującego (2.12), zaś za miarę tego błędu przyjmujemy normę sygnału błędu w danej przestrzeni. Miara ta jest najmniejsza ze względu na dobór współczynników sumy (2.12). Oznacza to, że wybór jakichkolwiek innych współczynników \beta_k\, różnych od współczynników Fouriera \alpha_k\, określonych wzorem (2.10) prowadzi do zwiększenia miary błędu. Można pokazać, że miarę tę da się wyrazić przez normę sygnału i pierwsze N\, współczynniki Fouriera.
  • Twierdzenie Parsevala (2.14) orzeka, że normę sygnału można wyrazić przez współczynniki jego rozwinięcia w uogólniony szereg Fouriera. Z połączenia wzorów (2.13) i (2.14) wynika, że miara błędu aproksymacji jest określona przez współczynniki Fouriera nie uwzględnione w szeregu aproksymującym.

Enlarge
  • Na wyjściach integratorów układu z rys. 2.1 otrzymujemy w chwili T\, sygnały o wartościach równych współczynnikom Fouriera \alpha_k\, . W praktyce możemy oczywiście zastosować skończoną liczbę generatorów sygnałów bazowych, zatem układ realizuje w istocie rzeczy optymalną aproksymację sygnału x(t)\, skończonym ortonormalnym szeregiem Fouriera.

Enlarge
  • Układowe wyznaczanie iloczynów skalarnych sygnału x(t)\, z funkcjami Haara jest szczególnie proste. Mnożenie można zrealizować za pomocą układów kluczujących, zmieniając polaryzację sygnałów w odpowiednich chwilach.

Enlarge
  • Zwróćmy uwagę, że poszczególne funkcje Haara są wykreślone w tej samej skali czasu, ale w różnych skalach amplitudy.
  • Dokonując odpowiedniej transformacji skali czasu i skali amplitud, możemy określić bazę ortonormalną funkcji Haara w dowolnym skończonym przedziale czasu.

Enlarge
  • Funkcje Walsha są funkcjami binarnymi przybierającymi dwie wartości +1\, lub -1\, .

Enlarge
  • Definicja funkcji Walsha jest dość skomplikowana. Jednak sposób ich tworzenia będzie dobrze widoczny na wykresach tych funkcji.

Enlarge
  • Podobnie jak funkcje Haara funkcje Walsha można uporządkować według jednego wskaźnika k\, , definiując: W_0(t)=x_0(t) , W_1(t)=x_1(t) , W_k(t)={x^i}_m(t) dla k=2,3,...\, , gdzie k=2^{m-1}+i-1\, oraz i=1,...,2^{m-1}\, .
  • Przy takiej numeracji numer k\, funkcji Walsha W_k(t)\, jest równy liczbie jej przejść przez zero.
  • Funkcje o numerach 2^k-1\, , k=1,2,...\, są odcinkami zwykłych okresowych bipolarnych fal prostokątnych.

Enlarge
  • Widzimy, że w miarę zwiększania liczby znaczących wyrazów szeregu Walsha sygnał aproksymujący coraz bardziej zbliża się kształtem do impulsu trójkątnego. Dodanie następnych wyrazów niezerowych jeszcze bardziej zwiększy dokładność aproksymacji.
  • Gdyby jako miarę błędu przyjąć nie normę sygnału błędu, lecz jego energię (kwadrat normy), błąd względny aproksymacji dla k=6\, wyniósłby 1,56\%\,.

Enlarge
  • Rozwinięcie sygnału x(t)\epsilon {L^2}_{T_0} w trygonometryczny rzeczywisty lub zespolony szereg Fouriera względem baz ortogonalnych prowadzi do nieco prostszych zapisów tych szeregów, niż w przypadku ich rozwijania względem baz ortonormalnych. Dlatego z reguły korzysta się z tych drugich postaci szeregów Fouriera. Podkreślmy, że postacie te (przy oznaczeniu \omega_0=2\pi/T_0 ) były już cytowane na wykładzie 1 przy okazji omawiania przykładów różnych rodzajów reprezentacji sygnałów.
  • Miedzy współczynnikami rzeczywistego i zespolonego szeregu Fouriera zachodzą związki:
X_0=a_0 , X_k=\frac{a_k+jb_k}{2}
oraz związki odwrotne:

a_0=X_0,\, a_k=X_k+X_{-k},\, b_k=j(X_k-X_{-k})

Umożliwiają one przejście z jednej postaci szeregu na drugą.

Enlarge
  • Podprzestrzeń \left \{x(t)\epsilon\, L^2(-\infty,\, \infty):\, X(\omega)\equiv 0 \, dla\, |\omega|\le \omega_m\right \} , gdzie X(\omega)\, oznacza widmo sygnału, nosi nazwę przestrzeni sygnałów o ograniczonym paśmie.
  • Ortonormalną bazę w tej przestrzeni tworzy ciąg kopii sygnału Sa\, o jednostkowej energii, poprzesuwanych w czasie o odcinek T_s=\pi/{\omega_m}\, .
  • Z szeregu Kotielnikowa-Shannona wynika, że reprezentację sygnału analogowego x(t)\, o ograniczonym paśmie stanowi zbiór jego próbek pobieranych z okresem T_s=\pi/{\omega_m} . Szereg ten odgrywa zasadniczą rolę w zagadnieniu próbkowania sygnałów.